1、静安区 2015 学年高三年级第一学期期末教学质量检测文科数学试卷一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1.抛物线 的准线方程是 .216yx2在等差数列 na（ ）中，已知公差 2d， 07a，则 .N2016a3. 已知圆锥的底面半径为 4cm，高为 cm，则这个圆锥的表面积是 cm2.54.方程 的解为 .lg(2)lg3(2)xx5.已知 为第二象限角，且 ，则 .cos5tan()46.坐标原点 关于直线 对称的点的坐标是 .(0,)0xy7.已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 .
2、z28iiz8. 的展开式中项 的系数等于 . (用数值作答)8()xy34xyz9.在产品检验时，常采用抽样检查的方法.现在从 100 件产品(已知其中有 3 件不合格品)中任意抽出 4 件检查，恰好有 2 件是不合格品的抽法有 种. (用数值作答)10.经过直线 与圆 的两个交点,且面积最小的圆的方程230xy2410xy是 .11.已知数列 （ ）中， ，当 时， ，则naN12,3an123nna.n12.在平面直角坐标系 中，坐标原点 、点 ，将向量 绕点 按逆时针xOy(0,)(1,)POP方向旋转 后得向量 ，则点 的横坐标是 .56Q13在ABC 中， A、B、 C 所对的边分
3、别为 a、b、 c，若 a、b 、c 成等差数列，且ABC 的面积为 ，则 b = . (用数值作答)sin42314.在平面直角坐标系 中，将直线 沿 轴正方向平移 3 个单位， 沿 轴正方向平移xOylxy5 个单位，得到直线 .再将直线 沿 轴正方向平移 1 个单位， 沿 轴负方向平移 2 个单1l1位，又与直线 重合.则直线 与直线 的距离是 .ll1l二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 15.设全集 ，则 = ( ) A1,2345,6,3,UABBACUB C
4、D 16.组合数1,261241,246恒等于( )(,rnCrNA. B. C. D. 17.函数1rn1rn1rn1rnC的反函数是 ( )213(0)xyA B31logx31log()yxC D1()y18.下列四个命题中，真命题是 ( )A和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线； B和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线；C和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线；D若 a、b 是异面直线 , b、c 是异面直线,则 a、c 是异面直线.三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19 （ 本题满分
5、12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分已知 O为坐标原点，向量 (3cos,in)OAx，(3cos,in)Bx， 0,C, ,2.(1)求证： ；(2) 若ABC 是等腰三角形，求 x 的值.20.（本小题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.如图，在棱长为 1 的正方体 中，E 为 AB 的中点.1DCBA(1)求三棱锥 A- 的体积；EC(2)求异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值.O x A B C y 21 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 10 分，第
6、2 小题满分 4 分.李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新 ”. 某创客，白手起家，2015 年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的 10%，每月的生活费等开支为3000 元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.(1)问到 2015 年年底( 按照 12 个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元)(2)如果银行贷款的年利率为 5%，问该创客一年(12 个月) 能否还清银行贷款？22 （本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小
7、题满分 9 分.设 P1 和 P2 是双曲线 上的两点，线段 P1P2 的中点为 M，直线 P1P2 不经过坐xyab标原点 O.(1)若直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在且分别为 k1 和 k2，求证:k 1k2= ；ab(2)若双曲线的焦点分别为 、 ，点 P1 的坐标为(2 ，1) ，直线 OM1(3,0)F2(,)的斜率为 ，求由四点 P1、 F1、P 2、F 2 所围成四边形 P1 F1P2F2 的面积. 323 （ 本小题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分.已知定义在实数集 R 上的偶函数 和奇函
8、数 满足 . xfxg1xfg(1)求 与 的解析式；fxg(2)求证： 在区间 上单调递增；并求 在区间 的反函数；0,)f0,)(3)设 （其中 m 为常数） ，若 对于22()1hm2(1hgxm恒成立，求 m 的取值范围. 1,x静安区 2015 学年第一学期期末高三年级教学检测文科数学试卷参考答案及评分标准 2016.01说明：内容与理科相同一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1. 22025 3. 40；4x4. 5. 6.6178(,)57. 8. 9. 13968 z8010.
9、11. （ ） 12.2561xyxy12naN312132 14. .5二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 15. A; 16. D; 17.C; 18.B三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19 已知 O为坐标原点，向量 (3cos,in)OAx，(3cos,in)Bx， )0,C, ,2.(1)求证： A; 若 是等腰三角形，求 x.19 解： 02x ， 3sin ， 0OAB又,sinO
10、AB C 。 ()02si0OCx（2）若 是等腰三角形，则 AB=BC， 222 )(sin)3cos()in( xx ,所以 3cos0sx或 ， 0，2cos3s0x6,20. 如图，在棱长为 1 的正方体 中，E 为 AB。1DCBAO x A B C y （1 ）求三棱锥 A- 的体积；1EC（2 ）求异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值。20.解（1 ）由三棱锥体积公式可得： 。13ACEVS132（2 ）延长 DC 至 G，使 CG= DC,连结 BG、 GD1，四边形 EBGC 是平行四边形.BGEC. 在即异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值是21 李克强总理在很
11、多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015 年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的 10%，每月的生活费等开支为3000 元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.(1)问到 2015 年年底( 按照 12 个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元)(2)如果银行贷款的年利率为 5%，问该创客一年(12 个月) 能否还清银行贷款？20 解 法 1：（1）设 个月的余款为 ，则nna， 0.293015a， 22 .93014。 。 。 。 。 。，12
12、1120.093.a= （元） ，212(.09). 480法 2： ， 10.9315a一般的， ，120n构造 ，)(.1cacn70/CEB11DBE就 是 异 面 直 线 与 所 成 的 角，中 311BG152432cos2125112 BGD）（，13750(13750)(.29)nna ， 16.8n。12948方法 3:用 通过等比数列求和解决 . 1 1.209()kkaa（2 ） 194890-1000001.05=89890（元） ，能还清银行贷款。22 双曲线 上不同两点 P1 和 P2，线段 P1P2 的中点为 M，双曲线的中心为坐标原21xyab点 O，直线 P1P
13、2 不经过点 O.(1)若直线 P1P2 和直线 OM 的斜率存在且分别为 k1 和 k2，求证:k 1k2= ；ab(2)若双曲线的焦点分别为 、 ，点 P1 坐标为(2 ，1) ，直线 OM 的1(3,0)F2(,)斜率为 ，求四边形 P1 F1P2F2 的面积. 322(1)解法 1：设不经过点 O 的直线 P1P2 方程为 ，代入双曲线 方程得：1ykxl21xyab.2221() 0bakxklabl设 P1 坐标为 ， P2 坐标为 ，中点坐标为 M (x,y),则 ，1(,y2(,)xy1212,xy，2112aklxb，所以， ，k 1k2= 。212121ykk22211ak
14、bab另解：设 P1(x1,y1)、P 2(x2,y2)，中点 M (x,y),则 且12,xy212()xyab（1）-（2）得： 。12121212()()0xxyyab因为,直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在,所以(x 1+x2)(x1-x2)0，等式两边同除以(x 1+x2)(x1-x2)，得： 12212yyxx即 k1k2= 。ba（2 ）由已知得 ,求得双曲线方程为 ，23ba21xy直线 P1 P2 斜率为 ，21直线 P1 P2 方程为 ,()3yx代入双曲线方程可解得(中点 M 坐标为 .210(,)723(,)7面积 . 1283Fy另解: 线段 P1 P2 中点
15、 M 在直线 上.所以由中点 M(x,y),可得点 P2 的坐标为32yx,代入双曲线方程可得 ,即 ，解得2(,3)Px 2()(1)270（ ） ，所以 。面积 .7y201(,)72283Fy23 已知定义在实数集 R 上的偶函数 和奇函数 满足 . xfxg12xfg（1 ）求 与 的解析式；fxg（2 ）当 时,求证 是递增函数 ,并求 的反函数 ；0fxf1()f（3 ）设 （其中 m 为常数） ， 若 对于22()1hm21hxm恒成立，求 m 的取值范围.,x23.解 ： （1）假设 ，因为 是偶函数， 是奇函数1()xfxgxfg所以有 ，即 21()2xg ， 定义在实数集
16、 R 上，()f由和解得，1212xxxf.1()xxxg(2) ，当且仅当 ,即 时等号成立.对于任意()xf21x0, ,120x12122112 ()()xxxx因为 ,所以 , , , ,120x1212,0xx21x1,02xx210x从而 ,所以当 时, 递增.()0fff设 ，则 ,令 ,则 .再由xy2xyxs2ys解得 ,即 .1()2xf4s4x因为 （ ） ，所以 ,因此 的2241yy2y2xyfx反函数 12()log(),fxx（3） 在 单调递增， .t31524t 对于 恒成立，222()1hmtm, 对于 恒成立，t35,4令 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，且2()kt22tt2t所以在区间 上 单调递减，32315,4t()ktt ， 为 m 的取值范围.max7()()2k172
