1、吉林省五校高考高端命题研究协作体20152016 学年第一次联合命题数学（理科）试题一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合 3,210,|2NxM，则 NMCU)(=（ ）A 10|x B C D 3,212.复数 z ，则（ ）1 3i1 2iA.|z|2 B.z 的实部为 1 C.z 的虚部为i D.z 的共轭复数为1i3.下列判断错误的是（ ）A “ 2bma”是“a b”的充分不必要条件B命题“ 01,23xR”的否定是“ 01,23xR”C “若 a=1，则直线 y和直线 0xay互相垂直”的逆
2、否命题D若 qp为假命题，则 p，q 均为假命题4.已知 f(x)2sin(x )的部分图像如图所示，则 f(x)的表达式为( )Af(x)2sin( x ) Bf (x)2sin( x )32 4 32 54C f(x)2sin( x ) Df(x )2sin( x )43 29 43 25185.若 x、y 满足不等式 103yx，则 z=3x+y 的最大值为（ ）A. 11 B. C. 13 D. 136.若函数 cos2yx与函数 sin()x在 ,2上的单调性相同，则 的一个值为( )A 6 B 4 C 3 D 27.过点 ),(a可作圆 022 axyx的两条切线，则实数 a的取值
3、范围为（ ）A 3或 1 B 2 侧视图俯视图正视图1123C 13a 或 23 D 3a或 218.在ABC 中，若 2 ，则ABC 是( ) AB AB AC BA BC CA CB A等边三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D直角三角形9.已知函数 ()fx是定义在 R上的奇函数，且满足 (2)(fxfx，当 01时， xf1)(，则函数 21g的零点是（ ）A 2()Zn B 1()Zn C 41 D 410.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.1136 3 533 43311.已知双曲线21(0,)xyab与函数 (0)yx的图象交于点 P. 若函
4、数 yx在点P处的切线过双曲线左焦点 ,F，则双曲线的离心率是（ ）A.512B. 52C.312D.3212.若存在实常数 k和 b，使得函数 ()Fx和 G对其公共定义域上的任意实数 x都满足：()Fx和 ()Gx恒成立，则称此直线 ykxb为 ()F和 G的“ 隔离直线”，已知函数21,0),(2lnfRghxe，有下列命题： ()()xfx在 3,内单调递增； f和 g之间存在“隔离直线”，且 b的最小值为 4； ()x和 之间存在“隔离直线”，且 k的取值范围是 (,0； f和 h之间存在唯一的“隔离直线” 2yex.其中真命题的个数有( )A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4
5、个二. 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案填写在横线上）13.执行如图所示的程序框图，输出的 T= 14.若 loga(a2 1)loga2a0，则实数 a 的取值范围是 15.已知函数736xaxfx，若数列 na满足()na（ N） ，且 n是递增数列，则实数 的取值范围是 _16.同底的两个正三棱锥内接于同一个球已知两个正三棱锥的底面边长为 a，球的半径为 R设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 、 ，则 tan()的值是 三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 (本小题满分 12 分)已知 ABC的三个角 ,的对边分别为 ,ab
6、c，且 ,ABC成等差数列，且 3b数列 na是等比数列，且首项 12a，公比为 sinA（）求数列 n的通项公式；（）若 2lognnba，求数列 nb的前 项和 nS.18.（本小题满分 12 分）2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分，台风 “莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成 165.17 万人受灾， 5.6 万人紧急转移安置，288 间房屋倒塌， 46.5 千公顷农田受灾，直接经济损失12.99 亿元。距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的 50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成 20,，40,2， 60,，
7、 80,， 1五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款。现从损失超过 4000 元的居民中随机抽出 2 户进行捐款援助，设抽出损失超过 8000 元的居民为 户，求 的分布列和数学期望；（III）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐款情况如下表，在图 2 表格空白处填写正确数字，并说明是否有 95以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？经济损失不超过4000 元经济损失超过40
8、00 元 合计捐款超过500 元 30（图 1）P(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828附：临界值表参考公式：22()()(nadbcd， nabcd19.（本小题满分 12 分）如图所示，BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面BCD，AB 平面 BCD，AB2 .3（）求证：AB平面 MCD；（）求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值20 （本小题满分 12 分）已知抛物线 )0(2:pyxC的焦点为 )1,0(F，过点
9、 F 作直线 l 交抛物线 C于 A,B 两点椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，点 F 是它的一个顶点，且其离心率 23e（）分别求抛物线 C 和椭圆 E 的方程；（）经过 A,B 两点分别作抛物线 C 的切线 21,l，切线 1l与 2相交于点 M证明 FAB21.（本小题满分 12 分）已知函数 Raxxf ,21ln)( （）若 0)1(f，求函数 的最大值；捐款不超过 500 元 6合计（图 2）ABCDEO（）令 )1()(axfxg，讨论函数 )(xg的单调区间；（）若 2a，正实数 21,满足 0211ff ，证明 2151x请考生在第 22、23 、24 题中任选一道作
10、答，多答、不答按本选考题的首题进行评分22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图所示，AC 为 O 的直径，D 为 的中点，E 为 BC 的中点BC（）求证：DEAB； （）求证：ACBC 2ADCD 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系 Ox 中，直线 C1 的极坐标方程为 sin2，M 是 C1 上任意一点，点 P 在射线 OM 上，且满足| OP|OM|4 ，记点 P 的轨迹为 C2（）求曲线 C2 的极坐标方程；（）求曲线 C2 上的点到直线 cos( ) 的距离的最大值4 224.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知
11、函数 f(x) |x1| （）解不等式 f(x)f (x4)8；（）若|a|1，|b|1，且 a0，求证：f (ab)|a| f( )ba命题人：李大博、王玉梅、李明月吉林省五校高考高端命题研究协作体20152016 学年第一次联合命题数学（理科）答案一选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D D B A D D D D C A C二填空题13. 29 14. a1 1215. 3,2 16. R34 三解答题17.解 ： （） ,ABC成等差数列, 60B sinsin12ACBacbna6 分（） nnnab2log28 分nnS1 ； 2 132 2)
12、1(1nnS21() n1nn12 分18.解：（）记每户居民的平均损失为 x元，则：(10.530.250.9793)60x2 分（）由频率分布直方图可得，损失超过 4000 元的居民共有（0.00009+0.00003+0.00003）200050=15 户，损失超过 8000 元的居民共有 0.00003200050=3 户，因此，的可能取值为 0，1，235)(21CP, 3512)1(CP, 351)(2CP的分布列为52313520E 7 分0 1 2P（）如 图：2250(3695)14.8K，所以有 95以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否 400
13、0 元有关12 分19.解:（）证明：取 CD 中点 O，因为MCD 为正三角形，所以 MOCD .由于平面 MCD平面 BCD，所以 MO平面 BCD.又因为 AB平面 BCD，所以 ABMO .又 AB平面 MCD，MO 平面 MCD，所以 AB平面 MCD. 6 分（）连接 OB，则 OBCD，又 MO平面 BCD.取 O 为原点，直线 OC，BO，OM 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示OBOM ，则各点坐标分别为 C(1,0,0)，M (0,0， )，B(0， ，0)，A(0， ，2 )3 3 3 3 3(1,0， )， (1， ，2 )CM 3 CA 3 3设平
14、面 ACM 的法向量为 n1( x，y，z) ，由Error! 得Error!解得 x z，yz ，取 z1，得 n1( ，1,1)又平面 BCD 的法向量为 n2(0,0,1)，3 3所以 cosn 1， n2 .设所求二面角为 ，则 sin .12 分n1n2|n1|n2| 15 25520.解：（）由已知抛物线 :(0)Cxpy的焦点为 (0,1)F可得抛物线 C的方程为24xy设椭圆 E的方程为2+1ab，半焦距为 c由已知可得：2213bca,解得 ,1ab所以椭圆 E的方程为：214xy 4 分（）显然直线 l的斜率存在，否则直线 l与抛物线 C只有一个交点，不合题意，6 分故可设
15、直线 的方程为 1,ykx 1212(,)(,)AyBx，经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元 合计捐款超过500 元 30 9 39捐款不超过 500 元 5 6 11合计 35 15 50经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元 合计捐款超过500 元 30捐款不超过 500 元 6合计经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元 合计捐款超过500 元 30捐款不超过 500 元 6合计经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元 合计捐款超过500 元 30捐款不超过 500 元 6合计经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元 合计捐款超过
16、500 元 30捐款不超过 500 元 6合计经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元 合计捐款超过500 元 30捐款不超过 500 元 6合计经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元 合计捐款超过500 元 30捐款不超过 500 元 6合计经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元 合计捐款超过500 元 30捐款不超过 500 元 6合计经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元 合计捐款超过500 元 30捐款不超过 500 元 6合计（图 2）（图 2）（图 2）（图 2）（图 2）（图 2）（图 2）（图 2）由214ykx, 消去 y并整理得
17、240,xk 124x 抛物线 C的方程为24，求导得y，过抛物线 上 AB、 两点的切线方程分别是 11()2x， 22()yx,即214yx，2214yx，解得两条切线 12,l的交点 M的坐标为121(,)4x，即 M12(,)x，21(,)(,)xFMABxy 2211()()04, 12 分 21. 解:（）因为(1)02af，所以 2， 此时2()ln,0fxx，21() (0xfx , 由 0f，得 ，所以 )f在 上单调递增，在 (1,)上单调递减，故当 1x时函数有极大值，也是最大值，所以 ()fx的最大值为 0f4 分（）21()ln1gfaxax-(，所以21()()()
18、xx当 0a 时，因为 0，所以 (0g所以 ()gx在 ,)上是递增函数， 当 0a时，2 1()(1)()axax，令 ()gx，得 所以当(0,)时， ()0gx；当1(,)a时， ()0gx，EBOA CD因此函数 ()gx在1(0,)a是增函数，在1(,)xa是减函数综上，当 a 时，函数 gx的递增区间是 0,，无递减区间；当 0时，函数 ()的递增区间是1(,)a，递减区间是1(,)a8 分（）当 2a时，2ln,0fxx由 112()0f，即221112lln0xx从而222()()xxx 令 12t，则由 ()lntt得，t可知， ()在区间 0,1上单调递减，在区间 (1,
19、)上单调递增所以 ()1t ， 所以212)xx，因为 20x,因此 125成立 12 分22解：（）连接 OE，因为 D 为的中点，E 为 BC 的中 点，所以 OED 三点共线因为 E 为 BC 的 中点且 O 为 AC 的中点，所以 OEAB，故 DEAB 5 分（）因为 D 为的中点，所以 BADDAC，又BADDCBDACDCB又因为 ADDC，DECEDACECD ADCDAC CE 2ADCDAC 2CEACCD ADCE 2ADCDACBC 10 分23.解：（）设 P(，)，M (1，)，依题意有 1sin2， 14 消去 1，得曲线 C2 的极坐标方程为 2sin 5 分（）将 C2，C 3 的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2：x 2 (y1) 21，C 3：x y2 C2 是以点(0，1)为圆心，以 1 为半径的圆，圆心到直线 C3 的距离 d ，322故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离的最大值为 1 10 分32224.解：（）f (x)f (x4) | x1| x3| 2x 2， x 3，4 3x1，2x 2 x1 )当 x3 时，由 2x28，解得 x5；当3 x1 时，f (x)8 不成立；
