1、范 数 的 定 义设 X 是 数 域 K 上 线 性 空 间 ， 称 为 X 上 的 范 数 (norm)， 若 它 满 足 ：1. 正 定 性 ： x0， 且 x=0 x=0；2. 齐 次 性 ： cx=cx；3. 次 可 加 性 (三 角 不 等 式 )： x+yx+y 。注 意 到 x+yx+y中 如 令 y=-x， 再 利 用 -x=x可 以 得 到 x0， 即 x0 在定 义 中 不 是 必 要 的 。如 果 线 性 空 间 上 定 义 了 范 数 ， 则 称 之 为 赋 范 线 性 空 间 。注 记 ： 范 数 与 内 积 ， 度 量 ， 拓 扑 是 相 互 联 系 的 。1. 利
2、 用 范 数 可 以 诱 导 出 度 量 ： d(x,y)=x-y， 进 而 诱 导 出 拓 扑 ， 因 此 赋 范 线 性 空 间 是 度量 空 间 。但 是 反 过 来 度 量 不 一 定 可 以 由 范 数 来 诱 导 。2. 如 果 赋 范 线 性 空 间 作 为 (由 其 范 数 自 然 诱 导 度 量 d(x,y)=x-y的 )度 量 空 间 是 完 备 的 ，即 任 何 柯 西 (Cauchy)序 列 在 其 中 都 收 敛 ， 则 称 这 个 赋 范 线 性 空 间 为 巴 拿 赫 (Banach)空 间 。3. 利 用 内 积 可 以 诱 导 出 范 数 ： x=1/2。反
3、过 来 ， 范 数 不 一 定 可 以 由 内 积 来 诱 导 。 当 范 数 满 足 平 行 四 边 形 公 式 x+y2+x-y2=2(x2+y2)时 ， 这 个 范 数 一 定 可 以 由 内 积 来 诱 导 。完 备 的 内 积 空 间 成 为 希 尔 伯 特 (Hilbert)空 间 。4. 如 果 去 掉 范 数 定 义 中 的 正 定 性 ， 那 么 得 到 的 泛 函 称 为 半 范 数 (seminorm 或 者 叫 准 范 数 )， 相 应 的 完 备 空 间 称 为 Frchet 空 间 。对 于 X 上 的 两 种 范 数 x,x， 若 存 在 正 常 数 C 满 足x
4、Cx那 么 称 x 弱 于 x。 如 果 x 弱 于 x 且 x 弱 于 x， 那 么 称 这 两 种 范 数 等价 。可 以 证 明 ， 有 限 维 空 间 上 的 范 数 都 等 价 ， 无 限 维 空 间 上 至 少 有 阿 列 夫 1(实 数 集 的 基 数 )种不 等 价 的 范 数 。 算 子 范 数如 果 X 和 Y 是 巴 拿 赫 空 间 ， T 是 X-Y 的 线 性 算 子 ， 那 么 可 以 按 下 述 方 式 定 义 T：T = supTx： x| = |xH*y| 1 时 F-范 数 不 能 由 向 量 范 数 诱 导 (|E11+E22|F=21)。可 以 证 明
5、任 一 种 矩 阵 范 数 总 有 与 之 相 容 的 向 量 范 数 。 例 如 定 义x=X， 其 中 X=x,x,x是 由 x 作 为 列 的 矩 阵 。由 于 向 量 的 F-范 数 就 是 2-范 数 ， 所 以 F-范 数 和 向 量 的 2-范 数 相 容 。 另 外 还 有 以 下 结 论 ：ABF Ak1/k。利 用 上 述 性 质 可 以 推 出 以 下 两 个 常 用 的 推 论 ：推 论 1： 矩 阵 序 列 I,A,A2,Ak, 收 敛 于 零 的 充 要 条 件 是 (A)1。推 论 2： 级 数 I+A+A2+. 收 敛 到 (I-A)-1的 充 要 条 件 是
6、(A)1。酉 不 变 范 数定 义 ： 如 果 范 数 满 足 A=UAV对 任 何 矩 阵 A 以 及 酉 矩 阵 U,V 成 立 ， 那 么 这 个 范数 称 为 酉 不 变 范 数 。容 易 验 证 ， 2-范 数 和 F-范 数 是 酉 不 变 范 数 。 因 为 酉 变 换 不 改 变 矩 阵 的 奇 异 值 ， 所 以 由 奇 异值 得 到 的 范 数 是 酉 不 变 的 ， 比 如 2-范 数 是 最 大 奇 异 值 ， F-范 数 是 所 有 奇 异 值 组 成 的 向 量 的 2-范 数 。反 过 来 可 以 证 明 ， 所 有 的 酉 不 变 范 数 都 和 奇 异 值 有 密 切 联 系 ：定 理 (Von Neumann 定 理 )： 在 酉 不 变 范 数 和 对 称 度 规 函 数 (symmetric gauge function)之 间 存 在 一 一 对 应 关 系 。也 就 是 说 任 何 酉 不 变 范 数 事 实 上 就 是 所 有 奇 异 值 的 一 个 对 称 度 规 函 数 。
