1、2015 届湖南省长沙市长郡中学等十三校高三第二次联考数学（理）试题一选择题1集合 ，则 （ ） 26,30AxNBxR ABIA B C D3,4545,6x 36x2下列命题中，真命题是 （ ） A ，使得 B 0xR0xe 2sin(,)ikZC函数 有两个零点 D 是 的充分不必要条件2()f1,ab13已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为( )A B C D6123273364 （A 0，0）在 x=1 处取最大值，则（ ） )sin()(xxfA 一定是奇函数 B 一定是偶函数 )1(fC 一定是奇函数 D 一定是偶函数)1(xf x5已知函数 ，
2、集合 ，现从 M 中任取两个不同的cos6xf1,2345,6789M元素 ，则 的概率为( ),mn0fnA B C D 127121896.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果 S 为（ ）A.1008 B.2015C.1007 D. 078设函数 在 R 上有定义，对于任一给定的正数 ，定义函数)(xfy p7已知抛物线 ，点 ，O 为坐标原点，若在抛物线 C 上存在一点 ，使2:4Cyx(,)PmQ得 ，则实数 m 的取值范围是（ ）9OQP=o（A） (4,) （B） (4,)+（C） 0（D） 8y xAQPO（第 10 题图），则称函数 为 的“ 界函数”若给定函数pxffp)
3、(,)( )(xfpfp，则下列结论不成立的是（ ）2,1)(2xfA. B. )0(ppf )1()(ppffC. D. )(f 39.已知函数 21(,gxaxe为自然对数的底数)与 ()2lnhx的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）A 21,e B 2, C 21,e D 2,)e10如图，已知双曲线 ： 的右顶点为 为坐C2xyab0,A标原点，以 为圆心的圆与双曲线 的某渐近线交于两点 若QP且 ，则双曲线 的离心率为( )60PAQ3OPA B C D23723963二填空题（一）选做题11如图， BD是半圆 O的直径， A在 B的延长线上， AC与半圆相切于点
4、 E，AC， 若 23， 6E，则 .12在直角坐标系 xy中，以原点 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点P为直线 cosin40上一点，点 Q为曲线 2(14ty为参数）上一点，则|Q的最小值为 . 13已知函数 f(x)=|x-k|+|x-2k|，若对任意的 xR，f(x) f(3)=f(4)都成立，则 k 的取值范围为 .2,3（二）必做题14设 ，则二项式 的展开式的常数项是_.0sincoaxd 61ax15如果实数 满足条件： ，则 的最大值是 。,b201ba2ba16平面向量 满足 ， ， ， ，则 的最小值为 .ea,|e|ba三解答题17 （本题满分 12 分）
5、一个袋子装有大小形状完全相同的 9 个球，其中 5 个红球编号分别为 1,2,3,4,5,4 个白球编号分别为 1,2,3,4，从袋中任意取出 3 个球.(I)求取出的 3 个球编号都不相同的概率；(II)记 为取出的 3 个球中编号的最小值，求 的分布列与数学期望.XX18已知函数 的最大值为 2.()sin2cos(0)fxmx(1)求函数 在 上的单调递减区间;0,(2)ABC 中, ,角 A、B、C 所对的边分别是()()46sin4fAfBa、b、c，且 C=60 ，c=3，求ABC 的面积。19.（本题满分 12 分）如图,在四棱锥 中， 平面PABCDP，底面 是菱形， ， 为
6、与 的交ABCD60O点， 为 上任意一点. EP(I)证明：平面 平面 ；(II)若 平面 ，并且二面角 的大小为 ，求/ABAEC45的值.:20 （本题满分 13 分）已知数列 中，na11,3nna为 奇 数 ，为 偶 数 .(1)求证：数列 是等比数列；2n(2)若 是数列 的前 n 项和，求满足 的所有正整数 n.nSa0nS21.已知离心率为 的椭圆 的右焦点 F 是圆212byax )0(ba的圆心，过椭圆上的动点 P 作圆的两条切线分别交 y 轴于 M,N(与 P 点不1)(2yx重合)两点(1)求椭圆方程(2)求线段 MN 长的最大值，并求此时点 P 的坐标22设函数 ax
7、xfln)(1)若函数 在 上为减函数，求实数 的最小值；,1a(2)若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围2,xexff)()(21 a湖南省 2015 届高三 十三校联考 第二次考试数学（理）一、选择题二、填空题（一）选做题（二）必做题三、解答题18、 【解析】 （1）由题意， ()fx的最大值为 2m，所以 2=而 0m，于是 2， sin)4 ()fx为递减函数，则 x满足 32+2+4kxk Z，即 52+44k Z 所以 ()f在 0去上的单调递减区间为 4去.5 分 （2）设ABC 的外接圆半径为 R，由题意，得 32=2sini60cRC化简 ()()46sin4fAfBAB，
8、得sin2si 由正弦定理，得 6Rab， 2ab .8 分由余弦定理，得 29，即 2390ab .10 分将式代入，得 230ab解得 3ab，或 （舍去） 1sin2ABCSab34 .12 分20、解：（）设 ，23nba因为= = ,2121 ()32nnbaa213(6)(1)32na13na所以数列 是以 即 为首项，以 为公比的等比数列. 5 分2n263（）由（）得1232nnnba，即2132nna， 由 ，得 ，21()3na 1212 53()()63nnna所以 ，121()69()93nnnn212421() )n nSaaa(6933n )1)212n.10 分2
9、2()36()3)nn显然当 时， 单调递减，N2nS又当 时， 0，当 时， 0，所以当 时， 0；1n273489S2n2nS，22215()6nnSan同理，当且仅当 时， 0，21nS综上，满足 0n的所有正整数 为 1 和 2 13 分21、解：（1）圆心坐标（1，0） ，所以 c=1，又 ，ca2故 b=1,故椭圆方程为 4 分12yx(2)设 P（ ， ， ),0),(mM),0(nN去2 21)(22 xxyx . 6 分),0(),0直线 PM 的方程 0)(000 mxyyxmy 2)(1)(| 0200xy同理 0nym,n 是方程 两实根 2)(0xttx由韦达定理：
10、9 分0ynm20mn11 分20202002)(4 )1x( )(844-)| x yxyMN 去令 ， 2-4)(f )2,(),4x显然由 f(x)的单调性知 2max( f ，此时12|maxMN0故 P 点坐标为（ ） ，即椭圆左顶点 13 分-去22、解：（）由已知得 x0，x1 因 f (x)在 1)， 上为减函数，故 2ln1()0xfa 在 ()， 上恒成立1 分所以当 ， 时， max()0f 又 22ln11()lnlxfaax21ln4ax，2 分故当 l，即 2e时， max()4f所以 10,4a 于是 14 ，故 a 的最小值为 1 4 分（）命题“若存在 21,
11、xe使 12()fxa 成立”等价于“当 2,xe时，有 mina()ff ” 5 分由（） ，当 2,e时， x4， max14f 问题等价于：“当 ,x时，有 min1()f ” 6 分当 14a 时，由（1） ， ()f在 2,e上为减函数，则 min()fx= 21()4efa ，故 214ae 8 分当 时，由于 在 上的值域为a14()lnfx2,1,4a（） ，即 ， 在 恒成立，故 在 上为增函数，0a0f2,e()fx2,e于是， ，矛盾10 分min1()()4fxfe（） ，即 ，由 的单调性和值域知，()fx存在唯一 ，使 ，且满足：20(,)xe0f当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增,f()x20(,)xe()0fx()f函数；所以， ， 12 分0min 1()ln4fxfax20(,)e所以， ，与 矛盾201l4lae14a综上得 13 分2
