1、2015 届湖南省长沙市长郡中学等十三校高三第二次联考数学（文）试题时量：120 分钟，满分：150 分一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合 A |2x， B |3x，则 AB=（ ）A | B |C |3x D |3x2不等式 12成立是不等式 (1)tan0成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件3为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元） ，以便引导学生树立正确的消费观样本容量 1000 的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在6,14)内的频数为（ ）A780 B
2、 680 C 648 D 4604输入 1x时，运行如图所示的程序，输出的 x值为（ ）A4 B5 C7 D95已知 ，则 的最小值为（ ）23yyx7A B C D6436下列函数中，在 ),0(上为增函数的是（ ）A xf2sin)( B xef)( C 3 D ln7某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）A 9 B 1893C 1832D 28已知抛物线 C： 的焦点为 F，准线为 ，P 是 上一点，Qyxll是直线 PF 与 C 的一个交点，若 ，则 （ ）PA6 B3 C D38349称 |),(bad为两个向量 a、 b间的“距离”若向量 a、 b满足: 1|；ba
3、；对任意的 Rt，恒有 ),(),(dt，则（ ）A B C )( D 10已知函数 ，若对 ，都有 ，)0(|4| axaxf Rx)(1)2(xff则实数 的最大值为（ ）aA B C D 8111二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡中对应题号的横线上11已知复数 （其中 是虚数单位） ，则 2z iz1i12若直线的参数方程为 ，则直线的斜率为 2()3xty为 参 数13函数 存在与直线 平行的切线，则实数 a 的取值范围为 axfln)( 0yx 14在区间 和 分别取一个数,记为 ab, 则方程 表示离心率大于5,142 12byax的双曲线
4、的概率为 336主主主主15在锐角 ABC中， ， 2BA，则边 的取值范围是 _ 6C三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、 （本小题满分 12 分）编号分别为 A1，A 2，A 16 的 16 名校篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8得分 15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16得分 17 26 25 33 22 12 31 38（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：区间 10,20)来源 2
5、0,30) 30,40人数（2）从得分在区间20,30)内的运动员中随机抽取 2 人， 用运动员编号列出所有可能的抽取结果；求这 2 人得分之和大于 50 的概率17、 （本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥的侧棱 底面 ，且底面 是PABCDA直角梯形， ， ， ，点 在侧CDAB/ 21DM棱上（1）求证： 平面 ；P（2）若侧棱 与底面 所成角的正切值为 ，点 为侧棱21的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值PCBMAPABCM18、 （本小题满分12分）已知正项数列 的首项 ，前 项和 满足na1nnS)2(1nSan（1）求证： 为等差数列，并求数列 的通项公式；n（2）记数列 的
6、前 项和为 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，1nanT*NaTn24求实数 的取值范围19、 （本小题满分 13 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=12将矩形纸片在右下角折起，使得该角的顶点落在矩形有左边上，设 ， ，那么的长度取决lEFB于角 的大小（1）写出用 表示 的函数关系式，并给出定义域；l（2）求 的最小值l20、 （本小题满分 13 分）如图，椭圆 的离心率为 ， 、:C21(0)xyab2B分别为其短轴的一个端点和左焦点，且 F|BF（1）求椭圆 C 的方程；（2）设椭圆 C 的左、右顶点为 ， ，过定点 的直线与1A2)0,(N椭圆 C 交于不同的两点 ，
7、，直线 ， 交于点 ，证D12DK明点 在一条定直线上K xyoBFN1A2A1D2KABCDEFGl21、 （本小题满分 13 分）设知函数 （ 是自然)(ln1)(Raxxf7182.e对数的底数） （1）若函数 在定义域上不单调，求 的取值范围；)(xf a（2）设函数 的两个极值点为 和 ，记过点 ， 的直线的1x2)(,1xfA)(,2xfB斜率为 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的取值集合；若不存在，kaeka请说明理由湖南省 2015 届高三 十三校联考 第二次考试数学（文）一、选择题二、填空题三、解答题17、证明（1）由已知可算得 ， ，2BDC2216BDC故 ，BDC又
8、 ， 平面 ，故 ，PA平 面 AP又 ，所以 平面 ；6 分B解（2）如图，取 PD 中点为 N，并连结 AN，MN，易证明 ，ANBM/则 即异面直线 与 所成角；NMP又 底面 ， 即为 与底面 所成角，PACDCD即 ， ，即 ，21tan21P易求得 ， ，则在 中，5AAN，1032cos2PN PBCDM即异面直线 与 所成角的余弦值为 12 分BMPA10319、解（1）由已知及对称性知， ， ，coslBFGsinlBEG又 ， ，2FBGEA2in2EA又由 得， ，6sincosinll )cos1(si6l即所求函数关系式为 ， 4 分)2s1(sil由 得， ，又显然
9、 ，16inco)(in6cos lBF 21sin4，即函数定义域为 7 分4124,12（2） ， ，3sin)cos(sin6l 2,46i令 （ ） ，利用导数求得，当 时，3)(xf2,43x，92)(maxf所以 的最小值为 13 分l320、解（1）由已知， ， ，且 ， ， ，2|BFaac22cba1b因此椭圆 C 的方程 4 分21xy（2）由题意，设直线 ： ， ， ，21D)2(xk),(1yxD),(2yx联立 得 ，则2()xyk 08)(22， 8 分1281x12kx设直线 ： ， ： ，1DA)(1y2DA)2(2xy联立两直线方程，消去 得 10 分)(21
10、xyx又 ， ，并不妨设 ， 在 x 轴上方，则 ，21xy2y1D2 21xy22代入中，并整理得： )2)()2(211 xxyx 211)(2将代入，并化简得 ，解得 ，1xx因此直线 ， 交于点 在定直线 上 13 分1DA2K21、解（1） 的定义域为 ，并求导 ，)(xf),0(22/ 11)(xaxf 令 ，其判别式 ，由已知必有 ，即 或 ； 12ag42a0当 时， 的对称轴 且 ，则当 时，2a)(xg12a0)(g),(x，0)(xg即 ，故 在 上单调递减，不合题意；/f)(xf),0当 时， 的对称轴 且 ，则方程 有两个不等2ag12a0)(g0)(xg和 ，且 ，
11、 ，1x),(),1(2xx当 ， 时， ；当 时， ， ,0)(/f ),(21x)(/f即 在 ， 上单调递减；在 上单调递增；)(xf1),(2x,综上可知， 的取值范围为 ； 6 分a（2）假设存在满足条件的 ，由（1）知 2a因为 ，)ln()()( 2112121 xxxfxf 所以 ，212121 laffk若 ，则 ，由（1）知，不妨设2aeln21ex且有 ，),(),10(2x2则得 ，即 )ln2121xe ),1(,0ln2122 xex（*）设 ，)(l)(2xexF并记 ， ，4)21(21/ 4)21(21/ ee则由（1）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，且xF,/ ,/x，ex/2/0又 ，所以当 时， ；当 时， ，0)(),1(ex0)(xF),(e0)(xF由方程（*）知， ，故有 ，0)(2xFex2又由（1）知 ，知 （ 在122ag exa12xy1上单调递增） ，)e又 ，因此 的取值集合是 13 分2a1|ea
