1、黄山市普通高中 2018 届高三“八校联考”数学（ 理科 ）试题注意事项： 1 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分2 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在相应的位置 3 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分请在答题卡上答题.）1. 已知集合 1log,0322xBxA，则 BAA. 23， B. ， C. 3， D. 32，2. 欧拉公式 cosinixe（ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， 2ie表示的复
2、数在复平面中位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 如右图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是A. 41 B. 51C. 23D. 24. 将函数 xxfcosin3)(的图像向左平移 m个单位（ 0），若所得图像对应的函数为偶函数，则 的最小值是 A 2 B C 8 D 655. 如右图，在正四棱柱 1AB中， EF， 分别是 1AB，1C的中点，则以下结论中不成立的是A EF与 1垂直 B 与 垂直C 与 D异面 D 与 1
3、C异面6使 )()3(Nnx的展开式中含有常数项的最小的 n为 A7 B6 C5 D47一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为A. 1 B. C. D. A BC11DBEFMN P xyO8设函数 )0(12|lg)(xxf ，若 0)(xf，则 x的取值范围是 A. ),(,( B. ),(, C. )1,0(, D. ),0(,9已知双曲线2xa yb1( 0ba)的两条渐近线与抛物线 2pxy的准线分别交于 BA,两点， O为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, AOB的面积为 3， 则 pA1 B. 32 C2 D310.执行如图所示的程序框图，输出
4、 n的值为A3 B4 C5 D611.函数 2axbfc的图像如图所示，则下列结论成立的是A. 0， ， 0 B. ， ，C. a， b， D. ， ， c12.已知定义在 ,0上的函数 xf，满足：(1) 0xf；(2) fxf2（其中 是 的导函数），则 21f的取值范围为A. 21,e B. 21,e C.e, D. 3e, 第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分请在答题卡上答题.）13.已知单位向量 21,e的夹角为 ,且 31cos,若向量 213ea,则 a= .14.设 ABC中，角 所对的边分别为 b，若 ABC的面
5、积为 243bc，则 C .开始 a=1,n=1 n=n+1 1输出 n 结束是否1a|1.4|0.?aPA BCDE15.不等式组 ayxyx,02,表示的平面区域是一个四边形，则 a的取值范围是 .16. 已知椭圆21(0)b的左焦点 1F和右焦点 2，上顶点为 A， 2F的中垂线交椭圆于点 B，若左焦点 1F在线段 AB上，则椭圆的离心率为 .三、解答题（本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17. 已知数列 na的前 项和为 nS，且 2数列 nb为等比数列，且 1b， 48（）求数列 ， b的通项公式；（）若数列 c满足 na，求数列 nc的前 项和 T.1
6、8. 为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了共享单车服务系统，鼓励市民租用公共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下：租用时间不超过 1 小时，免费；租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时，收费 1 元；租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时，收费 2 元；租用时间超过 3 小时的时段，按每小时 2 元收费（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）已知甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过 3 小时，设甲、乙租用时间不超过 1 小时的概率分别是 0.4 和 0.5 ，租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时的概率分别是 0
7、.5和 0.3.（）求甲、乙两人所付租车费相同的概率；（）设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 E.19. 如图，在三棱锥 ABC中， 所在平面和底面 ABC相互垂直，60,90, ACBPA，点 ， E分别在棱 ,P上（不与端点重合），且平面 DE平面 . （）求证： /； （）是否存在点 使得二面角 DE大小为 60？如果存在请确定点 的位置，不存在请说明理由.20. 如图，等边三角形 OAB的边长为 8 3，且其三个顶点均在抛物线 E： )0(2pyx上（）求抛物线 的方程；（）设动直线 l与抛物线 E相切于点 P，与直线 1y相交于点 Q.证明：以 为直径的圆
8、恒过 轴上某定点21. 已知函数 ()fx= lna在 1x处取得极值.（）求实数 的值； （）若关于 的方程 2()fb在 ,上恰有两个不相等的实数根，求实数 b的取值范围；（）证明： 213,21nknNnf参考数据： ln20.693122已知曲线 C的极坐标方程为 4cos，以极点为原点，极轴为 x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l参数方程为3521xty（ 为参数） （）求曲线 和直线 l的直角坐标方程；（）设曲线 C与直线 相交于 QP、 两点，以 为一条边作曲线 C的内接矩形，求该矩形的面积黄山市 2018 届高三“八校联考”数学（ 理科 ）参考答案及评分标准一、选择题（本大
9、题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B B C A D C B B C B D A二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.）13. 3 14. 300 15. )34,1(a16. 3 三、解答题（本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.解：（） 数列 na的前 项和为 nS，且 2， 当 2n时， 221()1S当 1时， 1亦满足上式，故 na， (*)N 3 分又 数列 nb为等比数列，设公比为 q， 1b
10、， 3418q， 2 12nb (*)N 6 分（） 21nnbca 8 分123nnTc 2()()(1)n 2()n() 10 分所以 12nT 12 分18. 解：（）根据题意，分别记“甲所付租车费 0 元、1 元、2 元”为事件 A1，A 2，A 3，它们彼此互斥，且 123()0.4,().5,()1.45.PAPA,分别记“乙所付租车费 0 元、1 元、2 元”为事件 B1，B 2，B 3，它们彼此互斥，且123().,().,().0.BB. 2 分由题知，A 1，A 2，A 3与 B1，B 2，B 3相互独立， 3 分记甲、乙两人所付租车费相同为事件 M，则 M=A1B1+A2
11、B2+A3B3，所以 P(M)=P(A1)P(B1)+ P(A2)P(B2)+ P(A3)P(B3)=0.40.50.50.30.10.2=0.20.150.02=0.37; 6 分（）据题意 的可能取值为：0,1,2,3,4 , 7 分1(0)()0.2PAPB; 1221()()()0.43.50.37PAPB;132312 0.4.5.28;2332(3)()()0.5.3.;340.1.PAPB. 10 分所以 的分布列为：0 1 2 3 4P 0.2 0.37 0.28 0.13 0.02的数学期望 .21.37.2830.4.1.E, 12 分19. 【解析】解法 1:（）平面 P
12、AC平面 ABC, 平面 PAC平面 ABC=AC,BCAC ,BC平面 PAC 2 分又平面 ADE平面 PAC，则在平面 ADE 中作 AE 的垂线 l 可得 l 平面 PAC，l /BC， 4 分又 BC平面 ADE，l 平面 ADE， BC/平面 ADE，又 BC 平面 PBC，平面 PBC平面 ADE=DE， BC/DE. 6 分 （）由（）知 BC/DE 且 BC平面 PAC,则可得 DE平面 PAC ,DEPE, DEAE,则 PEA 即为二面角 A-DE-P 的平面角 , 9 分由题意可知 PAC 为等腰直角三角形, PCA= 45,所以在直角边 PC 上存在点 E 使得PEA
13、= 60,且 PE:PC=PE:PA= 3. 12 分解法 2(向量法):略20【解析】（）依题意，|OB|8 ，BOy 30设 B(x， y)，则 x|OB|sin30 4 3，y |OB |cos3012 2 分因为点 B(4 3，12)在 x22py 上，所以(4 )22p12，解得 p2故抛物线 E 的方程为 x24y 5 分（） 由（）知 y 1x2，y x设 P(x0，y 0)，则 x00，且 l 的方程为yy 0 12x0(xx 0)，即 y 2x0x 420由2014yx，得2041xy所以 Q( 04x，1) 7 分设 M(0，y 1)，令 P Q0 对满足 y0 142x
14、(x00) 的点(x 0，y 0)恒成立由于(x 0，y 0y 1)， M(20，1y 1)，由 P 0，得204xy 0y 0y1y 1 20，即( 21yy 12)(1y 1)y00 (*) 10 分由于(*)式对满足 y0 42x (x00)的 y0恒成立，所以 120y，解得 y11 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1) 12 分21. 解（） 1fxa，由题意得， 1x是 ()f的一个极值点, 10f，即 0,经检验 0a符合题意. 2 分（） 由（）得 lnfx， 2 2lnfxbxxb23ln0xb3 分设 g，则 2113.gxx当 x变化时， ,xg的变化
15、情况如下表：10,21,21,2gx0增 极大值 减 极小值 增 2lnb当 1x时， 12gxb极 小 值 ， 15ln4gb， lg5 分方程 2fx在 ,上恰有两个不相等的实数根， 150ln02452ln2.4lgbb7 分（） lnkfk， 2131nfkn21ln23l4l3,N8 分 设 21xx，则 221xx当 时， 0函数 y在 ,上是减函数， 232lnln1.44xx 10 分当 时， 21lxx， ln23ln 21114546.n 原不等式成立. 12 分22. 解：（）对于 C：由 =4cos，得 2=4cos，进而 x2+y2=4x；对于 l：由3521xty（t 为参数） ，得 ，即 5 分（）由（）可知 C 为圆，且圆心为（ 2，0） ，半径为 2，则弦心距 ，弦长 ，因此以 PQ 为边的圆 C 的内接矩形面积 10 分
