1、2015 届江西省赣州市十二县(市) 高三下学期期中联考数学理试题一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 )1设集合 ,集合 ,则 ( )23lg(xyxAxyB1BA)A B (, 1 C D )2,02已知向量 是两个不共线的向量,若 与 共线,则 的值1e 21ea21eb为 ( )A. B. C. 1 D. 213直线 与圆 相交于 A,B 两点,则“OAB 的面积为 ”是“:lykxy433k”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4设随机变量 服从正态分布 N(
2、0,1) ,若 )02(,)2(Pp则( )A B C Dp21p1p15设 满足约束条件 ,则目标函数 的取值范围为 yx,10yx2xyz( )A B C D 3,2,1, 3,6在 C中, A、 、 的对边分别为 abc、 、 ,且 oscsoCaB,2B,则 的面积为 ( )A B C D 232247定义在 R 上的偶函数 满足:对任意的 ,都有)(xf )(0,11xx.则0)(12xff( )A B)5(log)()3.(23.0fff )3.0()2()5(log23.02fffC D5log3.022 l.08 的展开式中不含 的项的系数和为 ( )1yxxA32 B 错误!
3、未找到引用源。 C64 错误!未找到正视图 侧视图俯视图534 3(11 题图)引用源。 D 错误!未找到引用源。649已知抛物线 y22px (p0)与双曲线 1(a0,b0)有相同的焦点 F,点 Ax2a2 y2b2是两曲线的一个交点,且 AFx 轴,则双曲线的离心率为 ( )A 2 错误!未找到引用源。 B 1 错误!未找到引用源。 2 5C 1 错误!未找到引用源。 D 1 错误!未找到引用源。3 210.设函数 的所有正的零点从小到大依次为 .xxfcos1in3)( ,321x设 ,则 的值是 ( )20521.,iA.0 B. C. D.1311若某几何体的三视图(单位: )如图
4、所示,则该几何体cm的体积等于( )A B C 310cm32030cmD 412已知函数 和函数 ,若 的反函数为)1()axf且 xg2sin)()(f,且 与 两图象只有 3 个交点,则 的取值范围是 ( ))(xh(gaA B )29,15)9,(7,0C D (37321二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 )13若复数 为纯虚数,则 的值为 iaz)()(2ia120514设 , ,则 10xdtn3tn15当输入的实数 时,执行如图所示的程序框图,则输出的,0x不小于 103 的概率是 。16若 ,则 的最小值为 5)(, bcacba且 cba2。 三、
5、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 (本小题满分 12 分)已知公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn,满足 成等比数列,532,a。456S求数列 an的通项公式;令 ,是否存在正整数 M,使不等式21nnSp恒成立,若存在,求出 M 的最小值;若不存在,说明理Mppn2.21由18 (本小题满分 12 分)某大学自主招生分笔试和面试两部分,老师把参加笔试的 40 名学生的成绩分组: 第 1 组75,80) ,第 2 组 80,85) ,第 3 组85, 90) ,第 4 组 90, 95) ,第 5 组95,100) ,得到频
6、率分布直方图如图所示:分别求成绩在第 4,5 组的人数;若该教师决定在笔试成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名进入面试,已知甲和乙的成绩均在第 3 组,求甲和乙同时进入面试的概率;若决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试,设第 4 组中有 X 名学生被考官 D 面试,求 X 的分布列和数学期望19、 (本小题满分 12 分)如图,在斜三棱柱 中,侧面 与侧1CA1CA面 都是菱形, , ,1C16026A求证: ;11B平 面 平 面求二面角 的余弦值20、 (本小题满分 12 分)设椭圆 的离心率 ,右焦点到直线 的距离)0(1:2bayxC 1bya
7、x,为坐标原点.721dO(I)求椭圆 的方程;(II)过点 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,证明点 到直线OAB 的距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值.21(本小题满分 12 分)已知函数 。xfln)(()函数 的单调增区间和最小值;()设函数 ,若对任意 恒成立,求实数 的1fh1,)(1)xhxmm取值范围.请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22、(本小题满分 10 分)如图,设 AB 为 O 的任一条不与直线垂直的直径,P 是O 与的公共点,AC,BD ,垂足分别为 C,D,且 PC=PD()
8、求证:是O 的切线;()若O 的半径 OA=5,AC=4,求 CD 的长23、(本小题满分 10 分)已知直线的参数方程是 (是参数),C 的极坐标方程为24xty2cos()4()求圆心 C 的直角坐标;()试判断直线与C 的位置关系24(本小题满分 10 分)已知函数 ()213fxx()求不等式 的解集;6()若关于 的不等式 的解集非空,求实数 的取值范围()faa20142015 学年第二学期赣州市十二县(市)期中联考参考答案一、选择题15:ABBCD 610:CABDA 1112:BC二、填空题13、 14、-2 15、 16、i91452三、解答题17 (本小题满分 12 分)解
9、 (1)设公差为 d,由已知,得 523a,2 分dada222得由 得456S15 分32na(2)由(1)得 ,.6 分2)1(Sp n2)1(32)1(3n2 ,.8 分2n 2n 2p 1p 2p 3p n2n 2n21(2 21 23) (2 22 24) (2 2n 2n 2) .2n 1 2n 2由 n 是整数可得 p1p 2p 3p n2n311 分故存在最小的正整数 M3,使不等式 p1p 2p 3p n2nM 恒成立.12分18 (本小题满分 12 分)解()第 4 组学生人数为 ,第 5 组人数为0.4580.254所以第 4,5 组的学生人数分别为 8 人,4 人 -4
10、 分()因为第 3 组学生人数为 ,所以第 3,4,5 中抽取的人数分别是.60123 人,2 人,1 人,则甲,乙同时进入面试的概率为 -8 分1032CP由知,X 的可能取值为 0,1,2 所以2124466681(0),(),()555CCPPXXX 分布列为- 12 分28120553EX19、 (本小题满分 12 分)解:()证明:连 AC1,CB 1,则ACC 1 和B 1CC1 皆为正三角形取 CC1 中点 O,连 OA,OB 1,则CC1OA ,且 OA=OB1= , AB136由勾股定理可知 OAOB 1, A1C平 面5 分1BC平 面 A平 面()解:如图所示,分别以 O
11、B1,OC 1,OA 为正方向建立空间直角坐标系,则 C(0,1,0),B 1( ,0,0) ,A(0,0, ), 6 分3 3设平面 CAB1 的法向量为 m(x 1,y 1,z 1), 因为 ( ,0, ), (0 ,1, ),AB1 3 3 AC 3所以 取 m(1, ,1) 8 分3x1 0y1 3z1 0,0x1 1y1 3z1 0, ) 3设平面 A1AB1 的法向量为 n(x 2,y 2,z 2), 因为 ( ,0, ), (0,2,0),AB1 3 3 AA1 所以 取 n(1,0, 1) 10 分3x2 0y2 3z2 0,0x1 2y1 0z1 0, )则 cos m,n
12、,因为二面角 C-AB1-A1 为钝角,mn|m|n| 252 105所以二面角 C-AB1-A1 的余弦值为- 12 分10520 (本小题满分 12 分)(I)由题意得 , , .1 分X 0 1 2P 2585ABCA1B1C1zyxO由题意得椭圆的右焦点 到直线 即 的距离为, ,.3 分椭圆 C 的方程为.4 分(II)当直线 AB 斜率不存在时,直线 AB 方程为 ,此时原点与直线 AB 的距离721x.5 分721d当直线 AB 斜率存在时,设 ,直线 AB 的方程为则 , ,直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立得消去 得整理得则 是关于 的方程 的两个不相等的实数根,.6
13、分,整理得 ,O 到直线 AB 的距离综上:O 到直线 AB 的距离定值 . 9 分,当且仅当 OA=OB 时取“=”号. ,又 , ,即弦 AB 的长度的最小值是 .12 分21(本小题满分 12 分)解:(1)f(x)=1+lnx,.1 分令 f(x)=1+lnx0 解得,x ;故 f(x)的单调增区间为(, +);f(x)的单调减区间为(0,); .3 分故 f(x)的最小值为 f()=;4 分(2)由题可得5 分设 ,即 .6 分若 , ,这与题设 矛盾7 分若 方程 的判别式当 ,即 时, . 在 上单调递减,即不等式成立9 分当 时,方程 ,其两根 满足:, ,当 时, , 单调递
14、增, ,与题设矛盾11 分综上所述,12分22、(本小题满分 10 分)()证明:连接 OP,因为 ACl,BDl ,所以 ACBD 又 OA=OB,PC=PD,所以 OPBD ,从而 OPl因为 P 在O 上,所以 l 是O 的切线.5 分()解:由上知 OP=(AC+BD),所以 BD=2OPAC=6,过点 A 作 AEBD,垂足为 E,则 BE=BDAC=64=2,在 RtABE 中,AE= =4 ,CD=4 .10 分23、(本小题满分 10 分)解:(I)由C 的极坐标方程为 ,展开化为2cos()4,即 ,2cos()(sin)42xy化为 22(1)xy圆心C .5(,)分(II)由直线 l 的参数方程 (t 是参数),消去参数 t 可得 xy-4 =0,圆心 C 到直线的距离 ,242d因此直线 l 与圆相离.10 分24(本小题满分 10 分)解:()由 得()2136fxx解得132x不等式的解集为 .4 分2,1() 即 的最小值等于 4,.6 分()321(3)4fxxx)(xf由题可知|a 1|4,解此不等式得 a 3 或 a5故实数 a 的取值范围为(, 3)(5,+)10 分