1、2015 届广西柳州市、钦州市、北海市高中毕业班 1 月模拟数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分） （2015 钦州模拟）设集合 A=x|1x3，集合 B=x|x1，则 AB=（ ）A x|1x3 B x|1x3 C x|1x 3 D x|1x3【考点】： 交集及其运算【专题】： 集合【分析】： 由 A 与 B，求出 A 与 B 的交集即可【解析】： 解：A=x| 1x3，集合 B=x|x1，AB=x|1x3，故选：B【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本
2、题的关键2 （5 分） （2015 钦州模拟）已知 i 为虚数单位，复数 ，则复数 z 的实部为（ ）A B C D 【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数的运算法则、实部的定义即可得出【解析】： 解：复数 = = = ，则复数 z 的实部为 故选：D【点评】： 本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题3 （5 分） （2015 钦州模拟）某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有 150 个、120 个、190 个、140 个销售点为了调查产品的质量，需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100的样本，记这项调查为；在丙城市有 20 个特大型
3、销售点，要从中抽取 8 个调查，记这项调查为，则完成、 这两项调查宜采用的抽样方法依次为（ ）A 分层抽样法、系统抽样法B 分层抽样法、简单随机抽样法C 系统抽样法、分层抽样法D 简单随机抽样法、分层抽样法【考点】： 分层抽样方法【专题】： 概率与统计【分析】： 分别根据分层抽样，系统抽样和简单抽样的定义进行判断即可【解析】： 解：由于四个城市销售点是数量不同，可能存在差异比使用较明显，故应用分层抽样由于丙成立销售点比较比较少，可以使用简单随机抽样即可故选：B【点评】： 本题主要考查随机抽样的应用，利用三种抽样的定义是解决本题的关键，比较基础4 （5 分） （2015 钦州模拟）已知向量 ，
4、，且 ，则的值为（ ）A B 13 C 5 D 【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 首先由向量平行得到 x，然后利用坐标运算解答【解析】： 解：因为向量 ， ，且 ，所以 26=3x，解得 x=4，所以 =（ 2，3） ，所以 = ；故选 A【点评】： 本题考查了向量平行的性质以及向量加法、模的坐标运算；属于基础题5 （5 分） （2015 钦州模拟）求曲线 y=x2 与 y=x 所围成图形的面积，其中正确的是（ ）A B C D 【考点】： 定积分的简单应用【分析】： 画出图象确定所求区域，用定积分即可求解【解析】： 解：如图所示 S=SABOS 曲边梯形
5、ABO ，故选：B【点评】： 用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，本题属于基本运算6 （5 分） （2015 钦州模拟）若 ，则 sin2 的值为（ ）A B C D 【考点】： 二倍角的正弦；二倍角的余弦【专题】： 计算题；三角函数的求值【分析】： 由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cos sin，或 cos+sin 的值，由此求得 sin2 的值【解析】： 解：由已知得：cos2 =sin（ ） ，cos 2sin2= （sincos ） ，cos+sin = ，或者 sincos=0（舍去）两边平方，可得：1+sin2= ，从而可解得：sin2= 故选：A【点评】：
6、 本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式的应用，属于中档题7 （5 分） （2015 钦州模拟）设变量 x、y 满足约束条件 ，则 z=2x2y 的最小值为（ ）A B C D 【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，设 m=x2y，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解析】： 解：设 m=x2y 得 y= ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= ，过点 A 时，直线 y= 距最大，此时 m 最小，由 ，解得 ，即 A（2，2） ，此时 m 最小为 m=222=2，则 z=
7、2x2y 的最小值为 22=故选：B【点评】： 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义以及指数函数的性质是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法8 （5 分） （2015 钦州模拟）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）A 10 B 11 C 12 D 13【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，分别求表面积即可【解析】： 解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，球的半径为 1，圆柱的高为 3，底面半径为 1所以球的表面积为 412=4
8、圆柱的侧面积为 23=6，圆柱的两个底面积为 212=2，所以该几何体的表面积为 4+2+6=12故选 C【点评】： 本题考查由三视图求面积，考查学生的空间想象能力9 （5 分） （2015 钦州模拟）一个袋子中有号码为 1、2、3、4、5 大小相同的 5 个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（ ）A B C D 【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】： 概率与统计【分析】： 先求出第一次取得号码为奇数的概率，再求出第二次取得号码为偶数球的概率，根据概率公式计算即可【解析】： 解：1、2、
9、3、4、5 大小相同的 5 个小球，从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数的概率为 ，第二次取得号码为偶数球的概率为 = ，故第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为 = ，故选：D【点评】： 本题考查了条件概率的求法，属于基础题10 （5 分） （2015 钦州模拟）阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数 x 的取值范围是（ ）A 2，1 B （ ， 1 C 1，2 D 2，+）【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 f（x） = 的函数值
10、根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间 ，即可得到答案【解析】： 解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 f（x）= 的函数值又输出的函数值在区间 内，x 2，1故选：A【点评】： 本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基本知识的考查11 （5 分） （2015 钦州模拟）已知双曲线 =1（a0，b0）与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为 P，若|PF|=5 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A x2y=0 B 2xy=0 C x y=0 D xy=0【考点】： 双曲线
11、的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 先求出 c，利用抛物线的定义求出 m，再由双曲线的定义求出 a，进而求得b，从而求得两条渐近线方程【解析】： 解：抛物线 y2=8x 的焦点 F（2，0） ，准线为 x=2，c=2设 P（m，n） ，由抛物线的定义得|PF|=5=m+2，m=3由双曲线的定义得 = ， = ，a=1，b= ，两条渐近线方程为 xy=0，故选 D【点评】： 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质的应用，求出 a 值是解题的关键12 （5 分） （2015 钦州模拟）已知函数 y=f（x）满足下列条件：（1）对xR ，
12、函数y=f（x）的导数 f（x）0 恒成立；（2）函数 y=f（x+2）的图象关于点（ 2，0）对称；对x、yR 有 f（x 28x+21）+f（y 26y）0 恒成立则当 0x4 时，x 2+y2 的取值范围为（ ）A （3，7） B （9，25） C 9，41） D （9，49）【考点】： 导数的运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】： 导数的综合应用【分析】： 由（1）可得函数 f（x）在 R 上单调递减；由（2）可得函数 f（x）为减函数；已知对x、yR 有 f（x 28x+21）+f（y 26y）0 恒成立，化为 f（x 28x+21） f（y 26y）
13、=f（6yy 2） 可得 x28x+216y y2，化为（x4） 2+（y3） 24圆心 C（4，3） ，半径R=2可得 x2+y2（|OC| R） 2=9直线 x=4 与圆（x4） 2+（y 3） 2=4 相交于点 P（4，1） ，Q（4，5） x 2+y2|OQ| 2=41即可得出【解析】： 解：由（1）对x R，函数 y=f（x）的导数 f（x）0 恒成立，可得函数f（x）在 R 上单调递减；由（2）函数 y=f（x+2）的图象关于点（2，0）对称， 函数 f（x）为奇函数；对x、yR 有 f（x 28x+21）+f（y 26y）0 恒成立，化为 f（x 28x+21） f（y 26y）
14、=f（6yy 2） x 28x+216yy 2，化为（x4） 2+（y3） 24圆心 C（4，3） ，半径 R=2x 2+y2（|OC| R） 2=9直线 x=4 与圆（x 4） 2+（y3） 2=4 相交于点 P（4，1） ，Q（4，5） x 2+y2|OQ| 2=41则当 0x4 时，x 2+y2 的取值范围为（9，41） 故选：C【点评】： 本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ）13 （5 分） （2015 钦州模拟）已知 的展开式中，常数项为 14，则
15、a= 2 （用数字填写答案） 【考点】： 二项式系数的性质【专题】： 计算题；二项式定理【分析】： 利用二项式定理的通项公式，通过 x 的指数为 0，求出常数项，然后解出 a 的值【解析】： 解：因为 的展开式中 Tr+1= ，令 213r =0，可得 r=6当 r=6 时展开式的常数项为 7a=14，解得 a=2故答案为：2【点评】： 本题是基础题，考查二项式定理通项公式的应用，考查二项式定理常数项的性质，考查计算能力14 （5 分） （2015 钦州模拟）在 ABC 中，角 A、B、C 的对边长分别是 a、b、c，若bcosC+（2a+c）cosB=0，则内角 B 的大小为 【考点】： 正
16、弦定理；三角函数中的恒等变换应用【专题】： 计算题；三角函数的求值；解三角形【分析】： 运用正弦定理，将边化为角，由两角和的正弦公式和诱导公式，化简整理，结合特殊角的三角函数值，即可得到 B【解析】： 解：由正弦定理，bcosC+（2a+c）cosB=0，即为 sinBcosC+（2sinA+sinC）cosB=0 ，即（sinBcosC+sinCcosB）= 2sinAcosB，即 sin（B+C）= 2sinAcosB，即有 sinA=2sinAcosB，则 cosB= ，由于 0B，则 B= ，故答案为： 【点评】： 本题考查正弦定理及运用，考查两角和的正弦公式和诱导公式，考查特殊角的三
17、角函数值，考查运算能力，属于基础题15 （5 分） （2015 钦州模拟）设经过点（ 4，0）的直线 l 与抛物线 y= 的两个交点为A、B，经过 A、B 两点分别作抛物线的切线，若两切线互相垂直，则直线 l 的斜率等于 【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 对抛物线 y= ，y=x，l 的方程是 y=k（x+4） ，代入 y= 得：x22kx8k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率【解析】： 解：对抛物线 y= ，y=x，l 的方程是 y=k（x+4） ，代入 y= 得：x 22kx8k=0，设两个切点是 A（x
18、1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，若 PA 与 PB 垂直，则 x1x2=8k=1，k= ，故答案为： 【点评】： 本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用16 （5 分） （2015 钦州模拟）已知三棱锥 PABC，PA AB，PAAC，BAC=120 ，PA=AB=AC=2，则三棱锥的外接球体积为 【考点】： 球的体积和表面积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 求出ABC 的外接圆的半径，三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球体积【解析】： 解：设ABC 的外接圆的半径为 r，三棱锥的外接球的半径为 R，则AB=AC=2，B
19、AC=120，BC= =2 ，2r= =4，4R 2=16+4，R= ，三棱锥的外接球体积为 = ，故答案为： 【点评】： 本题考查三棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17 （12 分） （2015 钦州模拟）已知递增的等比数列a n前三项之积为 8，且这三项分别加上 1、2、2 后又成等差数列（1）求等比数列a n的通项公式；（2）记 bn=an+2n，求数列b n的前 n 项和 Tn【考点】： 数列的求和；等比数列的通项公式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用等差数列与等比数列的前 n 项和公式即可得出【解析】： 解：（1）设等比数列前三项分别为 a1，a 2，a 3，则 a1+1、a 2+2、a 3+2 又成等差数列依题意得： ，即 ，解之得 ，或 （数列a n为递增等比数列，舍去） ，数列a n的通项公式： （2）由 bn=an+2n 得， ，T n=b1+b2+bn=（2 0+21）+（2 1+22）+（2 2+23）+（2 n1+2n）=（2 0+21+22+2n1）+2 （1+2+3+n）=
