1、2015 届江苏省泰兴市第一高级中学高三下学期月考（四）数学试题一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上1. 已知集合 2|0Mx, |1Nx，则 RMNI（ ）= . 2如果 1abi与 -i互为共轭复数（ ,abR， i为虚数单位） ，则 |abi= 3. 下图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 4. 函数 ()2sin()0,fx且 |)2的部分图像如图所示, (0)f的值为 . 5. 连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是 a， b，则函数 2()fxab在 1x处取得最值的概率是 . 6. 在 ABC中，
2、“角 ,成等差数列”是“ sin3cosin)cosCAB”成立的_条件(填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要 ”之一) 7.设等差数列 na的前 项和为 nS，若 19， 462 当 nS取最大值时， n 8. 已知 442cosi,(0,)3，则 cos()3 9. 已知 ()fx是定义在 R 上的奇函数，又是周期为 2 的周期函数，当 0,1)x时， ()21xf，则0.5(lg6f的值为_ 10. 已知双曲线21(0,)yab，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为 1:的两部分，则双曲线的离心率为 11. 已知圆 2()
3、9x与直线 3tx交于 BA,两点，点 ),(baP在直线 xy2上，且 PBA,则a的取值范围为 . 12. 在四边形 ABCD 中， AB， DC，3D，则四边形 ABCD 的面积是 0,1sn第 3 题图 第 4 题图13.设 ABC的内角 ,所对的边 ,abc成等比数列，则 sinBA的取值范围是 14. 已知对于一切 x，yR，不等式 02182 ayxyx恒成立，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c， sintaco
4、ABC.（1）求 C；（2）若ABC 的外接圆直径为 1,求 的取值范围.16. 在正四棱锥 SABCD中，底面边长为 a，侧棱长为 2a， P为侧棱 SD上的一点.（1）当四面体 P的体积为3618时，求 SPD的值；（2）在（1）的条件下，若 E是 的中点，求证： /BEAC平 面17. 如图是一块镀锌铁皮的边角料 ABCD，其中 ,A都是线段，曲线段 BC是抛物线的一部分，且点 B是该抛物线的顶点， 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量， 2 米， 3AD米，AD，点 C到 ,的距离 ,HR的长均为 1 米现要用这块边角料裁一个矩形 EFG（其中点 F在曲线段 或线段 上，点 E在线段
5、上，点 G在线段 上）. 设 的长为 x米，矩形EG的面积为 S平方米.（1 ）将 表示为 x的函数；（2 ）当 为多少米时， 取得最大值，最大值是多少？ADBCSPABCDEFG R第 17 题H18已知椭圆2:1(0)xyCab的离心率为 2，并且椭圆经过点 (1,)，过原点 O的直线 l与椭圆交于 AB、 两点，椭圆上一点 M满足 AB（1）求椭圆 的方程；（2）证明： 22O为定值；（3）是否存在定圆，使得直线 l绕原点 O转动时， AM恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程， 若不存在，说明理由19. 已知函数 （ ） 2()lnfxxaR（1）当 时，求 的图象在 处的切线方程；
6、2af1（2）若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围；()gxaxme, m（3）若函数 的图象与 轴有两个不同的交点 ，且 ，f 12(0)()AxB， ， ， 120x求证： （其中 是 的导函数） 12()0x()fxf 第 18 题图xOyAB20. 设数列 an满足： a11， a22， an2 (n1， nN *),令 1.naban a2n 1 1a2n 1(1) 求证：数列 nb是常数列；(2) 求证：当 n2 时， 213n；(3) 求 a2 015的整数部分.数学附加题（春第四次阶段练习）1. 若二阶矩阵 M满足： 1258346.(）求二阶矩阵 ；(）若曲线 22:
7、1Cxy在矩阵 M所对应的变换作用下得到曲线 C，求曲线 的方程.2. 已知点 (12cos,in)P（其中 0,2)，点 P的轨迹记为曲线 1C，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 Q在曲线 21:cos()4C上()求曲线 1C的极坐标方程和曲线 2的直角坐标方程;()当 0,2时，求曲线 1与曲线 2的公共点的极坐标班 级_姓 名_考试号_3. 如图，在斜三棱柱 1CA中，侧面 1CA与侧面 1C都是菱形，11C60A， 2求证： ；若 1，求二面角 1C的平面角的余弦值4.已知 (12)(*)nnaN（1）若 ,baZ，求证 a是奇数；（2）在（1）的条件下，求证对于
8、任意 *n，都存在正整数 k，使得 1nak 座号高三数学阶段练习四参考答案1.0,1 2. 5 4. 3 5. 12 6.充分不必要 7. 5 8. 126 9. 10. 23 11.)2,0(,1 12.2313. (,) 14. (,6a 15.解：(1)因为 sintacoABC,即 sinisncocoCAB, 所以 sin , 即 ii, 得 ()s() ， 4 分所以 AB,或 ()AB(不成立). 6 分即 2C, 得 3 ； 7 分(2)法一：由 ,3设 20,33知 -. 因 sini2siniaRbR, 故 ()()()3bAB cos， 3， 1cos， 3ab. 14
9、 分法二： 2sinin()sincos2abAA3in()6 ，250,366A， 1()1,6ab . 14 分16.解：（1）设 PDx，设 作 PHBD于 ，SBC平 面 平 面且 为交线，则 H平 面 ，又 SOAC平 面 /PSO， 2 分在 RtO中， 26a，4 分32xPDPSxS， 3166()()318PACPACVaa， 6 分解得 23xa2.8 分（2）取 S中点 Q，连结 ,EB，则 /, ,/EPACEQPAC平 面 ， 平 面 平 面 ， 则 BPOACOB平 面 ， 平 面 平 面 ， 而 与 为平面 内的两条相交直线， 平 面 平 面 ，而 平 面 ， /
10、平 面 14 分17.解：（1）以点 为坐标原点， B所在直线为 x轴，建立平面直角坐标系. 设曲线段 B所在抛物线的方程为 2(0)yp， 将点 (,)C代入，得 21p，即曲线段 的方程为 (0)x. 2 分ABCDEFG RHxy又由点 (1,)2,3CD得线段 C的方程为 )yx. 而 GA，所以 (,01,21)2.xS6 分（2）当 0x时，因为132()Sx，所以123xS，由 0，得 ， 当 (,)x时， ，所以 递增；当 ,13时， 0S，所以 递减，所以当 23x时， max469S；10 分当 2x时，因为 5(21)()8x，所以当 54时， max98； 12 分 综
11、上，因为 6，所以当 54米时， max98S平方米. 14 分18 （1）由题设：221,ba解得 23,ab，椭圆 C的方程为2;3xy4 分（2）直线 l的斜率不存在或为 0 时， 222143OABMab； 5 分直线 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l的方程为 (0)ykx，则 MAB， 直线 的方程为 yxk，由 23ykx得 2(1)3kx， 2231ABk，8 分同理 2M， 21OAB 222223313(1)(1)()kkk2()()，221OABM为定值； 11 分（3）由（2）得：直线 l的斜率不存在或为 0 时， 2221113OAMab； 12 分直线 l的斜率存
12、在且不为 0 时， 2222 222111133()3()()()kkOAMk原点 到直线 的距离 2221OAMdO， 直线 A与圆 21xy相切，即存在定圆 ，使得直线 l绕原点 转动时， A恒与该定圆相切. 16 分19.解：（1）当 时， ， ，切点坐标为 ，a2()nfx()2fx(1)，切线的斜率 ，则切线方程为 ，即 4 分12k 1yyx（2） ，则 ，()2lngxxm()()gxx ，故 时， 当 时， ；当 时， 1e， ()0 e(0g1ex()0gx故 在 处取得极大值 6 分()x(1)又 ， ， ，则 ，2eeg2()g21()4eg1()e所以， 在 上的最小值
13、是 8 分1,e在 上有两个零点的条件是 ，解得gx,e 2101mgee 21me所以实数 的取值范围是 . 10 分m2,（3）因为 的图象与 轴交于两个不同的点fxx12,0,AxB所以方程 的两个根为 ，则 ，两式相减得2ln0a12,122ln0ax，又 ，则1212lxaxl,fxxfx12 分12121212ln44f a下证 （*） ，即证明1212ln40xx111222l0,xxt即证明 在 上恒成立14 分0,tlntutt因为 又 ，所以222114()()()t tut tt01t0ut所以， 在 上是增函数，则 ，从而知t0,1u2112lnxx故 ，即 成立16
14、分1212ln40xx120xf20.解：(1) 易知，对一切 n1，a n0，由 an2 ，得 .anaoal(2,n 1) 1a2n 1 an 2an 1 1an 1 an 1an 1an依次利用上述关系式，可得 1，an 1an 1ananan 1 1an 1an 1an 2 1an 2a2a1 1a121 11从而数列 是常数列4 分an 1an 1an(2) 由(1)得 an1 a n .1an又 a11，可知数列a n递增，则对一切 n1，有 an 1 成立，从而 0 1.1a2n当 n2 时，a 21()naa 2，2n 2n 11a 2n 1于是 a a 2，2n 2n 11a
15、 2n 12a a 3. 10 分2n 2n 1(3) 当 n2 时，a a 2，a a 2( n1)2n 2n 11a 2n 1 2n 1a 2n 1 1a21 21a 1，a 4，则当 n3 时，21 2a a 2(n1)2n1a 2n 1 1a21 21 112(n1)1a 2n 1 1a2 2n. 201522014.015436a， 12 分1a 2n 1 1a2又 201520141.()4 029 2014a4 030 1(.)62041a214 030 (.)39+ (.)9+ 1(.)204124 030 861854024 09664 2. 63 2015a64，即 215a的整数部分为 63. 16 分
