1、第四章 三角形第 16课 三角形的基础知识1.三角形的边、角关系：(1)三角形任意两边的和 _第三边，三角形任意两边的差 _第三边；(2)三角形三个内角的和等于 _.直角三角形的两个锐角_(3)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 _一、考点知识 2.等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角 _(简写成 “_ ”)(2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高_，简称 _(3)是轴对称图形，有 _条对称轴 (腰与底边不等的等腰三角形 )大于小于180互余和相等 等边对等角互相重合 三线合一一3等腰三角形的判定：有 _边相等的三角形是等腰三角形如果一个三角形有两个角相等，那么这两
2、个角所对的边也_(简写成 “_ ”)4 等边三角形的性质：(1)等边三角形的三条边都 _三个内角都 _， 并且每一个内角都等于 _.(2)是轴对称图形 ， 有 _条对称轴 (3)等边三角形的中线、角平分线、高各有 _条5等边三角形的判定：三边都 _的三角形是等边三角形三个角都 _的三角形是等边三角形；有一个角是 60 的 _是等边三角形两相等 等角对等边相等 相等相等相等相等相等相等等腰三角形【例 1】如图，在 ABC中， A 70， AB AC， CD平分 ACB.求 ADC的度数【 考点 1】 等边对等角，三角形的内角与外角二、例题与变式解： 在 ABC中， A=70， AB=AC， B=
3、 ACB= =55.又 CD平分 ACB， DCB= ACD=27.5. ADC为 BCD的外角， ADC= B+ DCB=82.5【 变式 1】 如图，在 ABC中， AB AC, BD BC，若 A 40，求 ABD的度数解： 在 ABC中， A=40， AB=AC， ABC= C= =70.又 BD=BC， BDC= C=70. BDC为 BAD的外角 , ABD= BDC A=30.【 考点 2】 等边三角形的性质【 例 2】 如图，等边三角形 ABC中，点 D， E分别在边 AB， AC上，过顶点 B作直线 BF DE，边 BC与 BF所夹锐角 CBF 20，求 的度数解： ABC是
4、等边三角形， ABC= A =60. DBF=60+20=80. BF DE， ADE= DBF =80.在 ADE中， AED=180 80 60=40， = AED =40.【 变式 2】 如图，在等边三角形 ABC中，点 D， E分别在边 BC， AC上，且 DE AB，过点 E作 EF DE，交 BC的延长线于点 F.(1)求 F的度数； (2)若 CD 2，求 DF的长解： （ 1） ABC是等边三角形， B=60. DE AB， EDC= B=60 EF DE， DEF=90. F=90 EDC=30.（ 2） ACB=60， EDC=60， EDC是等边三角形 . ED=DC=2
5、. DEF=90， F=30， DF=2DE=4.【 考点 3】 等腰三角形三线合一【 例 3】如图，在 ABC中， A 90， AB AC 4， D为 BC边的中点， E， F分别在 AB， AC上，且 DE DF.求 AE AF的值解： 连接 AD， AB AC， D为 BC中点， AD BC. A 90， AB AC， B C 45. BAD 45， CAD 45. AD BD CD. EDF 90， EDA ADF 90，又由 AD BC,得 BDE ADE 90. BDE ADF.在 BDE和 ADF中， B DAF 45， BD AD， BDE ADF， BDE ADF. BE A
6、F. AE AF AE BE AB 4.【 变式 3】 如图，在 ABC中， ACB 90， AC BC， M是 AB上一点求证： AM2 BM22CM2.解： 过 C作 CD AB于点 D， ACB 90， AC BC， CD AB， A B 45， ACD BCD 45. A ACD， B BCD. AD BD， BD CD.即 AD BD CD. CD AB， DM2+CD2=CM2. 在 Rt CMD中，AM2+BM2=(AD-DM)2+(BD+DM)2=2(DM2+CD2)=2CM2.A组1. 用一条长为 18 cm的细绳围成一个等腰三角形(1)如果底边是 4 cm时，那么腰是 _c
7、m；(2)如果腰是 8 cm时，那么底边是 _cm；(3)如果一边的长为 7 cm时，那么另外两边的长分别是_三、过关训练 3如图，在 ABC中， A 36， AB AC， BD是 ABC的角平分线若在边 AB上截取 BE BC，连接 DE，则图中等腰三角形共有 ( )A 2个 B 3个 C 4个 D 5个2有 3 cm， 6 cm， 8 cm， 9 cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则能组成三角形的个数最多有 ( )A 1个 B 2个 C 3个 D 4个DC7cm， 4cm或 5.5cm， 5.5cm274如图 ， 在 ABC中 ， A 40， 点 D是 ABC和 ACB的平
8、分线的交点求 BDC的度数解： D点是 ABC和 ACB的平分线的交点， CBD= ABC, BCD= ACB. ABC+ ACB=180 40 =140， DBC+ DCB=70 . BDC=180 70 =110 .5如图， CE是 ABC的外角 ACD的平分线，若 B 35， ACE 60.求 A的度数解： ACE=60， CE是 ABC的外角 ACD的平分线， ACD=2 ACE=120 . ACD= A+ B， B=35， A= ACD B=85 .B组6如图，已知 AB CD， BC DE.若 A 20， C 120，求 AED的度数解： 延长 DE交 AB于点 F， AB CD
9、C+ B=180 C 120， B=60 BC DE， AFD= B=60. AED= A+ AFD=80.7.如图，在 ABC中， AB AC，点 O在 ABC内， OB OC.求证： AO BC.解： 延长 AO交 BC于点 D， AB AC， OB OC， OA OA， ABO ACO. BAO CAO，即 BAD CAD. AD BC，即 AO BC. 8如图，在 ABC中，点 O是 AC边上的一点过点 O作直线 MN BC，设 MN交 BCA的平分线于点 E，交 BCA的外角平分线于 F.(1)求证： EO FO；(2)若 CE 4， CF 3，求 EF的长解： （ 1） CE是 A
10、CB的平分线， 1= 2. MN BC， 1= 3. 2= 3. OE=OC.同理可得 OF=OC. OE=OF.（ 2） CE平分 ACB， CF平分 ACD， 1= 2， 4= 5. 2+ 4=90. ECF= 2+ 4=90.在 Rt ECF中，由勾股定理 ,得EF= .C组9如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0， 2)，点 P是 x轴上一动点，以线段 AP为一边，在其右侧作等边三角形 APQ.当点 P运动到原点 O处时，记 Q的位置为 B.(1)求点 B的坐标；(2)求证：当点 P在 x轴上运动 (P不与 O重合 )时， ABQ为定值解： （ 1）过点 B作 BC y轴于点 C， A（ 0， 2）， AOB为等边三角形， AB=OB=OA=2， BAO=60. BC= ， OC=AC=1，即 B（ ， 1） .（ 2）当点 P在 x轴上运动（ P不与 O重合）时，不失一般性， PAQ= OAB=60， PAO= QAB，在 APO和 AQB中， AP AQ, PAO QAB, AO AB， APO AQB（ SAS） . ABQ= AOP=90总成立 . 当点 P在 x轴上运动（ P不与 O重合）时， ABQ为定值 90.
