1、第四章 三角形第 17课 三角形全等1三角形全等的判定方法有： _、_、 _、 _，直角三角形全等的判定除以上的方法外还有 _一、考点知识，2全等三角形的性质： 对应边 _，对应角_，周长 _，面积 _SSSAASASASASHL相等相等 相等相等【例 1】如图，已知 AC BC， BD AD， AC 与 BD 交于点 O， AC BD.求证： (1)BC AD; (2) OAB是等腰三角形【 考点 1】 三角形全等的判定与性质二、例题与变式证明： （ 1） AC BC， BD AD， ABC， BAD是直角三角形 . AC=BD， AB=BA, ABC BAD（ HL） . BC=AD.（
2、2） ABC BAD， CAB= DBA. OA=OB OAB是等腰三角形 .【 变式 1】 如图，在正方形 ABCD中， E， F分别是 AB， BC上的点，且 AE BF.求证： CE DF.证明： 在正方形 ABCD中， AB=BC=CD， B= BCD=90， AE=BF， AB AE=BC BF，即 BE=CF.在 BCE和 CDF中， BC CD， B FCD 90， BE CF， BCE CDF（ SAS） . CE=DF.【 考点 2】 三角形全等的判定与性质【 例 2】 如图， BD是菱形 ABCD的对角线，点 E， F分别在边 CD， DA上，且 DFB DEB.求证： C
3、E AF.证明： BD是菱形 ABCD的对角线， ADB= CDB， AD=CD.又 DFB= DEB, BD=BD, DFB DEB. DF=DE. AD DF=CD DE. CE=AF.【 变式 2】 如图，已知菱形 ABCD中， E， F分别是CB， CD上的点，且 BE DF.求证： (1) ABE ADF；(2) AEF AFE.证明： （ 1） 四边形 ABCD是菱形， AB=AD， B= D.又 BE=DF， ABE ADF.（ 2） ABE ADF， AE=AF. AEF= AFE.【 考点 3】 三角形全等的判定与性质【 例 3】如图，在 Rt ABC中， ACB 90， A
4、C BC，点 D为 AB边上一点，且不与 A， B两点重合， AE AB，AE BD，连接 DE， DC.(1)求证： ACE BCD；(2)求证： DCE是等腰直角三角形证明： 如图，（ 1） ACB=90， AC=BC， B= 2=45. AE AB， 1+ 2=90 1=45 1= B在 ACE和 BCD中， AE BD， 1 B， AC BC， ACE BCD（ SAS） .（ 2） ACE BCD， CE=CD， 3= 4 4+ 5=90， 3+ 5=90.即 ECD=90. DCE是等腰直角三角形 .【 变式 3】 如图， ABC和 ADE都是等腰直角三角形， BAC DAE 90
5、，四边形 ACDE是平行四边形，连接 CE交 AD于点 F，连接 BD交 CE于点 G，连接 BE.求证： (1)CE BD；(2) ADB AEB .证明： （ 1） BAC= DAE=90， BAC+ DAC= DAE+ DAC，即 BAD= CAE. ABC和 ADE都是等腰直角三角形， AB=AC， AE=AD， BAD CAE（ SAS） . CE=BD.（ 2） 四边形 ACDE是平行四边形， AE CD. ADC= DAE=90， AE=CD， ADE是等腰直角三角形， AE=AD. AD=CD. ADC是等腰直角三角形 . CAD=45. BAD=90+45=135. DAE=
6、 BAC=90， CAD=45， BAE=360 90 90 45=135.又 AB=AB， AD=AE， BAE BAD（ SAS）， ADB= AEB.A组1如图，在四边形 ABCD中， AB AD， CB CD，若连接 AC， BD相交于点 O，则图中全等三角形共有 _对三、过关训练 2已知：如图，点 C为 AB中点， CD BE， CD BE.求证： ACD CBE.3证明： C是 AB的中点（已知）， AC=CB CD BE（已知）， ACD= B在 ACD和 CBE中， AC CB, ACD CBE , CD BE , ACD CBE（ SAS） . 3如图，点 A， B， C，
7、D在一条直线上， AB CD，AE BF， CE DF.求证： AE BF.证明： AE BF， A= FBD. CE DF， D= ACE. AB=CD， AB+BC=CD+BC，即 AC=BD.在 ACE和 BDF中， A= FBD, AC=BD， D= ACE， ACE BDF（ ASA） . AE=BFB组4如图， ABCD的对角线 AC， BD相交于点 O，EF过点 O且与 AB， CD分别相交于点 E， F.求证： AOE COF.证明： 四边形 ABCD是平行四边形， OA=OC， AB CD. EAO= FCO.在 AOE和 COF中， EAO FCO. AO CO， EOA
8、FOC， AOE COF（ ASA）5如图，在 ABC中， ACB 90， AC BC， BE CE于点 E， AD CE于点 D.求证： BEC CDA.证明： BE CE于点 E, AD CE于点 D, BEC= CDA=90.在 Rt BEC中 , BCE+ CBE=90,在 Rt BCA中 , BCE+ ACD=90. CBE= ACD.在 BEC和 CDA中 , BEC= CDA, CBE= ACD, BC=AC, BEC CDA（ AAS） 6如图，在菱形 ABCD中， E， F分别是 CB， CD上的点，且 BE DF，求证： EF AC .证明：分别连接 AE,AF， 菱形 A
9、BCD， AB=AD=BC=CD， B= D，又 BE=DF， ABE ADF. AE=AF. 点 A在 EF的垂直平分线上， BE=DF， BC=CD， CE=CF. 点 C在 EF的垂直平分线上， EF ACC组7如图 1，等边三角形 ABC中， D是 AB上一点，以 CD为边向上作等边三角形 CDE，连接 AE.(1)求证： AE BC; (2)如图 2，若点 D在 AB的延长线上，其余条件均不变，(1)中结论是否成立？请说明理由证明： （ 1） ABC和 DCE是等边三角形， BC=AC， DC=EC， BCA= DCE= B= BAC=60， BCA ACD= DCE ACD，即 BCD= ACE. BCD ACE（ SAS） . B= CAE， B= CAE= BAC=60. CAE+ BAC= BAE=120. B+ BAE=180. AE BC.（ 2）成立，证明如下：由（ 1） ,得 DBC AEC， DBC= EAC. ABC是等边三角形， ABC = BAC=60. DBC= 180 60=120. EAC= DBC=120. EAD= EAC BAC=60. EAD = ABC=60. AE BC.(2)如图 2，若点 D在 AB的延长线上，其余条件均不变，(1)中结论是否成立？请说明理由
