1、2015-2016 学年河北省沧州市高三（下）4 月调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=1，0，1，B=x|y=x 2，xR，则 AB=（ ）A0，1 B 1，0，1 C1 D2 （5 分）设复数 z= （i 为虚数单位） ，则|z|=（ ）A B C D3 （5 分）同时掷两个均匀的正方体骰子，则向上的点数之和为 5 的概率为（ ）A B C D4 （5 分）焦点为（6，0）且与双曲线 y2=1 有相同渐近线的双曲线的方程为（ ）A =1 B =1C =1 D =
2、15 （5 分）执行如图的程序框图，如果输出结果为 2，则输入的 x=（ ）A0 B2 C4 D0 或 46 （5 分）若函数 f（x）= ，则 f（f（2） ）=（ ）A1 B C D57 （5 分）命题 p：直线 l1： ax+2y1=0 与直线 l2：x+（a +1）y+4=0 互为平行的充要条件是 a=2；命题 q：若平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等，则 对以上两个命题，下列结论正确的是（ ）A命题“p 且 q”为真 B命题 “p 或q”为假C命题“p 且 q”为真 D命题“ p 或 q”为假8 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的恒不为 0 的函数，对任意实数 x，yR
3、 ，都有 f（x y）= ，已知f（1）=2，a n=f（n） ，nN +，则数列 an的前 n 项和 Sn 为（ ）A2 n1 B2 n C2 n+11 D2 n+129 （5 分）某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为（ ）A4 B6 C8 D910 （5 分）函数 y=sinx（cosx sinx） （0x ）的值域为（ ）A ，1+ B ， 1 C0，1 D ，1 11 （5 分）已知点 M（ 1， 2）是抛物线 y2=2px（p0）的准线上一点，A，B 在抛物线上，点 F 为抛物线的焦点，且有|AF|+|BF|=8，则线段 AB 的垂直平分线必过点（ ）A （3，0） B （5，
4、0） C （3，2） D （5，4）12 （5 分）已知函数 f（x） =x3+ax2+bx+1，函数 y=f（x+1）1 为奇函数，则函数 f（x）的零点个数为（ ）A0 B1 C2 D3二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知向量 ， 满足| |=1，| |= ， + =（ ，1） ，则 cos ， = 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z= 的取值范围是 15 （5 分）已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，PA=AB=2，该四棱锥外接球的体积为 8 ，则PBC 的面积为 16 （5 分）已知
5、a，b，c 分别是锐角ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a=1，b=2cosC，sinCcosA sin（B）sin（ +B）=0，则 ABC 的内角 B 的大小为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，n N*，且 a5+a6=24，S 3=15（1）求a n的通项公式；（2）设 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn18 （12 分）某中学从高三甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩如下：甲班：92，80，79，78，85，96，85乙班：81，91
6、，91，76，81，92，83（）若竞赛成绩在 90 分以上的视为“优秀生”，则从“ 优秀生” 中任意选出 2 名，乙班恰好只有 1 名的概率是多少？（）根据两组数据完成两班数学竞赛成绩的茎叶图，指出甲班学生成绩的众数，乙班学生成绩中位数，并请你利用所学的平均数、方差的知识分析一下两个班学生的竞赛成绩情况19 （12 分）在三棱 ABCABC中，侧棱 AA底面 ABC，ACAB，AB=2，AC=AA =3，（）若 F 为线段 BC 上一点，且 = ，求证：BC平面 AAF；（）若 E，F 分别是线段 BB，B C 的中点，设平面 AEF 将三棱柱分割成左右两部分，记它们的体积分别为 V1 和
7、V2，求 V120 （12 分）如图，已知 P 是以 F1（1，0） ，以 4 为半径的圆上的动点， P 与 F2（1，0）所连线段的垂直平分线与线段 PF1 交于点 M（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（2）已知点 E 坐标为（4，0） ，直线 l 经过点 F2（1，0）并且与曲线 C 相交于 A，B 两点，求ABE 面积的最大值21 （12 分）已知函数 f（x） =x +alnx（aR） （1）若函数 f（x）在1，+）上单调递增，求实数 a 的取值范围；（2）已知 g（x）= x2+（m 1）x+ ，m ，h（x） =f（x）+g（x） ，当时 a=1，h（x）有两个极值点 x1，x
8、 2，且 x1x 2，求 h（x 1）h（x 2）的最小值选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，在ABC 中，BAC 的平分线交 BC 于点 D，交ABC 的外接圆于点 E，延长 AC 交DCE 的外接圆于点 F，DF= （）求 BD；（）若AEF=90 ，AD=3，求 DE 的长选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 23在直角坐标系中，直线 l： （t 为参数， 0a ） ，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C：=4cos （）求曲线 C 的直角坐标方程；（）已知点 P（2，1） ，若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 =2 ，求 tana选修 4-
9、5：不等式选讲24已知函数 f（x）=|x 21|（1）解不等式 f（x）2+2x ；（2）设 a0，若关于 x 的不等式 f（x）+5ax 解集非空，求 a 的取值范围2015-2016 学年河北省沧州市高三（下）4 月调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2016 河北模拟）已知集合 A=1，0，1，B=x|y=x 2，xR，则 AB=（ ）A0，1 B 1，0，1 C1 D【分析】求出 B 中 x 的范围确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解
10、：A= 1，0，1，B=x|y=x 2，xR=R，AB=A= 1，0，1，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分） （2016 河北模拟）设复数 z= （i 为虚数单位） ，则|z|=（ ）A B C D【分析】直接利用复数的模的运算法则化简求解即可【解答】解：复数 z= （i 为虚数单位） ，则|z|= = = 故选：B【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力3 （5 分） （2016 河北模拟）同时掷两个均匀的正方体骰子，则向上的点数之和为 5 的概率为（ ）A B C D【分析】使用排列数公式计算基本事件个数和符合条件的基本事件个数，利用
11、古典概型的概率计算公式计算概率【解答】解：同时掷两个均匀的正方体骰子，共有 =36 个基本事件，其中向上的点数之和为 5 的基本事件共有 4 个，分别是（1，4） ， （2，3） ， （3，2） （4，1） 向上的点数之和为 5 的概率为 P= 故选：A【点评】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题4 （5 分） （2016 河北模拟）焦点为（6，0）且与双曲线 y2=1 有相同渐近线的双曲线的方程为（ ）A =1 B =1C =1 D =1【分析】设所求的双曲线方程是 y2=K，由焦点（6， 0）在 x 轴上，知 k0，截距列出方程，求出 k值，即得所求的双曲线方程【解答】解：由题意知，可
12、设所求的双曲线方程是 y2=K，焦点（6，0）在 x 轴上，k0，由 2k+k=c2=36，k=12 ，故所求的双曲线方程是： =1故选：A【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程，属于中档题5 （5 分） （2016 河北模拟）执行如图的程序框图，如果输出结果为 2，则输入的 x=（ ）A0 B2 C4 D0 或 4【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出 x= 的值，分类讨论求出对应的 x 的范围，综合讨论结果可得答案【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出 x= 的值，输出结果为 2
13、， 或 ，解得 x=4故选：C【点评】本题主要考查选择结构的程序框图的应用，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件，属于基础题6 （5 分） （2016 河北模拟）若函数 f（x）= ，则 f（f（2） ）=（ ）A1 B C D5【分析】直接利用分段函数的表达式，逐步求解函数值即可【解答】解：函数 f（x）= ，则 f（f（2） ）=f（2 232+1）=f（ 1）= = 故选：C【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力7 （5 分） （2016 河北模拟）命题 p：直线 l1：ax+2y1=0 与直线 l2：x+（a+1）y+4=0 互为平行的充要条件是 a=2；命题
14、 q：若平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等，则 对以上两个命题，下列结论正确的是（ ）A命题“p 且 q”为真 B命题 “p 或q”为假C命题“p 且 q”为真 D命题“ p 或 q”为假【分析】对于命题 p：对 a 分类讨论，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出对于命题 q：若平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等，可得 或相交，即可判断出真假【解答】解：命题 p：a=1 时，两条直线不平行； a1 时，两条直线方程分别化为： y= x+ ，y= x，由于两条直线相互平行， ， ，解得 a=2 或 1直线 l1：ax+ 2y1=0 与直线 l2：x+（a +1）y+4=0 互为
15、平行的充要条件是 a=2 或 1，因此 p 是假命题命题 q：若平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等，则 或相交，因此是假命题对以上两个命题，下列结论正确的是命题“p 或 q”为假故选：D【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件、平面的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8 （5 分） （2016 河北模拟）设 f（x）是定义在 R 上的恒不为 0 的函数，对任意实数 x，yR，都有f（x y）= ，已知 f（1）=2，a n=f（n） ，nN +，则数列a n的前 n 项和 Sn 为（ ）A2 n1 B2 n C2 n+11 D2 n+12【分析】令
16、x=n，y=1 ，由条件可得 f（n）=f（n 1）f （1）=2f（n1） ，进而发现数列a n是以 2 为首项，以2 的等比数列，运用等比数列的求和公式可以求得 Sn【解答】解：对任意实数 x，y R，都有 f（x y）= ，且 f（1）=2 ，a n=f（n） ，可得 f（x）=f（xy）f（y） ，令 x=n，y=1，可得 f（n）=f（n 1）f （1）=2f（n1） ，即有数列a n是 2 为首项，2 为公比的等比数列，则 an=2n，Sn= =2n+12故选：D【点评】本题考查数列的求和公式，注意运用赋值法和等比数列的定义及通项公式，考查运算能力，属于基础题9 （5 分） （20
17、16 河北模拟）某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为（ ）A4 B6 C8 D9【分析】由三视图可知该几何体为底面边长分别为 3，4 的长方形，侧立的一个四棱锥，其中一个长方形的侧面垂直于底面，高为 2【解答】解：由三视图可知该几何体为底面边长分别为 3，4 的长方形，侧立的一个四棱锥，其中一个长方形的侧面垂直于底面，高为 2故其体积 V= 2=8故选：C【点评】本题考查了三视图的有关计算、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10 （5 分） （2016 河北模拟）函数 y=sinx（cosx sinx） （0x ）的值域为（ ）A ，1+ B ， 1 C0，1 D
18、 ，1 【分析】由三角函数公式化简可得 y=sin（2x+ ） ，由 0x 和三角函数的值域可得【解答】解：由三角函数公式化简可得 y=sinx（cosx sinx）=sinxcosx sin2x= sin2x （1cos2x）= sin2x+ cos2x =sin（2x+ ） ，0x ， 2x+ ， sin（2x + ）1， sin（2x + ） 1 ，故选：D【点评】本题考查三角函数的最值，涉及和差角的三角函数公式以及二倍角公式，属基础题11 （5 分） （2016 河北模拟）已知点 M（1， 2）是抛物线 y2=2px（p0）的准线上一点，A ，B 在抛物线上，点 F 为抛物线的焦点，且
19、有|AF|+|BF|=8，则线段 AB 的垂直平分线必过点（ ）A （3，0） B （5，0） C （3，2） D （5，4）【分析】确定抛物线的方程，由|AF|+|BF|=8，利用抛物线的定义转化为 x1+x2+2=8，从而求出 A，B 两点横坐标的和，设出 C 的坐标，利用 C 在 AB 的垂直平分线上得 |AC|=|BC|，代入两点间的距离公式后移向整理，代入两横坐标的和后可求 m 的值【解答】解：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2） ，点 M（1，2）是抛物线 y2=2px（p0）的准线上一点，抛物线方程为 y2=4x，其准线 x=1|AF|+|BF|=8
20、，由定义得 x1+x2+2=8，则 x1+x2=6设直线 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点 C（m，0） 由 C 在 AB 的垂直平分线上，从而|AC|=|BC|，即（x 1m） 2+y12=（x 2m） 2+y22，即（x 1+x22m） （x 1x2）=4x 24x1=4（x 1x2） ，x 1x 2，x 1+x22m=4又x 1+x2=6，m=5，点 C 的坐标为（5，0） 即直线 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点为定点（5，0） 故选：B【点评】本题主要考查抛物线的定义和方程，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点，属中档题12 （5
21、分） （2016 河北模拟）已知函数 f（x）=x 3+ax2+bx+1，函数 y=f（x+1）1 为奇函数，则函数 f（x）的零点个数为（ ）A0 B1 C2 D3【分析】化简 y=f（x+1）1=（x+1） 3+a（x+1） 2+b（x+1）+1 1=x3+（3+a）x 2+（3+2a+b）x+1+b+a ，从而可得 ，从而化简出 f（x）=x 33x2+2x+1，求导 f（x）=3x 26x+2=3（x1） 21=3（x1 ） （x 1+）以确定函数的单调性，从而确定函数的零点的个数【解答】解：f（x）=x 3+ax2+bx+1，y=f（x+1）1= （x+1） 3+a（ x+1） 2+
22、b（x+1）+1 1=x3+3x2+3x+1+ax2+2ax+a+bx+b=x3+（3+a）x 2+（3+2a +b）x+1+b+a ，函数 y=f（x+1）1 为奇函数， ，解得，a= 3，b=2；故 f（x）=x 33x2+2x+1，f（x）=3x 26x+2=3（x1） 21=3（x1 ） （x1+ ） ，故 f（x）在（，1 ）上是增函数，在（ 1 ，1+ ）上是减函数，在（1+ ，+）上是增函数；且 f（1 ）=1 +1 4+2 +2 +10，f（1+ ）=1 +1+ + 42 +2+ +10，函数 f（x）的零点个数为 1，故选 B【点评】本题考查了函数的性质的应用及导数的综合应用，同时考查了整体思想与转化思想的应用二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分） （2016 河北模拟）已知向量 ， 满足| |=1，| |= ， + =（ ，1） ，则 cos ， = 0 【分析】利用已知条件求出 ， ，然后求解 cos ， 【解答】解：向量 ， 满足| |=1，| |= ， + =（ ，1） ，可知 =（0，1） ， =（ ，0） ，则 cos ， = =0故答案为：0【点评】本题考查向量的数量积，利用观察法推出向量的坐标是解题的关键
