1、2015-2016 学年广东省揭阳三中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn 若 a2=1，a 3=3，则 S4=（ ）A12 B10 C8 D62 （5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（ ）Ay=x 3 By=|x +1| Cy=x 2Dy=|x|+13 （5 分）已知向量 =（ 1，k ） ， =（2，2） ，且 + 与 共线，那么 k 的值为（ ）A1 B2 C3 D44 （5 分）设函数 f（x ） = ，则 ff（4）=（ ）A2 B4 C8 D
2、165 （5 分）函数 是（ ）A周期为 的奇函数 B周期为 的偶函数C周期为 2 的奇函数 D周期为 2 的偶函数6 （5 分）已知 tan= ，则 cos2 的值为（ ）A B C D7 （5 分）设向量 ， 均为单位向量，且| + |=1，则 与 夹角为（ ）A B C D8 （5 分）函数 y=cos2xsin2x 的一条对称轴为（ ）Ax= Bx= Cx= Dx= 9 （5 分）若函数 f（x ） =x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f（x）的图象是（ ）A B C D10 （5 分）已知函数 f（ x）=x 3+ax2x1 在（，+）上是单调函数，则实数a 的取值范围
3、是（ ）A B CD11 （5 分）函数 f（x ）的定义域为开区间（ a，b ） ，导函数 f（x）在（a ，b）内的图象如图所示，则函数 f（x ）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（ ）A1 B2 C3 D412 （5 分）设函数 y=f（ x）的图象与 y=2x+a 的图象关于 y=x 对称，且 f（2）+f（ 4）=1，则 a=（ ）A 1 B1 C2 D4二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知 ，若 ，则 k= 14 （5 分）函数 y=x+2cosx 在区间 上的最大值是 15 （5 分）已知 tan（+）= ，tan= ，则 ta
4、n（+ ）的值为 16 （5 分）下列四种说法：命题“x R，使得 x2+13x” 的否定是“x R，都有 x2+13x”；设 p、q 是简单命题，若“pq” 为假命题，则“pq”为真命题；若 p 是 q 的充分不必要条件，则p 是q 的必要不充分条件；把函数 y=sin（ 2x） （xR）的图象上所有的点向右平移 个单位即可得到函数 （x R）的图象其中所有正确说法的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （10 分）已知a n为等差数列，且 a1+a3=8，a 2+a4=12（）求a n的通项公式（）记a n的前 n 项和为 Sn
5、，若 a1，a k，S k+2 成等比数列，求正整数 k 的值18 （12 分）已知：ABC 中角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b 、c 且（1）求角 C 的大小；（2）若 sinA，sinC，sinB 成等差数列，且 ，求 c 边的长19 （12 分）有编号为 D1，D 2，D 10 的 10 个零件，测量其直径（单位：mm） ，得到下面数据：其中直径在区间（148，152内的零件为一等品编号 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10直径 151 148 149 151 149 152 147 146 153 148（1）从上述 10 个零件中，随机抽取 2 个，求
6、这 2 个零件均为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取 2 个用 表示这 2 个零件直径之差的绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望20 （12 分）如图甲，在平面四边形 ABCD 中，已知 A=45 ，C=90 ，ADC=105，AB=BD，现将四边形 ABCD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面BDC（如图乙） ，设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点（1）求证：DC平面 ABC；（2）求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦；（3）求二面角 BEFA 的余弦21 （12 分）如图在直角坐标系 xOy 中，过动点 P 的直线与直线 l：x= 1 垂直，垂足为 Q，点 F（1，0）
7、满足 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2）证明：以线段 PF 为直径的圆与 y 轴相切22 （12 分）设 a0，函数 f（x ）=x 22ax2alnx（1）当 a=1 时，求函数 f（x）的单调区间；（2）若函数 y=f（x）在区间（0，+）上有唯一零点，试求 a 的值2015-2016 学年广东省揭阳三中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分） （2007安徽）等差数列a n的前 n 项和为 Sn 若 a2=1，a 3=3，则 S4=（ ）A12 B10 C8 D6【分析】由等差数列的前
8、n 项和得到，求前四项的和要用第一项和第四项的和，根据等差数列的性质第一项和第四项的和等于第二项与第三项的和，得到结果【解答】解：由等差数列的性质可得：a 1+a4=a2+a3，a 2=1，a 3=3，s 4=2（1+3）=8故选 C【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解2 （5 分） （2014 秋 天津校级期末）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（ ）Ay=x 3 By=|x +1| Cy=x 2Dy=|x|+1【分析】根据偶函数的定义，奇函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正
9、确选项【解答】解：Ay=x 3 是奇函数，不是偶函数，该选项错误；Bx=1 时，y=0 ，x=1 时，y=2，y= |x+1|不是偶函数，该选项错误；C y=x2 在（0，+）单调递减， 该选项错误；Dy=|x|+1 为偶函数，且 x0 时，y=|x |+1=x+1 为增函数；即 y=|x|+1 在（0，+）上单调递增，该选项正确故选 D【点评】考查奇函数和偶函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性3 （5 分） （2014香洲区校级模拟）已知向量 =（ 1，k） ， =（2，2） ，且 +与 共线，那么 k 的值为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由向量的坐标加法运算求得 + 的坐标，然
10、后直接利用向量共线的坐标表示列式求解 k 的值【解答】解： =（1，k ） ， =（2，2） ， + =（3 ，k+2） ，又 + 与 共线，1（k +2）3k=0 ，解得：k=1故选：A【点评】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别若 =（a 1，a 2） ，=（ b1，b 2） ，则 a1a2+b1b2=0， a1b2a2b1=0，是基础题4 （5 分） （2014香洲区校级模拟）设函数 f（x）= ，则ff（ 4）=（ ）A2 B4 C8 D16【分析】本题可以根据不同的条件选择不同的解析式进行求值，得到本题结
11、论【解答】解：函数 f（x ）= ，f（ 4）=1log 24=12=1，ff（ 4）=f（1）=2 1（1） =22=4故选 B【点评】本题考查的是分段函数的函数值求法，本题难度不大，属于基础题5 （5 分） （2015中山二模）函数 是（ ）A周期为 的奇函数 B周期为 的偶函数C周期为 2 的奇函数 D周期为 2 的偶函数【分析】利用诱导公式化简函数 ，然后直接求出周期，和奇偶性，确定选项【解答】解：因为： =2cos2x，所以函数是偶函数，周期为：故选 B【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，考查计算能力，是基础题6 （5 分） （2014香洲区校级模拟）已知 t
12、an= ，则 cos2 的值为（ ）A B C D【分析】利用余弦的二倍角公式可求得 cos2=cos2sin2，进而利用同角三角基本关系，使其除以 sin2+cos2，分子分母同时除以 cos2a，转化成正切，然后把 tan 的值代入即可【解答】解：cos2=cos 2sin2= = = = 故选：D【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化7 （5 分） （2015呼伦贝尔一模）设向量 ， 均为单位向量，且| + |=1，则与 夹角为（ ）A B C D【分析】设 与 的夹角为 ，将已知等式平方，结合向量模
13、的含义和单位向量长度为 1，化简整理可得 = ，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角 的值【解答】解：设 与 的夹角为 ，| + |=1，（ + ） 2= 2+2 + 2=1（* ）向量 、 均为单位向量，可得| |=| |=1代入（*）式，得 1+2 +1=1=1，所以 =根据向量数量积的定义，得| | |cos=cos= ，结合 0，得 =故选 C【点评】本题已知两个单位向量和的长度等于 1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题8 （5 分） （2015 秋 揭阳月考）函数 y=cos2xsin2x 的一条对称轴为（ ）Ax= Bx=
14、Cx= Dx= 【分析】化简可得 y= cos（2x+ ）令 2x+ =k 可得 x= ，k Z，结合选项给 k 取值可得答案【解答】解：化简可得 y=cos2xsin2x = （ cos2x sin2x ）= （ cos cos2xsin sin2x ）= cos（2x+ ）令 2x+ =k 可得 x= ，k Z，结合选项可知当 k=0 时，函数的一条对称轴为 x=故选：C【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的对称性，属基础题9 （5 分） （2014 秋 贞丰县期末）若函数 f（x）=x 2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f（x ）的图象是（ ）A B C D【分
15、析】先根据二次函数的判断出 a，b 的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可【解答】解：函数 f（x ）=ax 2+bx+c 的图象开口向上且顶点在第四象限，a 0 ， 0，b0，f（x）=2ax+b，函数 f（x）的图象经过一，三，四象限，A 符合，故选 A【点评】本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题10 （5 分） （2010吴川市模拟）已知函数 f（x）=x 3+ax2x1 在（，+）上是单调函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A B CD【分析】由 f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在 R 上为单调函数，所以导函数与
16、 x 轴没有交点或只有一个交点，即小于等于 0，列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集即可得到实数 a 的取值范围【解答】解：由 f（x）= x3+ax2x1，得到 f（x ）=3x 2+2ax1，因为函数在（，+）上是单调函数，所以 f（x）=3x 2+2ax10 在（ ，+）恒成立，则= ，所以实数 a 的取值范围是： ， 故选 B【点评】此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题11 （5 分） （2006天津）函数 f（x）的定义域为开区间（a，b ） ，导函数f（x ）在（a，b）内的图象如图所示，则函数 f（ x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】根据当 f（x ）0 时函数 f（x）单调递增，f（x）0 时 f（x ）单调递减，可从 f（x ）的图象可知 f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增
