1、一元线性回归模型 最小二乘估计 误差和标准差 相关分析 回归分析的假设检验 区间估计 预测,统计数据举例,其它散点图例,建模依据,一元线性回归模型,一元线性回归模型Y= a + b X + 非随机部分 随机部分或系统部分Y 称为依赖变量，因变量或被解释变量, X称为独立变量，自变量或解释变量, 是随机误差项, 是模型中唯一的随机成分，也是Y的随机性的来源。a 是模型中系统成分的截距.b 是斜率. Y 的条件数学期望是:,一元线性回归认定在依赖变量 Y的数学期望或均值和独立变量 X之间有着准确的线性关系: EYi=a +b XiY的实际观察值与期望值之间差一个随机误差:Yi = EYi + i=
2、 a + b Xi + i,一元线性回归模型图示,X与Y之间是线性关系 独立变量X被认为固定变量; 在观察值Y中的随机成分仅来自于误差变量. 误差项 i 服从均值为0，方差为2的正态分布。误差项之间不相关。即: N(0,2),一元线性回归模型假设,估计的回归方程：是回归直线的截距 a 的估计值 ;是回归直线的斜率 b 的估计值 ;e 称为残差，是估计的回归直线与各个观测值之间的差,最小二乘估计,适配一条回归直线,X,Y,数据,X,Y,与适配线 的误差,X,Y,与最小二乘回 归直线的误差,e,X,与最小二乘回归直线的误差最小,.,Y,X,回归误差,最小二乘法,最小二乘法,最小二乘估计,例1,例1
3、,Miles Dollars Miles 2 Miles*Dollars1211 1802 1466521 21822221345 2405 1809025 32347251422 2005 2022084 28511101687 2511 2845969 42360571849 2332 3418801 43118682026 2305 4104676 46699302133 3016 4549689 64331282253 3385 5076009 76264052400 3090 5760000 74160002468 3694 6091024 91167922699 3371 7284
4、601 90983292806 3998 7873636 112183883082 3555 9498724 109565103209 4692 10297681 150566283466 4244 12013156 147097043643 5298 13271449 193006143852 4801 14837904 184934524033 5147 16265089 207578524267 5738 18207288 244840464498 6420 20232004 288771604533 6059 20548088 274654484804 6426 23078416 30
5、8705045090 6321 25908100 321738905233 7026 27384288 367670565439 6964 29582720 37877196 79498 10605 293426944 390185024,例2,例2,距离与费用的回归直线,R2 = 0.965,例2,总变差与残差,残差和标准差,回归估计系数的标准差,回归参数的置信区间,两随机变量X 和 Y之间的 相关, 由两变量之间的线性拟合度 测度. 总体相关系数(可决系数), 是一个由-1 到 1之间的值., 完全负相关 -1 0 负相关 不相关 0 1 正相关 完全正相关 的绝对值表示相关性的强弱.,相关分析,相关的图例,协方差与相关,相关系数的假设检验,H0: =0 (无线性相关) H1: 0 (有线性关系)检验统计量:,回归的假设检验,b,b,检验假设：,线性关系不显著 线性关系显著,检验统计量为：,回归关系,回归的检验,Y,X,R2=0,SSE,SST,Y,X,R2=0.90,S S E,SST,SSR,Y,X,R2=0.50,SSE,SST,SSR,可决系数,方差分析和F检验,点预测 区间预测 Y值的预测 Y的均值的预测,使用回归模型预测,Y的预测区间,Y的均值区间预测,
