1、高三数学总复习讲义数列概念知的识清单1数列概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 ，在数列第一个位置的项叫第na1 项（或首项） ，在第二个位置的叫第 2 项，序号为 的项叫第 项（也n叫通项）记作 ；na数列的一般形式： ， ， ， ，简记作 。123anna（2）通项公式的定义：如果数列 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列的通项公式是 = （ 7， ） ，nN数列的通项公式是 = （ ） 。a1说明： 表示数列， 表示数列中的第 项， = 表示数列的通项公式；nan naf 同
2、一 个 数 列 的 通 项 公 式 的 形 式 不 一 定 唯 一 。 例 如 ， = =na(1)n； 不是每个数列都有通项公式。例如，1,2()kZn1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 （或它的有限子集）N的函数 当自变量 从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值()fn， ，通常用 来代替 ，其图象是一群孤立1,23,f ()fnnaf点。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数
3、列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列 的第 1 项（或前几项） ，且任一项na与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个na1na公式就叫做这个数列的递推公式。（6） 数列 的前 项和 与通项 的关系：nnSna1(1)2nnS课前预习1根据数列前 4 项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7；（2） ， ， ， ；212324125（3） ， ， ， 。*2数列 中，已知 ，na2()3nanN（1）写出 ， ， ； 102（2） 是否是数列中的项？若是，是第几项？7933如图
4、,一粒子在区域 上运动,在第一(,)|0,xy秒内它从原点运动到点 ,接着按图中箭头所示方向1B在 x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。（1）设粒子从原点到达点 时，所经过的时间nnAC、 、分别为 ，试写出 的通相公式；nna、 b、 ca、 b、 c（2）求粒子从原点运动到点 时所需的时间；(16,4)P（3）粒子从原点开始运动，求经过 2004 秒后，它所处的坐标。4 （1）已知数列 适合： ， ，写出前五项并写出其通项公n11n2na式；（2）用上面的数列 ，通过等式 构造新数列 ，写出 ，na1nnbnbn并写出 的前 5 项。nb5 设平面内有 条直线 ，其中
5、有且仅有两条直线互相平行，任意三条)3(直线不过同一点若用 表示这 条直线交点的个数，则nf=_；当 时， （用 表示） 。)4(f 4)(f n6 在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_）内。0C5C4C3C2B5B4B3B2A6A5A4A3A2C1B1 A1 xy高三数学总复习讲义等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一2项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示。用递推公式表示为 或d1(2)nad。1()nad2、等
6、差数列的通项公式： ；1()nad说明：等差数列（通常可称为 数列）的单调性： 为递增数列，AP0为常数列， 为递减数列。003、等差中项的概念：定义：如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。其中aAbab2bA， ， 成等差数列 。2ab4、等差数列的前 和的求和公式： 。n11()()2nnSad5、等差数列的性质：（1）在等差数列 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；na（2）在等差数列 中，相隔等距离的项组成的数列是 ， AP如： ， ， ， ，； ， ， ， ，；13573a8138a（3）在等差数列 中，对任意 ， ， ，nmnN()nmd；nmad()
7、（4）在等差数列 中，若 ， ， ， 且 ，则napqpq；mnpqa说明：设数列 是等差数列，且公差为 ，n d（）若项数为偶数，设共有 项，则 奇 偶 ； ；2nSnd1nSa奇偶（）若项数为奇数，设共有 项，则 偶 奇 ；1a中。1Sn奇偶6、数列最值（1） ， 时， 有最大值； ， 时， 有最小值；10adnS10adnS（2） 最值的求法：若已知 ，可用二次函数最值的求法（ ） ；nSn N若已知 ，则 最值时 的值（ ）可如下确定 或 。N10na1n课前预习1 设 Sn是数列a n的前 n 项和，且 Sn=n2，则 an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等
8、比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列2 设 是公差为正数的等差数列，若 ， ，则n 123512380a（ ）113aA B C D010590753 若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项4 设数列a n是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ）A.1 B.2 C.4 D.65 设 Sn是等差数列a n的前 n 项和，若 ，则 36S1612SA B C D31013896 设a n为等差数列，S n为数列a
9、n的前 n 项和，已知S77，S 1575，T n为数列 的前 n 项和，求 Tn。7 已知数列b n是等差数列，b 1=1，b 1+b2+b10=100.（）求数列b n的通项 bn；（）设数列a n的通项 an=lg（1+ ） ，记 Sn是数列a n的前 n 项和，试n比较 Sn与 lgbn+1 的大小，并证明你的结论。218 设a n （nN *）是等差数列，S n是其前 n 项的和，且S5S 6，S 6S 7S 8，则下列结论错误的是（ ）A.d0 B.a70C. S9S 5 D.S6 与 S7 均为 Sn的最大值9 等差数列a n的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它
10、的前 3m 项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.260高三数学总复习讲义等比数列知识清单1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 表示 ，即： ： 数列对于数列（1） （2） （3）都q(0)1na(0)q是等比数列，它们的 公 比 依 次 是 2， 5， 。 （注意：“从第二项起” 、 “常数” 、q等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为： 。)0(11qaann说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比 时该数列既是等比1d数列也是等差数列；（2
11、）等比数列的通项公式知：若 为等比数列，则na。mnaq3等比中项如果在 中间插入一个数 ，使 成等比数列，那么 叫做 的等比b与 Gba, Gba与中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 。4等比数列前 n 项和公式一般地，设等比数列 的前 n 项和是 ，当123,na nS123n时， 或 ；当 q=1 时， （错位相减法） 。1qqSn)(1aqSa说明：（1） 和 各已知三个可求第四个；（2）注意求na,1n,1和公式中是 ，通项公式中是 不要混淆；（3）应用求和公式时 ，必n 1q要时应讨论 的情况。q5等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果 是等比数列的第 项， 是
12、等差数列的nanma第 项，且 ，公比为 ，则有 ；mnqmq对于等比数列 ，若 ，则 ，也就是：avuvun，如图所示： 。 23121nnna nnanaaa112,31若数列 是等比数列， 是其前 n 项的和， ，那么 ， ，nS*NkkSk2成等比数列。kS23如下图所示： k kkS SkSk aaaa3 232k 3121S321 课前预习1在等比数列 中, ,则 n37,q19_.2 和 的等比中项为( ) .32()1A)1B(1C()2D3 在等比数列 中， ， ，求 ，na254a84在等比数列 中, 和 是方程 的两个根,则 ( )1020x47a5()2A()2B1()
13、C1()2D5. 在等比数列 ，已知 ， ，求 .na51019a18a6 在等比数列 中, ,前 项和为 ,若数列 也是等比数列，则nnSn等于（ ）nSA B C D12n3231n7 设 ，则 等于（ ）471010()22()nf N ()fA B C D8n(8)n3817n42(8)7n8 设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S3S 62S 9，求数列的公比 q；9 在各项都为正数的等比数列a n中，首项 a13，前三项和为 21，则a3a 4a 5（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D ）18910 在等差数列a n中，若 a100，则有等式a1+a2+a n=a
14、1+a2+a 19n （n19，nN 成立 .类比上述性质，相应地：)在等比数列b n中，若 b91，则有等式 成立。高三数学总复习讲义数列通项与求和知识清单1数列求通项与和（1）数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式：a n= 。1sn12（2）求通项常用方法作新数列法。作等差数列与等比数列；累差叠加法。最基本的形式是：a n=(ana n1 )+(an1 +an2 )+(a2a 1)+a1；归纳、猜想法。（3）数列前 n 项和重要公式：1+2+n= n(n+1)；2112+22+n2= n(n+1)(2n+1)；6113+23+n3=(1+2+n)2= n2(n+1)2；41等差数
15、列中，S m+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，S m+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即 an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如： 、)1(1)(1CAnBCABna = 、nn！=(n+1)!n!、C n1 r1 =CnrC n1 r、 = )1(n )!(等。)!(错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和，常用错项相消法。 , 其中 是等差数列， 是等比数列，记ncbanbc，则 ，n ccS121 1211nnqScb
16、 并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求 Sn。数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。通项分解法： nncba2递归数列数列的连续若干项满足的等量关系 an+k=f(an+k1 ,an+k2 ,an)称为数列的递归关系。由递归关系及 k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及 a1=1，确定的数列 即为递归数列。2n递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。（2）迭代法。（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。课前预习1已知数列 为等差数
17、列，且公差不为 0，首项也不为 0，求和：na。nii12求 。)(,3214321*Nn3设 a 为常数，求数列 a，2a 2，3a 3，na n，的前 n 项和。4已知 ，数列 是首项为 a，公比也为 a 的等比数列，令,0n，求数列 的前 项和 。)(lgNnbnbnS5求 。SCCn363126设数列 是公差为 ，且首项为 的等差数列，nadda0求和： nn1017求数列 1，3+5，7+9+11，13+15+17+19 ，前 n 项和。典型例题一、有关通项问题1、利用 求通项1()2nnSaEG：数列 的前 项和 （1）试写出数列的前 5 项；（2）数列 是等差nna数列吗？（3）
18、你能写出数列 的通项公式吗？na变式题 1、 设数列 的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列 的通项公式；na变式题 2、 数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， ，n=1，2，3，求1nSa2，a 3，a 4 的值及数列a n的通项公式 变式题 3、 已知数列 的首项 前 项和为 ，且 ，证15,n *15()nN明数列 是等比数列1n2、解方程求通项：EG：在等差 数列 中， （1 ）已知 ；（2）已知na81214,68,Sad求 和；(3)已知 .65810,aS求 和 3570aS求变式题 1、 是首项 ，公差 的等差数列，如果 ，则序号 等于n1d05nn（A）667 （
19、B）668 （C）669 （D）6703、待定系数求通项：EG：写出下列数列 的前 5 项：（1）na11,4().2naa变式题 1、 已知数列 满足 求数列 的通项公式；*,().nNna4、由前几项猜想通项：EG：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.变式题 1、 如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，如此类推.设由正 边形“扩展”而来的多边形的边数为n，na则 ； .6345911aa变式题 2、观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是（ ） ，其通项公
20、式为 .A40 个 B45 个 C50 个 D55 个二、有关等差、等比数列性质问题EG：一个等比数列前 项的和为 48，前 2 项的和为 60，则前 3 项的和为（ ）nnn2 条直线相交，最多有 1 个交点 3 条直线相交，最多有 3 个交点 4 条直线相交，最多有 6 个交点（1） （4） （7） （ ）（ ）A83 B108 C 75 D63变式 1、一个等差数列前 项的和为 48，前 2 项的和为 60，则前 3 项的和为 nnn。变式 2、 （江苏版第 76 页习题 1）等比数列 的各项为正数，且na（ ）564733231018,logllogaa则A12 B10 C8 D2+
21、5EG：设数列 是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首n项是（ ）A1 B.2 C.4 D.8变式题 1、在各项都为正数的等比数列 中，首项 ，前三项和为 21，则na13345aA 33 B 72 C 84 D 189三、数列求和问题EG：已知 是等差数列，其中 ，公差 。 （1）求数列 的通项公式，na13a8dna并作出它的图像；（2）数列 从哪一项开始小于 0？（3）求数列 前 项和的n最大值，并求出对应 的值变式题 1、已知 是各项不为零的等差数列，其中 ，公差 ，若 ,求数na1ad10S列 前 项和的最大值n变式题 2、在等差数列 中， ， ，求
22、的最大值n125a179SnEG：求和： 213nnSxx变式题 1、已知数列 和 ，设 ，求数列 的前 项和 4na14nbnbacncnT变式题 2、 设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ，nn 1ab， （）求 ， 的通项公式；（）求数列 的前 n351ab53abnabn项和 nS变式题 2设等比数列 的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，S n+2 成等差数列，则 qna的值为 .3、利用等比数列的前 项和公式证明nEG：1121= (,0)nn nababbNab 变式题、 已知 .当)0,( 121 naunnn时，求数列 的前 n 项和 banSE
23、G：（ 1）已知数列 的通项公式为 ，求前 项的和；（2）已知数列na1()nan的通项公式为 ，求前 项的和na1n变式题 1、已知数列 的通项公式为 ，设 ，nana12132421n nTaa求 nT变式题 2、数列a n中，a 18，a 42，且满足：a n+22a n+1a n0（nN*） ，（）求数列a n的通项公式；（）设 ，是否存在最大的整数 m，使nnn bbSNb 21*)()(，得任意的 n 均有 总成立？若存在，求出 m；若不存在，请说明理由32mS实战训练 A1 在等比数列a n中， a28，a 164， ，则公比 q 为（A）2 （B）3 （C）4 （D ）82 若
24、等差数列 的前三项和 且 ，则 等于（ ）n93S1a2A3 B.4 C. 5 D. 63设 为公比 q1 的等比数列，若 和 是方程 的两根，na2040503842x则 _.20764 设等差数列 的公差 不为 0， 若 是 与 的等比中项，则nd19adk1a2k（ ）2 4 6 8k5设等差数列 的公差 是 2，前 项的和为 ，则 nannS2limnS6等差数列a n中，a 1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=(A)9 (B)10 (C)11 (D)125.等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 246,10,则 等 于（A）12 （B）18 （C）24
25、 （D ）426 已知数列的通项 ，则其前 项和 5nnS7 等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，则 的anS123na公比为 8已知 是等差数列， ，其前 10 项和 ，则其公差 （ n10107Sd） 233329已知 成等比数列，且曲线 的顶点是 ，则abcd， 3yx()bc，等于（ ）3 2 1 d10已知 是等差数列， ，其前 5 项和 ，则其公差 n46a510Sd11 设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ nnS396789a）A63 B45 C36 D2712 已知数列 对于任意 ，有 ，若 ，则 na*pqN， pqpa136实战训练 B1 已知等差
26、数列 的前 项和为 ，若 ，则nnS122581a2 在等比数列 （ ）中，若 ， ，则该数列的前 10 项和naN*1a4为（ ）A B C D4121102123 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 A 和 ，且 ，nabnnB7453n则使得 为整数的正整数 的个数是（ ）nabA2 B3 C4 D54 已知数列 的前 项和 ，第 项满足 ，则na29nSk8kaA B C. D98765 已知数列 的前 项和 ，则其通项 ；若它的第na29nSna项满足 ，则 kk6数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）nanS1()na5SA1 B C D5661307等比数列 中， ，则 等于（ ）na42aA 4818若数列 的前 项和 ，则此数列的通项公式为n20(13)nS， ， ，；数列 中数值最小的项是第 项a9若数列 的前 项和 ，则此数列的通项公式为n2()n， ， ，10 等差数列 的前 项和为 若naxS则 432,1Sa（A）12 （B）10 （C）8 （D）611 设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ nn396789a）A63 B45 C36 D2712数列 中， ， （ 是常数， ） ，且na121nac 123n， ， ，成公比不为 的等比数列123， ，（I）求 的值；c（II）求 的通项公式na
