1、数列的极限,第1章 极限与连续 第1节,北京理工大学数学系,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,北京理工大学数学系,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,北京理工大学数学系,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,北京理工大学数学系,二、数列的定义,例如,北京理工大学数学系,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,二、数列的定义,北京理工大学数学系,播放,三、数列的极限,二、数列的定义,北京理工大学数学系,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确
2、定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,二、数列的定义,北京理工大学数学系,二、数列的定义,北京理工大学数学系,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,三、数列极限定义,北京理工大学数学系,几何解释:,其中,三、数列极限定义,北京理工大学数学系,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,三、数列极限定义,北京理工大学数学系,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,三、数列极限定义,北京理工大学数学系,例3,证,三
3、、数列极限定义,北京理工大学数学系,例4,证,三、数列极限定义,北京理工大学数学系,四、数列极限的性质,1、有界性,例如,有界,无界,北京理工大学数学系,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,四、数列极限的性质,北京理工大学数学系,2、唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,四、数列极限的性质,北京理工大学数学系,例5,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,四、数列极限的性质,北京理工大学数学系,3、子数列的收敛性,注意：,例如，,四、数列极限的性质,北京理工大学数
4、学系,定理3 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,证,证毕,四、数列极限的性质,北京理工大学数学系,五、数列收敛准则,北京理工大学数学系,单调增加（或减少）且有上界（或下界）的数列必收敛。,单调有界准则：,北京理工大学数学系,单调有界准则：,北京理工大学数学系,夹逼准则：,北京理工大学数学系,夹逼准则：,北京理工大学数学系,常用的极限,北京理工大学数学系,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质: 有界性、唯一性、子数列的收敛性.,判断极限收敛的准则: 单调有界准则、夹逼准则.,北京理工大学数学系,思考题,证明,要使,只要使,从而由,得,取,
5、当 时，必有 成立,北京理工大学数学系,思考题解答,（等价）,证明中所采用的,实际上就是不等式,即证明中没有采用“适当放大” 的值,北京理工大学数学系,从而 时，,仅有 成立，,但不是 的充分条件,反而缩小为,北京理工大学数学系,练 习 题,北京理工大学数学系,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,北京理工大学数学系,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,北京理工大学数学系,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术
6、：,刘徽,一、概念的引入,北京理工大学数学系,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,北京理工大学数学系,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,北京理工大学数学系,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,北京理工大学数学系,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,北京理工大学数学系,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可
7、割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,北京理工大学数学系,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,停止,北京理工大学数学系,三、数列的极限,北京理工大学数学系,三、数列的极限,北京理工大学数学系,三、数列的极限,北京理工大学数学系,三、数列的极限,北京理工大学数学系,三、数列的极限,北京理工大学数学系,三、数列的极限,北京理工大学数学系,三、数列的极限,北京理工大学数学系,三、数列的极限,北京理工大学数学系,三、数列的极限,北京理工大学数学系,三、数列的极限,北京理工大学数学系,三、数列的极限,北京理工大学数学系,三、数列的极限,北京理工大学数学系,三、数列的极限,停止,北京理工大学数学系,作业,P31:3. 4. 6.-10.,
