1、1江苏启东中学高考数学二轮复习之考点透析 7：数列的综合考查数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与
2、等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 （2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。 （3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 （文科考查以基础为主，有可能是压轴题）一、知识整合1在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2在解决综合
3、题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力3培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法二、方法技巧1判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：2(1)定义法：对于 n2 的任意自然数,验证 为同一常数。11(/)nnaa(2)通项公式法：若 = +（n-1）d= +（n-k）d ，则 为等差数列；n若
4、 ，则 为等比数列。na(3)中项公式法：验证中项公式成立。2. 在等差数列 中,有关 的最值问题常用邻项变号法求解： nanS(1)当 0,d0 时，满足 的项数 m 使得 取最小值。1a10ma在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项1证明数列 是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或na 11nnaa而得。1n2在解决等差数列或等比数列的相关问题时， “基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3注意 与 之间关系的转化。如： = ，
5、=nsana10nS21nnakk211)(4数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路5解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略四典型考例【问题 1】等差、等比数列的项与和特征问题 P49 例 1 3。P 50 例 2 P56 例 1 P59 3T6【注 1】文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题例（四川卷）数列 的前 项和记为 （）求 的通na 11,21nnSaSna项公式；
6、（）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又bT35成等比数列，求123,abnT本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分 12分。解：（）由 可得 ，两式相减得12naS12naS1,3na又 故 是首项为 ，公比为 得等比数列 2121n1313n（）设 的公比为 由 得，可得 ，可得 25bnbd35T123b故可设 又135,9a由题意可得 解得2912,0d等差数列 的各项为正， nb0d213nT1.设等差数列a n的首项 a1 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn.()若 a11=0,S14=98,求数列a n的通项公式；()若 a16
7、，a 110，S 1477，求所有可能的数列a n的通项公式2(上海卷) 设数列 的前 项和为 ，且对任意正整数 ， 。 （1）求数nnS4096naS列 的通项公式？（2）设数列 的前 项和为 ,对数列 ，从第几项起n 2logT？509T.解(1) a n+ Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048.当 n2 时, an= SnS n1 =(4096a n)(409 6a n1 )= an1 a n = 1na24an=2048( )n1 .2(2) log2an=log22048( )n1 =12n, T n= (n 2+23n).1由 Tn ,而 n 是正整数,于是
8、,n46. 从第 46 项起4603Tn .3原式=( b 1)+( b2)+( b k)+(bk+1 )+(b2k )=(bk+1+b2k)(b 1+bk)= = .12)0(2( kk12当 4,得 k28k+40, 42 k4+2 ,又 k2,13当 k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立 .4例，已知数列 中， 是其前 项和，并且 ，nanS1 142(,)nSaa设数列 ，求证：数列 是等比数列；设数列),21(1bn b，求证：数列 是等差数列；求数列 的通项公式及前),(,2acn ncna项和。分析：由于b 和c 中的项都和 a 中的项有关，a 中又有 S =4a +2，
9、可由 S -nnn1n2n6S 作切入点探索解题的途径1n【注 2】本题立意与 2007 年高考题文科 20 题结构相似.解：(1)由 S =4a ，S =4a +2，两式相减，得 S -S =4(a -a )，即 a =4a1n2n12n1n2n-4a (根据 b 的构造，如何把该式表示成 b 与 b 的关系是证明的关键，注意加强1n 1n恒等变形能力的训练)a -2a =2(a -2a )，又 b =a -2a ，所以 b =2b 2n1nn1n1n已知 S =4a +2，a =1，a +a =4a +2，解得 a =5，b =a -2a =3 12221由和 得，数列 b 是首项为 3，
10、公比为 2 的等比数列，故 b =32 n n1当 n2 时，S =4a +2=2 (3n-4)+2；当 n=1 时，S =a =1 也适合上式n1n 1综上可知，所求的求和公式为 S =2 (3n-4)+2n1说明：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前 项和。解决本题的关键在于由条件 得出递推公式。n 241nna2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用【问题 3】函数与数列的综合题 P51 例 3数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性
11、质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.P51 例 3（2006 湖北卷）已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为()yfx=7，数列 的前 n 项和为 ，点 均在函数 的图()62fx=-anS(,)nN*()yfx=像上。 （） 、求数列 的通项公式；（ ） 、设 ， 是数列 的前 n 项和，n 1nba+=nTb求使得 对所有 都成立的最小正整数 m；20nmT0 , a na n1 =5 (n2). 当 a1=3 时,a 3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列a 13;当 a1=2 时, a 3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a 1
12、=2, a n=5n3.1617.（I）证明： 213,nnaa*2121112(),3,().nnn aa nN 是以 为首项，2 为公比的等比数列。1n21a（II）解：由（I）得 *(),nnN1221()().naa2 *.().nn（III）证明： 1214.,nnbbb12(.)4,nnbb12(.),nnb11()().nbb，得 即 1(),nn1()20.nb2120.nb，得 即,nnb21,nnb是等差数列。*21()nN18 （山东卷）已知数列 中， 在直线 y=x 上，其中na112na、 点 （ 、 ）n=1,2,3.()令 ()求数列是 等 比 数 列 ；求 证
13、数 列 nnn bab,31 的 通 项 ；n()设 的前 n 项和,是否存在实数 ，使得数列分 别 为 数 列、 TS、a为等差数列？若存在，试求出 .若不存在,则说明理由。n解：（I）由已知得 11,2,naa233,44a又 1,nnb121,nb171 1121()22.nnnnnaaaba 是以 为首项，以 为公比的等比数列.n34（II）由（I）知， 13(),2nn nb1,na12a322 1,nn将以上各式相加得： 12131()(),n na11 1)33()()2.22nn n3.2na（III）解法一：存在 ，使数列 是等差数列.nST12123()(12)nnnSa n()32n233() .nn12 131()142().2nnn nnTb 数列 是等差数列的充要条件是 、 是常数nS ,(nSTAB)即 2,nTABn又 133()2nn nS231()2n当且仅当 ，即 时，数列 为等差数列.102ST18解法二：存在 ，使数列 是等差数列.2nST由（I） 、 （II）知， 2nab(1)22nSTn(1)nnST3n又 12 131()1342()2nnn nnb 1()n nST当且仅当 时，数列 是等差数列.2ST
