1、 数列求和【考题回放】1. （北京卷）设 ，则 等于（ D ）4710310()22()nfnN ()fnA. B. C. D.2(817n18)8428172. 等差数列 an中， a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（ B ）A9 B10 C11 D123. （福建）数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ B ）nn1()a5A1 B C D561304. （全国 II）设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 ，则 S 3S 6 13S 6S 12A. B. C. D.310 13 18 19解析:由等差数列的求和公式可得 且3116,53Sdada可 得
2、 0所以 ,故选 A61252790Sad5. （天津卷）已知数列 、 都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为 、 ，且 ，nb 1ab51设 （ ） ，则数列 的前 10 项和等于（ ）*1,Nbanbac*NncA55 B70 C85 D100解：数列 、 都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为 、 ，且 ，n 1ab51设 （ ） ，则数列 的前 10 项和等于 =*1,banbac*nc1210ba， ， 119 11()4119bb= ，选 C.4563856. （江苏卷） 对正整数 n，设曲线 在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 ，则数列)(xyn na的前 n 项和的
3、公式是 1an解： ，曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线的斜率为 k=n2n-1-(n+1)2n1()nyxx切点为（2，-2 n）,所以切线方程为 y+2n=k(x-2),令 x=0 得 an=(n+1)2n,令 bn= .数列21na的前 n 项和为 2+22+23+2n=2n+1-21an高考要考什么1直接用等差、等比数列的求和公式求和。公比含字母时一定要讨论dnanSn2)1(2)(11)1(1qanSn(理)无穷递缩等比数列时， q12错位相减法求和：如： ., 21的 和求等 比等 差 nnn babaa3分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求
4、和。4合并求和：如：求 的和。222978105裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项： )(nn )12(1)2(nn)2(1)(21)( ! )!(!)(6公式法求和 61nkn 213)(nkn7倒序相加法求和 突 破 重 难 点【范例 1】设数列 满足 ， na21133naa*N（）求数列 的通项； （）设 ，求数列 的前 项和 n nbnbnS解 (I) 2113.,3naa22131.(2),3na3()n()n验证 时也满足上式， *.nN(II) ， nb2313nS 41.- ： ，231nnS113nn113324nnS【变式】已知二次
5、函数 的图像经过坐标原点，其导函数为 ，数列 的前 n 项()yfx ()6fxa和为 ，点 均在函数 的图像上。 （） 、求数列 的通项公式；nS(,)nN()yfxna（） 、设 ， 是数列 的前 n 项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数1nbanTb20nmTNm；点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（）设这二次函数 f(x) ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x 2,得a=3 , b= 2, 所以 f(x) 3x2 2x.又因为点 均在函数 的图像上，所以 3n2 2n
6、.(,)nSN()yfxnS当 n2 时 ， an Sn Sn 1（ 3n2 2n） 6n 5.)1(32n（当 n 1 时， a1 S1 312 2 61 5， 所以， an 6n 5 （ ）N（）由（）得知 ，13nab)1(6(3)16(2n故 Tn （1 ）.i12 )5(.)37()( n因此，要使 （ 1 ） （ ）成立的 m,必须且仅须满足 ，即 m 10，所以6n20mnN20m满足要求的最小正整数 m 为 10.【范例 2】 （浙江）已知数列 中的相邻两项 是关于 的方程 的na21ka， x2(3)20kkxA两个根，且 212(3)kka ， ， ，（I）求 ， ， ，
7、； （II）求数列 的前 项和 ；37n2nS（）(理)记 ， ，sin()2f(2)(3)(4)(1)145621fff fnnTaaa求证： 15()624nT*N （I）解：方程 的两个根为 ， ，320kkxxA13xk2k当 时， ，所以 ；1k2， 1a当 时， ， ，所以 ；26x43当 时， ， ，所以 时；3k19285当 时， ， ，所以 4x712a（II）解： 2122nnSa 2(36)()nn 2132n（III）证明： ，(1)12345621fn nTaa所以 ， 126a1234当 时， ，3n(1)34562fnnTaa 34562116naa，231162
8、nA 1nA同时，(1)567824fn nTaa 5612214naa315292nA 549nA综上，当 时， nN*62nT 【变式】在数列 中， ， ， a1131na*N（）证明数列 是等比数列；n（）求数列 的前 项和 ；nS（）证明不等式 ，对任意 皆成立14n *N解、 （）证明：由题设 ，得 ， 31na1()4()nnaa*N又 ，所以数列 是首项为 ，且公比为 的等比数列1ana14（）解：由（）可知 ，于是数列 的通项公式为 4nna14na所以数列 的前 项和 na1()32nS（）证明：对任意的 ，*N114()41()3232n nnS 21(34)0n所以不等式
9、 ，对任意 皆成立1nnS *【点睛】本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 项和n公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力【范例 3】已知 a1=2，点( an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+ an)是等比数列；（2） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn及数列 an的通项；（3） 记 bn= ，求 bn数列的前项和 Sn，并证明 Sn+ =1.n 132T解：（）由已知 ， ，两边取对数得21na21()na1an，即1lg()lg()nnlg()n
10、是公比为 2 的等比数列.lna（）由（）知 （*）11lg()lg()na1122lg3nn 123na=12nT+03n-12n-1+-由（*）式得 13na（） 210nn1(2)na11()2nnaa12nna又 nnba1()nnb12nS+1231( )naaa+12()na12213,3n naa213nnS又 .21nTnST【变式】 （天津卷）已知数列 满足 ，并且 （ 为非零参数，nx12x11nnx） 234n，（）若 成等比数列，求参数 的值；135x， （）设 ，常数 且 证明 0kN3 12()1kknkxxN解：（I）由已知 且12,x3633524 4345123,.xxx若 、 、 成等比数列，则 即 而 解得1x35235,6.0,1.（II）证明：设 由已知，数列 是以 为首项、 为公比的等比数列，故1,nxana21x则 1,nx 12nknknxx(3)2312 .knnknkn因此，对任意 *,N12.knkxx()(3)(3)22.kkkn(3) (3)22 21).).k kknkkn 当 且 时，3k01(3)201,0,knk所以 *12.().kknkxxN
