1、清华在线 010-62771166 62781166 1第四部分 一元函数微积分在 25 个考题里面占 6 个，主要考在一元微分学部分，微分学占到了 ，现在微分学的题目有四个，积分学23可能有两个题目。从题目的难度说，04、06 两年，微积分的题目计算量是偏大的，03、05 两年题目的难度不大，但也有难题。从出题目的类型说，只有一个题目没有复习，就是渐近线的问题。今年渐近线可以不管，已经考过了。微积分一元微积分内容总结一、有关函数进一步讨论：二、极限；极限的概念、极限的性质和极限的四则运算、两个重要极限和无穷大量和无穷小量概念及其关系、无穷小量的比较等。掌握极限的保号性质； 0sinlm1x
2、12x1limex（ ） 201coslix0ln(1)imxx无穷大与无穷小的关系；理解无穷小比较；f(x)=o(g(x) （c0，c1）()0fxg()1fxg()fc第三章 连续函数连续的定义，左右连续的定义，连续与左右连续的关系，间断点，间断点的分类，连续函数的运算性质，连续函数的性质。给出一个函数，给出一点，判断函数在这点清华在线 010-62771166 62781166 2是否存在左极限和右极限存在且相等，相等就是连续的。给出具体函数找间断点。1.先找有定义的点；2.单独给出定义的点；sinx0()fx，最大值存在性和最小值的存在性；第四章 导数和微积分的概念、导数的运算1.概
3、念； 00()limxfxf） 存 在 ；000()ofxfa） +） 0()ofx=+）2.性质；可导定连续；反之不成立。可导和可微是等价的；反之亦成立。3.运算；基本初等函数的导数要记住；加减乘除的求导法则记住；复合函数的联导法则要记住； ()yfgx()yfgx（ ） g()xyfln()ln()ygxf一、两类概念1反映函数局部性质的概念极限、连续、可导（导数） 、可微（微分） 、极值（点）等2反映函数整体性质的概念有界性、单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、最值、原函数、定积分等二、三种运算清华在线 010-62771166 62781166 31极限运算常用方法：四则运算、重要极限、
4、等价无穷小代换、无穷大与无穷小的关系、导数定义、洛必达法则等2求导运算需要掌握：定义、基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的链导法则、变限定积分函数的导数公式3积分运算（1）不定积分运算：基本积分公式、换元积分法、分部积分法（2）定积分运算：定义与性质、几何意义、牛顿莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法三、几个应用1单调性、极值、最值问题（不等式、方程的根）2凹凸性、拐点问题3平面图形的面积问题一元微积分中的常见问题一、 求函数表达式的问题1已知 , 求 的表达式1)(2xf )(xf解：令 得 ，故tx 21)(2ttf2)(xf2已知 求 .2,4)(,1,0)( xxgxf )(xfg
5、清华在线 010-62771166 62781166 4解： ） .1,4,3)(42)(,2,4)( xfxffxfg3已知 ，求 efcosin f解： 因为 ，xxx eef )cos(in)()(所以 defcsiCxsin因此 f)i(l)(4设 ，求 xdxfarctndxf)(1解：因为 ，Cft)(所以 21xf因此 xdxdf 421)()(5已知 ，求 ， 102)(fexf 0)(df)(f解：因为 ，所以)()(dxffx， 101010210 )(3)( dxfefedxf因此 ， )(3)(fxf)2()(二、研究函数的奇偶性的问题1 奇函数)(2)xexf2 1
6、ln2f解：因为对任意的 ， 都有定),(x )1ln()2xxf清华在线 010-62771166 62781166 5义，且 ,)()1ln)(l1n)(22xfxf所以 是奇函数；l)(xf3研究函数 的奇偶性xdttf02)1ln(解：因为对任意的 ， 都存,xdttf02)1ln(在，且 )()1lnl )(1n(l)0202xfduuduuttxfx所以 是偶函数ttxf02l)(三、函数在一点的性质1求极限 xexsin12lim410解： 10sin12limsin12lim|sin12lim 304040 xexexe xx清华在线 010-62771166 627811
7、66 612sin12lim|sin12lim4040 xexex2指出函数 的间断点及其类型)()2xf答案： ，跳跃型； ，可去型； ，第二0x11x类3已知函数 在 上连续，求1lim)(2nnxbaxf ),(的值ba,解：由于 1,)(21,)(xbaxxf所以 ， ；lim)(li11fx baxfx)(lim)(li21， baxf)(li)(li 2 1li)(li f根据连续性可知 解得 ,1,0ba4讨论函数 在 处的连续性、0sin)()2xxf 1可导性答案：连续，可导因为01sin)(lim1)(li)1( 2 xxff x清华在线 010-62771166 627
8、81166 75设 在 可导，则 满足 A 01sin)(2xbaxf ba,（A） （B） ,0 1,（C） （D） ,为 任 意 常 数 ba为 任 意 常 数四、有关无穷小比较的问题1若 ， ，求 与 的值 0k0)tan(1limcos0xekxka解：因为 ，所以021limcosli)ta(li 00cos10 xxxe kkkx 2,k2已知 ，则当 时，下列函数中与0)1ln()(xdtf是等价无穷小的是 C )(xfA B C D 23x24x4x解：由 得130100 lim)ln(i)1ln(lim12 kxkxkx aaadt2,4ak3确定 的值，使 b, 21sin
9、l0dtaxbx解： 因为 ，)(sinlm0ax ilm2txx所以 ，因此 1li2dtbx 0b又 ，axataxxbx 10cos1lisinl2 2020所以 .1清华在线 010-62771166 62781166 84. 设 ，求 xtdef02)( hxffh)()(lim0解: 1)()(li)(limfffhfh 22li)()(0xxxee五、有关导数概念的问题1求极限 hxfxfh2)()(lim00解： )(2)()(li2)()(li 000000 xfhhxffxfxfhxfxf hh 2设 在 点某邻域内可导，且当 时 ，)(f )(f已知 ，0，求极限2)(
10、f 。xxfsin10)(2lim解： xffxx ff sin)(2)(1li)(1lisin10 。420)()(li efff3已知 ，求 0,1sin)(4xxf )(f解：因为 ,0,1cossi4)(23xxf所以 01cossin4lim)0(lim)0( 23 xxfff xx六、 求简单复合函数、简单隐函数、幂指函数的导数清华在线 010-62771166 62781166 9和微分的问题1 )ln(arctxy21arctnx2已知函数 由 确定，求曲线(y0yey在 处的切线方)(xy0程与法线方程解：由 得0xyey，0yxe当 时，得 ，所以要求的切线0x 1)(,
11、)(与法线方程分别为 xy3 ， ， xy1xyln2ln1 21lnx七、 研究函数单调性、求函数极值的问题1单调性、极值问题例如：求函数 的单调区间和极值点21xy解： ，由 得 2)(xy 0 1,21x单增区间为 ，单减区间为 ),(和 ),(1,(是极小值点， 是极大值点1x2x2最值问题，3证明不等式问题，（1）证明： 24)1arctn(2xxx)0(清华在线 010-62771166 62781166 10证明：因为 ，)1(14)arctn(2xxx所以 .)rta(2x)0(（2）证明： beb证明：令 ，则 ，所以当xfln)(exxf,0ln1)(2时，bae，即 ，
12、故 )(fabln)(baeb（3）证明： 31l)3(l122xx证明：令 ，由 得 ，由xfln0ln)(f ex于，所以函数 在区间 上3ln1)(,)(,0)1( 2efff )(xf3,1e的最大、最小值分别为 和 ，从而有 l2)31(nl)3(ln12 exx4证明等式问题例如：设函数 在 上可导、单增且 ，证明)(xf,0a0)(f)()1afdyfd证明：令 ， ，)()()(00 uxfuFu ,则 ，,0,)1 afff 又 ，)(所以 ，,0,auF清华在线 010-62771166 62781166 11故 )()()()(010 afdyfdxfaa证法 2：因为
13、， aaxfyf dxffdxf001)()(1)()(所以 )()()1yff注：也可用定积分的几何意义证明5研究方程根的问题例如：讨论方程 实根的情况03Ax解：令 ，由 得 f)( 03)(2xf，从而1,21x)(是函数的单减区间， )1,(和 ),(是函数的单增区间，极大值为，极小值为 2)1(Af 2)(Af由于 ，所以：lim,)(li xfxf当 时，原方程只有一个实根，位于 ),1(内；02当 时，原方程有两个不同实根，一个为 ，一A 个位于 ),1(内；当 时，原方程有三个不同实根，分别位02于 ),(， ),(， ),1(内；当 时，原方程有两个不同实根，一个为 ，一02
14、A 1个位于 )1,(内；清华在线 010-62771166 62781166 12当 时，原方程只有一个实根，位于 )1,(内02A八、研究函数的凹凸性、求函数拐点的问题1.当 为何值时，点 可能为 的拐点，此ba, )3,1( 23bxay时函数的凹凸性如何？ 解:由点 ),1(在曲线上和拐点处的二阶导数为零，得 ,0263ba解得 9,23ba由于 ，所以 为函数的下凸区间，)1(xy )1,(),1(为函数的上凸区间，点 3是 的拐23bxay点2. 设函数 在 上二阶连续可导，且 ，)(xf1, 0)(f，试判断 是否为 的极值点？是cos1lim0fxx 0x)(xf否为 的拐点
15、？ )(f解：因为 ，所以在 附近01)(cos1lim0xfx 0x，0)(cos1xf从而 ，因此 不是 的拐点f 0x)(xf由于 ，所以 单增，又 ，从而易知0)(x)(f 0f是 的极小值点f九、不定积分（凑法、分部积分法）1已知 的一个原函数为 ，求 ，)(xf 2xedxf)(清华在线 010-62771166 62781166 13dxf)(解： Cexfdxf 22)(1)(fffx 2 dxe)cos(in解： Cxedxedxesincoscossin)(i3 dxl23解： Cexdedxee x 333 1)(12ln4 xed1解： xdxe1dxe)1(xe1)
16、(C)ln(或 xxxededed1)1(1 Cex)1ln(5 ln解： Cxxdxdx ln)l(n)(lln)l(6 )sin(l解：因为 dxxxd1)cos(ln)sin(l)i(l清华在线 010-62771166 62781166 14dxxxx 1)sin(l)cos(l)sin(l所以 Cdlil2il十、定积分求值的问题1利用定积分性质（几何意义、奇偶性、周期函数等）2分段函数、绝对值函数、带有根号的函数求定积分例如： kdxkdxkdxk 2coscossin100202 3已知一个积分值，求另一个积分值（1）已知 ，求 的值1)(10dxf dxf202sin)(co
17、解： 。1)(s2sinco 01020 ufxff（2）已知 ，求 dteA10dte12)(解： Attttt 1)1(0024已知一个积分方程，求一个积分值例如：已知 ，求 ， 102)()(dxfexf 10)(dxf)(f解：因为 ，所以)()(ff， 101010210 )(3)( dxfedxfedxxf因此 ， )(3)(ff)2()(十一、有关变限定积分函数的问题清华在线 010-62771166 62781166 151导数运算（1）已知函数 由方程 确定，)(xy0cos1in022dtdteyx求 dxy解：因为 ， 所以0cos1in022dtdteyx，)cos(
18、i2xedy因此 2)cs(in2xey（2）求极限 xdttxcos1lim02解： 0sinlilcos1)(li 20022 xedtextx（3） ，求 tfF0)()( )(F解：， 2001)()()(xxdufdtf )(2)(1)(02xfdufx（4）已知 ，求 21)(xtef 0)(f解： )1(421)(2)(2)( 031010 edxedxffdxf2研究奇偶性、单调性、凹凸性，求极值点和拐点例如：求函数 的单调区间和极值点dttxf)1()(20解：由 ，得 f 1,0,32xx当 时， ， 单调减小，1x0)(x)(f清华在线 010-62771166 627
19、81166 16当 时， ， 单调增加， 是 的01x0)(xf)(xf 1x)(xf一个极小值点；当 时， ， 单调减小， 是 的一x)(xf)(xf 02x)(xf个极大值点；当 时， ， 单调增加， 是 的一个极1x0)(xf)(xf 1x)(f小值点十二、定积分的几何应用问题（面积与旋转体的体积）1切线、法线，2. 最大、最小面积（1）求由 及 在 处的法线所围图0,xyexxey1形的面积及此图形绕 轴旋转所得旋转体的体积解: 在 处的法线方程为 xey1，)1(xey此法线与 轴的交点是 ，所以x0,2；12)(31102 edxedeSex4)3V（2）求曲线段 的一条切线，使该
20、切线)62(,lnxy与直线 及此曲线段所围平面图形的面积最6,2x小解：曲线 在 处的切线方程为xyln)l,(0x，)(1n0xy曲线 在 处的切线与直线 及此曲线xyln)l,(0x 6,2x段所围平面图形的面积为清华在线 010-62771166 62781166 17，2ln6l1ln4l)(1ln)( 062000 xdxxxS)()(0S由 ，得 0)(xS40x由于当 时， ；当 时， ， 所以)(S4x0)(xS最小，故所求切线方程为 )4(S 41lny样题与真题一、函数（2005）设函数 的定义域是 ，则函数fx0,1的定义域是（ 1sin1cosgxffx） A. B
21、. C. D. 0x0.5.1分析：考虑 得 解得 即正1cos0,in1,x,0cos1in,x5.x确选项为 D二、函数在一点的性质1设函数 ，则 在点 处 0,1sin)(2xxf，)(xf0 （极限、连续、导数定义）2 （2003）如果 在 处可导， ，)(xf0 )()00xfxff则极限 dfxlim0清华在线 010-62771166 62781166 18A等于 B等于 C等于 * D不)(0xf 10存在注：特殊值代入法。3 （2005）设 在点 处可导，且fx0则 =（ ） 12,3,fn fA.0 B.1 C.2 D.3分析：因为 在点 处可导，所以其在点 处连fx00
22、x续，从而 ，2lim)1(li)0(nffn即正确选项为 C1lim)0(nfff注：特殊值代入法。4 （2006）设 ，且导数存在，则 （ 0)(xf )(1lnimaf） 。A. 0 B. C. D. )(lnaf )(af答：D分析：（本题是一元函数微分学题目。考查导数概念与复合函数的求导公式）清华在线 010-62771166 62781166 19根据导数定义，极限 是nafafafnn 1)(l)(l)(1limi 复合函数 在 点的导数，所以其值为 。)(lnxfya )(af注：特殊值代入法与排除法。三、连续函数性质（2003）甲乙两人百米赛跑成绩一样，那么 A甲乙两人每时
23、刻的瞬时速度必定一样B甲乙两人每时刻的瞬时速度都不一样C甲乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样 *D甲乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样注：排除法。四、极限运算1极限 （极限运算）bxasinlm0)0(b2 （极限运算）2lix3极限 （极限运算）xexsinli0五、导数运算1设函数 ，则 （求导运算）axey)(ny2设函数 ，则 （求导运算）1l(203如图， 是两个逐段线性的连续函数，设),xgf清华在线 010-62771166 62781166 20，则 的值为（ A ） )()(xgfu)1(uA * B C D4343212分析：由于 ，)1()1(gfu，所以 43,3,)1
24、( g 43)1(u六、导数应用1 （2003）设 ，则 的极值点的个数是 xdttf02)1()( )(xfA B * C D 01232 （2003）方程 的实根个数是 xxcosin2A B * C D 1342 （2004）如下不等式成立的是（ B ） A在 区间上，)0,3()ln(lxB在 区间上， *3C在 区间上，),()l(lxD在 区间上，0 n1 2 3 4 5 6 7 8 xy6f(x)g(x)清华在线 010-62771166 62781166 21分析：令 ，则3ln)3ln()xxf，又 ，所以在 区间上，)3(0341)( xxf 0(f 0,有 ，即 )0(
25、f lnlx3 （2005）函数 在 上有（ 12fx,） A1 条垂直渐进线，1 条水平渐进线； B1 条垂直渐进线，2 条水平渐进线C 2 条垂直渐进线，1 条水平渐进线； D2 条垂直渐进线，2 条水平渐进线分析：因为 ，1)(lim,1)(li,)(lim,)(li21 xfxfxfxf所以曲线 在 上有 2 条垂直渐进线，2 条水fy,平渐进线即正确选项为 D4 （2005）若 的二阶导数连续，且 ，则fx li1xf对任意常数 必有 =（ ） alimxfafA. B.1 C.0 D. 分析：根据微分中值定理可知，存在介于 和 ax之间的使得 由于 ，所以afxfaf )()( l
26、i1xf即正确选项为 Affxfxx lim(lim注：特殊值代入法。5 （2006）曲线 在（0，2）区间1,)2(1,xxy清华在线 010-62771166 62781166 22内有（ A ） 。A. 2 个极值点，3 个拐点 B. 2 个极值点，2个拐点C. 2 个极值点，1 个拐点 D. 3 个极值点，3个拐点分析：根据 21),(2)1(3,0xxy易知 分别是函数的极大值点和极小值点。35,1x由于 21,)(6,0xxy且 在 不存在，易判断经过 三点时二阶导数都变y1x 34,号，所以这三点都是函数的拐点。6 （2006）设正圆锥母线长为 5，高为 h，底面圆半径为 r，
27、在正圆锥的体积最大时， （C ） 。rA. B. 1 C. 21 2D. 3分析：圆锥体积为 ，所以由)5(3122hhrV得 （易知这时体积最大） ，从而0)35(12hdhV325清华在线 010-62771166 62781166 23，故 。35022hr2hr7 （2006）如右图，曲线 表示某工厂十年期间的)(tfP产值变化情况，设 是可导函数，从图形上可以看出该)(tf厂产值的增长速度是（A） 。A. 前两年越来越慢，后五年越来越快 B前两年越来越快，后五年越来越慢C前两年越来越快，后五年越来越快 D前两年越来越慢，后五年越来越慢分析：由图可知，前两年 的图像上凸，二阶导小)(
28、tfP于零，一阶导单减；后五年 的图像下凸，二阶导大于零，一阶导单增。七、积分运算1如果函数 在区间 上连续，且 ，则)(xf1,0 adxf10)( （积分运算）0)(dxf2 （ 为常数） （积分运算）Celn23 （2003）设 ，则 0)sin(codxI)(tfPP0 2 5 10 t(年) 清华在线 010-62771166 62781166 24A B C D *1I0I10I0I分析： 。sin)sin(co120 dttdx4 （2004）设 为连续函数，且 ，则f 1sin)(0xdf（ C ） 0cos)in(xdxfA B C * D11分析：因为,0sin)(xdf
29、 0cos)in(xdxf 0)()sin()i(00 dufxdf且 ，所以 11coin0f5 （2005）设 是 的一个原函数，则不定积分2l=（ ） ()xfdA. B. 3321ln9xC2lnxCC. D.322lx22l分析：由于 ，所以xdxfxxf ln)(,nl)(即正确选项为 CCdxdf 2l)(注：选项验证法。6 （2006）设 ，则在0，a上方程0a根的个数为（B）414202dtdtaxaxA. 0 B. 1 C. 2 D. 3分析：记 ，则dtadtaxf x20414)(，0)(,01)( 022 a tftf清华在线 010-62771166 627811
30、66 25所以 至少有一个根。0)(xf又因为 ，所以 只有一个根。04122 xax 0)(xf八、积分应用1 （2004）过点 作曲线 的切线，设该曲线)sin,(pxysin与切线及 轴所围成的面积为 ，曲线与直线 及 轴y1Spx所围成的面积为 ，则（ D ） ， ，所以2SA B31lim0p 21lim0SpC D *2li1Sli1分析：由于 1cos2sinsi)(cos(in01 ppdxpxpSxd1s2 1sin2silmcos2sinlmli 00210 pppSp2 （2004）如图，抛物线 把曲线)1(xy与 轴所构成的区域面积分为 与 两部分，)0(bxyx AS
31、B则（ B ） A B * C D 与 的SASBASS大小关系与 的数值有关b清华在线 010-62771166 62781166 26分析：解 得 )()12(xb2,01bx由于 ，320 2)()(dxSbA，3220 1)()1( bxbdbB 所以 AS3 （2005）设连续函数 在 内严格单调递增，yfx0,a且 ， ，若 是 的反函数，则0ffag=( )axgdxA. B. 22f 2faC. D. 0a 0gxd分析：如图，根据定积分的几何意义可知：，所以BdxgyAdxf aaa 000)()(,)(aa AB )(xfy清华在线 010-62771166 62781
32、166 27即正确选项为 B)()( 20 afBAdxgfa注：也可利用 aaayfxa dyfyfdfydfgdg 000)(0 )()()()()(4 （2006）如右图所示，函数 是以 2 为周期的连续xf周期函数，它在0，2上的图形为分段直线， 是线)(xg性函数，则 （B） 。20)(dxgfA B. 1 C. D. 2321 32分析：根据图形可知 ， ，且函数xg1)(1)(20dxf在每个长度为 的区间上的积分值相等，所以)(xf 2。3)(31)(207120 dxfdufdg第五部分 线性代数线性代数中的常见问题一、行列式求值0 1 23)(xgy)(xfyxy1清华在线
33、 010-62771166 62781166 281 （2003）行列式 展开式中 的系数是 xx1024xA * B C D 2212设行列式 ，第 2 行各元素的代数310D余子式之和 的值为 2421AA(A) (B) (C) (D)102解： .040311 4012313120)(2432 AA3设 是三阶方阵，若行列式 ，则A0A（1） 中必有一零行；（2） 中必有两行的对应元素成比例；（3）必有非零矩阵 ，使得 ；BOA（4）对任给的 3 维列向量 ，方程组 没有惟一bbx解；（5） 中必有一行可用另外两行的线性组合表示A清华在线 010-62771166 62781166
34、29上面的命题中，正确的共有（ C ）(A)1 个 (B)2 个 (C) 3 个 (D) 4 个二、矩阵运算1设 均是 阶矩阵，则BA,n（1） ；22)(BA（2） ；（3） ；)()(EEA（4） kllk上述命题中，正确的命题有（ C ）(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个2已知 ， ，XAB 10,102B求 9X解：根据 得 ，所以 XAB1)()(EAB199)(E又 ， ，021)(,012AEA 109B所以 109X3设 ， ，则T22， TTEBA2,（ D ）AB清华在线 010-62771166 62781166 30(A) (B) (C) (D)EOA解：EEAB TTTT 224已知 ， ，求 nRA0,AII解：)()()()()(1 AIIIIIATT5设 是一个 阶方阵，且 的行列式 ，则nA0a C *(A) (B) (C) (D)aa11nana解：由于 ，所以 从而EA* AE*1*nA6已知 ，求 3,2, BRBn 1*2BA解： 211*1*nnA三、求逆矩阵1利用公式，2利用初等行变换，3利用逆矩阵定义例如：已知 ，证明 可逆，并022IAIA求 1)(IA解：因为 ，所以 II)3(51)( )3(51)(IAI4利用性质例如：已知 都可逆，证明 也可逆，并BA, 1B
