1、2-1 常用概率分布,第二章 可靠性理论中常用的几种概率分布,2-2 概率分布的应用,1,2-1 常用概率分布,下面介绍几种常用的概率分布，包括离散 型随机变量的分布和连续型随机变量的分布。,它们在可靠性工程中有着广泛的应用。,二项分布 泊松分布 正态分布,对数正态分布 威布尔分布 指数分布,概述,由于产品千变万化，寿命分布的类型很多，许多情况下要确定产品的失效服从何种分布是很困难的，一般有两种方法：一是根据其物理背景来定，即产品的寿命分布与内在结构以及物理、化学、力学性能有关，与产品发生失效时的物理过程有关。通过失效分析，证实该产品的失效模式或失效机理与某种分布类型的物理背景相接近时，可由此
2、确定它的寿命分布类型。二是通过进行可靠性寿命实验或者分析产品在使用过程中数据资料来获得产品的失效数据，利用统计推断的方法来判断它属于何种分布。在可靠性工程中，常用的分布有二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布、威布尔分布等。,产品可靠性的所有数量特征，都与该产品的寿命分布函数有密切关系。如果已知寿命分布函数，则失效密度函数、失效率函数以及可靠寿命等许多特征量都可以求出。即使不知道具体的寿命分布函数，但如果已知寿命分布的类型，也可以通过对分布的参数估计，求得某些可靠性特征量的估计量。因此，研究产品的寿命分布十分重要。,一、 伯努利试验和二项分布,伯努利试验 :在相同的条件下，某一随机事件独立地重
3、复n次试验只有两种不同的结果，且试验中事件发生的概率不变，这种重复的系列试验称为伯努利试验 。,Pn(X=r)=,在n次伯努利试验中，随机事件出现的次数是一随机变量 X，它每次发生的概率为P，而不出现的概率为q=1-p。,设在 n次试验中出现的次数为r，则这样的组合数将有 ,而每个组合的概率是 ，所以事件发生r次的概率为,式中 正好是二项式系数，故称该随机事件发生的概率服从二项分布,二项分布的累积分布函数为 （2-1）由累积分布函数的性质可知 （2-2） 二项分布是离散型随机事件的一种分布 ，其均值和标准差分别为 （2-3）,P（r k）,由于工程问题中随机事件包含两种可能性情况(合格和不合格
4、、成功和失败，可靠与不可靠)者甚多，因此二项分布不仅用于产品的可靠性抽样检验，还用于可靠性试验和可靠性设计等各个方面。,如果某随机事件的不可靠度为:F（t）=p，可靠度R（t）=1F(t)=q ，则式（2-2）变为P（rk）=,（2-4）,二、泊松分布,泊松分布也是离散型随机变量的一种分布 ，它描述在给定时间内发生的平均次数为常数时事件发生次数的概率分布。,例如一部仪器上各种类型的缺陷数，铸件上的砂眼数，一段时间内设备发生的故障次数等。这些事件的共同特点是，知道发生的次数或个数，但是不知道它不发生的次数或个数。而对于二项分布，不但知道事件发生的次数，也知道不发生的次数。,泊松分布的表达式为 P
5、（X=r）= 式(2-5)表示事件发生r次的概率，其中 为事件发生次数的均值，它不随时间的变化而改变。,（2-5）,e,当试验次数n很大而每次试验事件发生的概率P很小时，泊松分布是二项分布很好的近似，一般当n20， P0.05，二者的近似性就已很好，即有近似公式,不难证明，泊松分布的均值和方差都是 ，其累积分布函数为 P（ rk）=,式中 =np,（2-6）,例21 今有25个零件进行可靠性试验，已知在给定的试验时间内每个零件的失效概率为0.02，试分别用二项分布和泊松分布求25次试验中恰有两个零件失效的概率。,解 已知n=25， =np=0.5，P=0.02 由二项分布Pn（Xr）= 0.0
6、220.9823=0.0754 由泊松分布P（Xr）= = =0.0758,可见两种分布计算的结果非常近似，而二项分布计算较烦，泊松分布计算则简单些。 但是应该指出，泊松分布不仅是二项分布的一种近似式， 就其本身而言也是可靠性学科中一个重要的分布。,三、正态分布,正态分布是一个基本的概率分布，也是最常用的一种概率分布。 正态分布在机械可靠性设计中大量应用，如材料强度、磨损寿命、齿轮轮齿弯曲、疲劳强度以及难以判断其分布的场合。,若产品寿命或某特征值有故障(失效）密度 (t0，0，0)则称t服从正态分布。,正态分布的概率密度函数和累积分布函数分别为：,（2-7）,（2-8）,x,正态分布可记为N(
7、 ， )，它是种对称的分布，其参数均值决定正态分布曲线的位置，表征随机变量分布的集中趋势，而标准差决定正态分布的形状，表征随机变量分布的离散程度 。,和,对正态分布曲线位置和形状的影响,则有： 不可靠度 可靠度 故障率,正态分布计算可用数学代换把上式变换成标准正态分布，查表简单计算,得出各参数值。,当 =0， =1时，称随机变量X服从标准正态分布，记作N（0， 1），其概率密度函数和累积分布函数为,F（Z）=,（2-9）,（2-10）,上式F(z)值可查标 准正态分布面积表,为了便于计算，经过变量置换，可将非标准正态分布,化为标准正态分布。,令 ， 代入式（2-8）得 或者P（ x1Xx2）,
8、（2-12）,（2-11）,=,可见，经变量置换后，式(2-7)和式(2-8)都成了标准正态分布形式，这样，非标准正态分布的累积概率值都可以看成是标准正态分布的累积概率值，即 (Z)曲线下面的面积F(Z)或 （Z）。由于正态分布的对称性，查表时请注意：1)附表1是与图a相应的标准正态分布面积表， F(Z)=1F(Z)。,2)标准正态分布面积表还有如图b、c、d所示的表示方法，显然图b中的面积等于图a中的1一F(Z)， 图c中的F(Z)+0.5等于图a的F(Z)， 图d中的面积除2加0.5等于图a中的F(Z) (图中的积分面积均以阴影表示)。,例2-2 有100个某种材料的试件进行抗拉强度试验，
9、今测得试件材料的强度均值=600MPa，标准差=50MPa求：(1)试件的强度均值=600MPa时的存活率、失效概率和失效试件数， (2)强度落在(550450)MPa区间内的失效概率和失效试件数； (3)失效概率为0.05(存活率为0.95)时材料的强度值。,解: （1）由附表1查得失效概率F（Z）=0.5 存活率 R（x=500）=1-F(Z)=10.5=0.5 试件失效数 n=1000.5件=50件（2）失效概率 P（450X550）= （2） （3）=0.0227500.0013499=0.0214 试件失效数 n=1000.0214件2件（3）失效概率F（Z）=0.05，存活率1F（
10、Z）=0.95。由附表1查得Z=1.64，由式Z= 可得1.64=材料的强度值为 x=518MPa。,在可靠性分析中，材料的强度、零件的寿命和尺寸等都可以用正态分布来拟合。由概率论的中心极限定理可知，当研究对象的随机性是由许多互相独立的随机因素之和所引起，而其中每一个随机因素对于总和影响极小时，这类问题都可认为服从正态分布，因此，正态分布应用较广。但是，正态分布是对称的，并且随机变量的取值是从到+。然而，有许多试验数据并不是对称的，而是倾斜的，或观察数据只能取正值而不能取负值，因此，正态分布和其它分布一样，也有局限性，在使用中应根据具体情况选择合适的分布。,四、对数正态分布,如果随机变量X的自
11、然对数y=1nx服从正态分布，则称X服从对数正态分布。由于随机变量的取值x总是大于零，以及概率密度函数(x)的向右倾斜不对称，见图,因此对数正态分布是描述不对称随机变量的一种常用的分布。材料的疲劳强度和寿命，系统的修复时间等都可用对数正态分布拟合，其概率密度函数和累积分布函数分别为,x0 (2-14),（2-13）,式中 和 为y=1nx的均值和标准差。,实际上常用到随机变量的中位值xm，它表示,对数正态分布的均值、标准差和中位值分别为,随机变量的中心值，,其定义为 P(Xxm)=P(Xxm)=0.50,（2-15）,（2-16）,（2-17）,由于y=1nx呈正态分布，所以有关正态分布的一切
12、性质和计算方法都可在此应用。只要令 ，便可应用标准正态分布表，查出累积概率F（Z），反之由F（Z）变可查出,五、威布尔分布,威布尔分布是一种含有三参数或两参数的分布，常用来描述材料疲劳失效、轴承失效等寿命分布的，由于适应性强而获得广泛的应用。,三参数威布尔分布的概率密度函数为,累积概率分布为,（2-18）,（2-19）,式中 为形状参数；为尺度参数； 为位置参数。,当 =0，则称为两参数威布尔分布。其概率密度函数和累积分布函数分别为,（2-20）,（2-21）,讨论三个参数对威布尔分布的影响：,形状参数 ，它影响分布曲线的形状，图210图212示出了形状参数对概率密度函数f(x)，可靠度R(t
13、)和失效率 (t)的影响情况。如果应用威布尔概率纸，把随机变量x和相应的F(x)在威布尔概率纸上描点时，可得出以不同卢为斜率的直线，所以形状参数 也称威布尔斜率。它是三个参数中最重要的具有实质意义的参数。,不同 值的威布尔分布 （ =1，=0）,图213给出了 不变而 取不同值时的威布尔分布曲线，可见 当改变时，仅曲线起点的位置改变，曲线的形状不变。当随机变量为零件寿命时， 表示开始发生失效的时间t, 即t= 之前发生失效的概率为零，因此也称为最小保证寿命。, =0, =0.5, = - 0.5, =1,f(t),t,不同 值的威布尔分布 （ =1， =2）,图214给出了 不变而 取不同值时
14、的威布尔分布曲线。由图可见，起始点相同 （ 不变)，分布曲线形状相似( 不变)，只是在横坐标轴方向上离散程度不同。,当随机变量为零件的工作时间t，若t= 则式(221)为F(t)=1-e-1=0.632零件的失效概率为63.2时之工作时间称为特征寿命。上述三个参数可通过试验获得随机变量的取值，用威布尔概率纸来确定，具体方法见文献。,三参数威布尔分布的数学期望和方差为 式中(x)为伽玛函数，可查伽玛函数表得到(x)值,2,(2-22),（2-23）,两参数威布尔分布的数学期望及方差为（2-24）,2,（2-25）,许多分布都可以看作是威布尔分布的特例，由于它具有广泛的适应性，因而许多随机现象，如
15、寿命、强度、磨损等，都可以用威布尔分布来拟合。指数分布可以看作是 、 的威布尔分布的一种特例，它描述了产品偶然失效期的寿命分布，此时失效率与时间无关，保持为定值。这一分布不仅广泛应用于描述电子产品的寿命分布，而且对某些机械系统(如飞机上的液压泵)，以及系统中一部分零件是新的，失效率较低；另一部分则是较老的，失效率较高，这类系统的寿命可用指数分布来描述。,若， =0，则式（2-18）的威布尔分布化 为（2-26） 令 ，可得 称为指数分布，可见指数分布是威布尔分布的特例。,由图212可见，当 1时，曲线表示失效随时间增加而递增的情况，即反映了耗损寿命期，老化衰竭现象。根据试验求得的值可以判断产品
16、失效所处的过程，从而加以控制。所以威布尔分布对产品的三个失效期都适用，而指数分布仅适用于偶然失效期。当2.7 3.7?时，威布尔分布与正态分布非常近似，若 =3.313，则为正态分布；当 =2， =0，则为瑞利分布。 由上面分析可知，许多分布都可以看作是威布尔分布的特例，由于它具有广泛的适应性，因而许多随机现象，如寿命、强度、磨损等，都可以用威布尔分布来拟合。,六、指数分布,指数分布的概率密度函数和累积分布函数分别为,式中 失效率，是指数分布的主要参数。,指数分布的可靠度为,（2-27）,（2-28）,（2-29）,常数,指数分布的均值和方差如下：,（2-30）,（2-31）,可以看出，当失效
17、率为常数时，可靠度服从指数分布，它的大小仅取决于工作时间。其平均寿命MTTF等于失效率的倒数。,指数分布具有下面性质,设某一产品已经工作了时间t0，考察其在继续工作期间t(从t0开始计时)的可靠度。R(t+t0)=P(Tt+t0|Tt0)= 上式表明，当产品的可靠度为指数分布时，执行某一次任务的可靠度与任务开始时前的工作时间无关。该式揭示了这样一个重要关系：当设备或系统的失效率为常数时，某一指定任务时间的可靠度与任务开始前所已积累的工作时间无关。 这就意味着，只要设备的失效率为常数，用新设备去替代已长时间工作的旧设备，并不能使可靠度有所增加。指数分布的这种特性称为“无记忆性”。 决定指数分布只
18、有一个参数 ，故指数分布为单参数分布。,2-2概率分布的应用,上面介绍了常用的理论分布的特点和适用性。为了对产品进行可靠性分析与设计，需要通过试验数据的统计推断，明确其分布和数字特征，但选择哪一种概率分布来拟合，则往往是比较困难的，其一是试验数据的有限；其二是分布类型往往与产品类型无关，而与作用的应力类型及失效机理和失效形式有关，有些分布，如威布尔分布、对数正态分布，伽玛分布，中间部分不容易分辨，只有在尾部才有所不同。因此某种分布能否较准碗地描述某一失效现象，也还有争议。当没有足够证据选择何种分布时，作为第一次尝试可假设某随机变量服从正态分布，对产品的寿命则假设服从威布尔分布，这已被许多领域的
19、大量应田证明是有效的。,表2-4各种概率分布的应用范围13 正态分布类型：应用范围：各种物理、机械、电气、化学等特性。试验事例：电容器的容量变化；铝合金板的抗拉强度；按月的温度变化；钢试件的穿透深度；铆钉头直径；某给定地区的电力消耗；电阻抗；气体分子速度；磨损，噪声发生器的输出电压；风速；硬度；发射弹药的膛内压力。,对数正态分布应用范围：寿命现象；事件集中发生在范围尾端的不对称情况，且观察的差异很大。试验事例：不同用户的汽车里程累计；不同用户的用电量；大量电气系统的故障时间，灯泡的照明强度；化学过程残余的浓度。,威布尔分布（两参数）应用范围：同于对数正态分布。也适用于产品寿命的早期、偶然和耗损
20、失效率随所测特性的增加而可能减小、增加或保持不变的情况。试验事例：电子管、滚动轴承、传动箱齿轮和其它许多机械和电气元件的寿命；腐蚀寿命；磨损寿命。,威布尔（三参数）应用范围：同于两参数威布分布。此外还适用于各种物理、机械、电气、化学等等特性，只是没有正态分布那样普遍应用。试验事例：同于两参数威布尔分布。此外还有电阻、电容、疲劳强度等。,指数分布应用范围：系统、部件等的寿命。对于无件，则适用于失效只是由于偶然的原因出现且与使用时间无关的情况；当设计完全排除了在生产误差方面的故障时，常常使用。试验事例：真空管失效寿命；在可靠性试验过程中探测不良设备的预期成本；雷达设备中使用的指示管的预期寿命；照明
21、灯泡、洗碗机、热水器、洗衣机、飞机用泵、发电机、汽车变速箱等的失效寿命。,二项分布应用范围：从一个次品率为P的大批量中抽出样本容量n中的次品数；一组y事件中出现x事件的概率，即涉及“过一不过”、“正品一次品”、“好坏”型的情况；抽样的结果不显著改变整批的比例。试验事例：一次装运的钢制零件中次品的检查；一生产批量中有缺陷轮胎的检查；有缺陷焊缝的确定；由一电源获得一瓦数电力的概度；一生产机器完成其功能的概率。,泊松分布应用范围：事件出现的次数可以测试，而事件不出现的次数不可能测试的情况。应用于在时间上随机分布的事件。试验事例：一工厂中机器出现故障的次数；一交叉路口处汽车的同进到达；在几处检查点大气中发现尘粒的次数；工厂中的人身事故；工程制图中的尺寸误差；一指定地区单位时间内的汽车事故；汽车交通；医院急诊；电话线路通信；长的带、线、链、棒等上面的一个疵点；轮胎爆裂；石块撞击挡风玻璃；一机翼上有缺陷的铆钉数；放射性衰变；发动机爆燃次数；金属板每码裂纹数。,本章结束谢谢！,
