1、新希望培训学校资料MATHEMATICS1个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) : : 姓名 阳丰泽 年级 高三 性别 男 教学课题 空间几何体的表面积和体积教学目标（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；重点难点课前检查 作业完成情况：优 良 中 差 建议_第 讲 空间几何体的表面积和体积知识点：多面体的面积和体积公式名称 侧面积( S 侧 ) 全面积(S 全 ) 体 积( V)棱柱 直截面周长l S 底 h=S 直截面 h棱柱
2、直棱柱 ch S 侧 +2S 底 S底 h棱锥 各侧面积之和棱锥 正棱锥 ch21S 侧 +S 底 S 底 h31棱台 各侧面面积之和棱台 正棱台 (c+c)hS 侧 +S 上底 +S 下底h(S 上底 +S 下底 +)下 底下 底 表中 S 表示面积，c、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h表示斜高，l 表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称 圆柱 圆锥 圆台 球S 侧 2rl rl (r1+r2)lS 全 2r(l+r) r(l+r) (r1+r2)l+(r21+r22)4R2V r2h(即 r2l) r2h31h(r21+r1r2+r22)3R3表中 l、 h 分别表示母线、高，
3、 r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2 分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。新希望培训学校资料MATHEMATICS2PABCDO题型 1：柱体的体积和表面积【例 1】一个长方体全面积是 20cm2，所有棱长的和是 24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 x cm、y cm、z cm、l cm依题意得： 4)(402zyx)(1由（2） 2 得：x 2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得 x2+y2+z2=16即 l2=16，所以 l=4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长
4、方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。【例 2】如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面 EB1C1 将三棱柱分成体积为 V1、V 2 的两部分，那么 V1V2= _ _。解：设三棱柱的高为 h，上下底的面积为 S，体积为 V，则 V=V1+V2Sh。E、 F 分别为 AB、AC 的中点，SAEF= S,V1= h(S+ S+ )= Sh434127V2=Sh-V1= Sh，V 1V2=75。5点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的
5、量建立比值得到结论即可。题型 2：锥体的体积和表面积【例 3】在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60 ，对角线 AC 与 BD 相交于点O，PO 平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ，求四棱锥 PABCD 的体积？解：（1）在四棱锥 P-ABCD 中，由 PO平面 ABCD,得PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，PBO=60。在 RtAOB 中 BO=ABsin30=1, 由 POBO，于是 PO=BOtan60= ，而底面菱形的面积为 2 。33四棱锥 PABCD 的体积 V= 2 =2。1点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角
6、及其平面角、棱锥的体积。新希望培训学校资料MATHEMATICS3题型 3：棱台的体积、面积【例 4】（1）如果棱台的两底面积分别是 S、S，中截面的面积是 S0，那么（ ）A B C2S 0SS DS 022SSS020（2）（1994 全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，则其体积为（ ）A32 B 28 C24 D203333解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为 A；（2）正六棱台上下底面面积分别为：S 上 6 226 ，S 下 6 4224 ，44V 台 ，答案 B。328)(3下下上上 Sh点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本
7、题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。题型 4：圆柱的体积、表面积及其综合问题【例 5】一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A B C D214121241解析：设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则由题设知 h=2r.S 全 =2r2+（2r） 2=2r2（1+2 ）.S 侧 =h2=42r2， 。答案为 A。侧全S点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。【例 6】如图 99，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球，水面高度恰好升高 r，则 =
8、。解析：水面高度升高 r，则圆柱体积增加 R2r。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积，因此有 r3=R2r。故4。答案为 。32rR32点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。题型 4：圆锥的体积、表面积及综合问题【例 7】（1）（2002 京皖春，7）在ABC 中，AB=2，BC=1.5 ，ABC=120（如图所示），若将ABC 绕直线 BC 旋转一新希望培训学校资料MATHEMATICS4周，则所形成的旋转体的体积是（ ）A B C D 29272523（2）（2001 全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的全面积是（ ）A3 B
9、3 C6 D9解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥 CADE 与圆锥 BADE 体积之差，又求得 AB=1。 ，答案 D。2312531ADEBCV（2）S absin， a2sin60 ，a 24，a2， a=2r， r1，S 全 2rr 22 3，答案A。点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。【例 8】如图所示，OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线， OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）A B C D3212121421解析：如图所示，
10、由题意知， r2h R2h，r 又ABOCAO，36R ， OA2r R ，OAr4,OAcos ，答案为 D。41点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。题型 5：球的体积、表面积【例 9】已知过球面上 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 ，求球的表,ABC 2ABC面积。解：设截面圆心为 ，连结 ，设球半径为 ，则 ，OR23OA在 中， ， ，RtA2221()R图图新希望培训学校资料MATHEMATICS5 ， 。43R2649SR点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。【例 10】如图所示，球面上有四个点 P、A、B 、C，如果 PA，P
11、B，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解析：如图，设过 A、B、C 三点的球的截面圆半径为 r，圆心为 O，球心到该圆面的距离为 d。在三棱锥 PABC 中，PA ，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a,AB=BC=CA= a,且 P 在ABC 内的射影即是ABC 的中心 O。2由正弦定理，得 =2r,r= a。60sin3又根据球的截面的性质，有 OO平面 ABC，而 PO平面 ABC，P、 O、O 共线，球的半径 R= 。又 PO= = = a，2dr2rPA23aOO=R a=d= ,(R a)2=R2 ( a)2，解得 R= a,32R36S
12、 球 =4R2=3a2。点评：本题也可用补形法求解。将 PABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径 R= a,下略。23题型 9：球的面积、体积综合问题【例 11】（1）（2006 四川文，10）如图，正四棱锥 底面的四个顶点PABCD在球 的同一个大圆上，点 在球面上，如果 ，则球 的表面积是（ ）,ABCDO163VOA B C D481216（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 ，求球的表面积和体积。6解析：（1）如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球PA,ABC的同一个大圆上，点 在球面上，PO
13、底面OABCD，PO=R， ， ，所以 ，2ABCDSR163PABCDV2163RR=2，球 的表面积是 ，选 D。16（2）作轴截面如图所示， ，6C2新希望培训学校资料MATHEMATICS6设球半径为 ，R则 22OC22(6)39 ，3 ， 。24S球 34VR球点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。【例 12】表面积为 的球，其内接正四棱柱的高是 ，求这个正四棱柱的表面积。314解： 设球半径为 ，正四棱柱底面边长为 ，则作轴截面如图，Ra， ，又 ，14A2Ca243R ， ， ，98A 奎 屯王 新 敞新 疆63576S
14、表题型 6：球的经纬度、球面距离问题【例 13】在半径为 的球面上有 三点， ，求球心到经过这三点的截面的1cm,BC12ABCcm距离。解：设经过 三点的截面为 ，,ABCO设球心为 ，连结 ，则 平面 ，O ， ，3214321A所以，球心到截面距离为 cm【例 14】在北纬 圈上有 两点，设该纬度圈上 两点的劣弧长为 （ 为地球半径），求5,AB,B24R两点间的球面距离。,AB解：设北纬 圈的半径为 ，则 ，设 为北纬 圈的圆心， ，45r24RO45 BAO ， ，2rR ， ， 中， ，ABrABC3所以， 两点的球面距离等于 , 3R点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线
15、距离，再求出这两点的球心角。新希望培训学校资料MATHEMATICS7【例 16】地球半径为 R，A、B 两地都在北纬 45线上，且 A、B 的球面距离为 ，求 A、B 两地经度的差.解：90 度1 半径为 R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A 324 B 38R C 3524R D 358R 2一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 cm，则球的表面积是（ ） 28cm 21c 216 20cm3 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84，则圆台较小底面的半径为（ ） A 7 6 5 4 棱台上、下底面面积之比为 1:9，则棱台的中截面分棱台成两部
16、分的体积之比是（ ）A 1: 27 7:19 5:165一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）新希望培训学校资料MATHEMATICS8A B C D 32324323246 RtC中， ,5A，将三角形绕直角边 AB旋转一周所成的几何体的体积为_ 7 等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是 S球 _ 正 方 体8 若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为 3,45，从长方体的一条对角线的一个端点出发，沿表面运动到另一个端点，其最短路程是_ 9 若圆锥的表面积为 a平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_ 10已知三棱锥 的各顶点都在一个半径为 的球面
17、上，球心 在 上， 底面 ，SABCrOABSABC则球的体积与三棱锥体积之比是 2ACr11已知：一个圆锥的底面半径为 ，高为 ，在其中有一个高为 的内接圆柱RHx（1）求圆柱的侧面积；（2）x 为何值时，圆柱的侧面积最大课后反思：新希望培训学校资料MATHEMATICS9课堂检测听课及知识掌握情况反馈_.测试题(累计不超过 20 分钟)_道；成绩_；教学需:加快;保持; 放慢;增加内容课后巩固 作业_题; 巩固复习_ ; 预习布置 _签字 教学组长签字： 学习管理师:老师最欣赏的地方：老师想知道的事情：老师课后赏识评价 老师的建议：教案空间几何体的表面积和体积参考答案新希望培训学校资料MA
18、THEMATICS101.解析：A 23312,24RrhVrhR2.解析：B 正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则 2，23,41RS3.解析： A (3)84,7rlr侧 面 积4.解析：C 中截面的面积为 个单位， 124691V5.解析：该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，圆柱的底面半径为 1，高为 2，体积为 ，四棱锥的底面边长为 ，高为 ，所以体积为 2332)(32所以该几何体的体积为 6.解析： 16 旋转一周所成的几何体是以 BC为半径，以 AB为高的圆锥，2243163Vrh7.解析： 设 33,4VRaR，3 3222222616,61SaVSV 正 球 8
19、.解析： 74 从长方体的一条对角线的一个端点出发，沿表面运动到另一个端点，有两种方案 2222(35)80,5(4)7或.9.解析： a. 设圆锥的底面的半径为 r，圆锥的母线为 l，则由 2lr得 l，而 2Sra圆 锥 表 ，即 233,a，即直径为 3a.10.解析：由题意，知 ， 在大圆上，线段 是球的直径，也是大圆的直OABSrABCAB径，故 ，CrrCAB 2)()2,902新希望培训学校资料MATHEMATICS11，三棱锥的体积为 ，221rBCASBC 3131rSOABC球的体积为 ，故球的体积与三棱锥的体积比为 34411.解析：（1）设内接圆柱底面半径为 r 圆 柱 侧 )(2 xHRxRxrS 代入 )0(2)(H圆 柱 侧（2） 4)2()(22 HxRxRS 圆 柱 侧.Sx圆 柱 侧 最 大时
