南航理论力学课件15.pdf

1、11理理论论力力学学第三部分第三部分动动力力学学第十五章虚位移原理2动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理第十五章 虚位移原理 151 约束及其分类 152 自由度 广义坐标 153 虚位移和虚功 理想约束 15-4 虚位移原理 15-5 以广义坐标表示的质点系平衡条件3动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理静力学：从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，研究刚体及刚体系统的平衡问题。本章：介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件 虚位移原理 。它是研究平衡问题的最一般的原理；将它与达朗贝尔原理相结合，可得求解动力学问

2、题的动力学普遍方程4动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理15-1 约束及其分类一、约束及约束方程约束： 限制质点或质点系运动的各种条件 。约束方程： 约束的限制条件以数学方程表示 。例如 ： 平面单摆222lyx =+5动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理曲柄连杆机构222ryxAA=+0 )()(222=+BABABylyyxx根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型：二、约束的分类1、几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为 几何约束 。如前述的单摆和曲柄连杆机构例子。6动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，称为运

3、动约束 。例如：车轮沿直线轨道作纯滚动约束条件与时间有关，并随时间变化时称为 非定常约束 。2、定常约束和非定常约束约束条件不随时间改变的约束为 定常约束 。前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。27动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理例如 ： 重物 M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长 l0, 匀速 v拉动绳子。x2+y2=( l0 -vt )2约束方程中显含时间如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）且这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而 不能将约束方程积分为有限形式 ，这类约束称为 非完整约束3、完整约束

4、和非完整约束8动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但可以经过积分运算化为有限形式，称为 完整约束 。非完整约束方程只能以微分形式表达。例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， 是微分方程，但经过积分可得到 （常数），该约束仍为 完整约束 。0= rxACrxA= 几何约束必定是完整约束 ，但 完整约束未必是几何约束 。非完整约束一定是运动约束 ，但 运动约束未必是非完整约束 。9动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为 双面约束 。4、单面约束和双面约束刚杆x2+y2=

5、l2绳x2+y2 l2只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为 单面约束 。双面约束 的约束方程为等式单面约束 的约束方程为不等式10动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理只讨论质点或质点系受 定常、双面、完整约束 的情况，其约束方程的一般形式为（ s为质点系所受的约束数目， n为质点系的质点个数）)s,j()z,y,x;z,y,x(fnnnj“21 0111=11动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理 15-2 自由度 广义坐标一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z ) 3个一个自由质点系在空间的位置： ( xi, yi, zi)(i=1,2n) 3n个对一个非自由质点系，受 s

6、个完整约束，（ 3n-s )个独立坐标。确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目 自由度数 。12动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理一般地，受到 s个约束的、由 n个质点组成的质点系，其自由度为通常， n 与 s 很大而 k 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的 k 个参数（相互独立），要比用 3n个直角坐标和 s个约束方程方便得多。snk = 3广义坐标：用来确定质点系位置的独立参数广义坐标：可以是线坐标（ x, y, z, s 等），也可以是角坐标（如 , , , 等）在完整约束情况下，广义坐标的数目等于自由度数目313动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理广义坐标

7、的选择不是唯一的 。例如 ： 曲柄连杆机构中，可取曲柄 OA的转角 为广义坐标，则： sinrycosrxAA= , 广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数 。0 , 222=+=BBysinrlcosrx 14动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理例如 ： 双摆，设只在铅直平面内摆动。两个自由度 , 取广义坐标 ， cosaysinax=11cosbcosaysinbsinax+=+=2215动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理一般地，设有由 n个质点组成的质点系，具有 k个自由度，取 q1、 q2、 、 qk为广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义

8、坐标的函数。)q,q,q(zz)q,q,q(yy)q,q,q(xxkiikiikii“212121=),2,1( ni “=)q,q,q(rrkii“21=16动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理 15-3 虚位移和虚功 理想约束在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发生的为约束许可的任意的无限小位移 ，称为质点系（在该瞬时）的 虚位移 。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常 用变分符号 表示虚位移 。M一、虚位移和虚功17动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理虚位移与真正运动时发生的实位移不同 ：在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。 而在非定常约束下，微小实位移不再是虚位

9、移之一 。 实位移 是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的； 虚位移 是在约束容许的条件下可能发生的。实位移 具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值； 虚位移 则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向 。 实位移 是在一定的时间内发生的； 虚位移 只是纯几何的概念，完全与时间无关。18动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系 , 确定这些关系通常有三种方法 ：(二 ) 虚速度法由运动学知，质点的位移与速度成正比，即dtvrd =因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。(一 ) 几何法由几何关系直接写出虚位移之间的关系。4

10、19动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理kkiiiikkiiiikkiiiiqqzqqzqqzzqqyqqyqqyyqqxqqxqqxx+=+=+=“221122112211),2,1( ni “=ir各质点的虚位移 在直角坐标上的投影可以表示为(三 ) 解析法kqqq ,21“质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（ q1,q2,qk），广义坐标分别有广义虚位移（变分）iirr=20动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理例 1 分析图示机构在图示位置时，点 C、 A与 B的虚位移(已知 OC=BC= a， OA=l ) 。解 ： 此为一个自由度系统，取 OA杆与 x 轴夹角 为广义

11、坐标 。法一 、sin21sin2=aaPBPCrrlarrBCAC21动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理0ysina2xsina2rcoslysinlxcosaysinaxlrarBBBAACCAC=22动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理将 C、 A、 B点的坐标表示成广义坐标 的函数，得0y,cosa2xsinlycoslxsinaycosaxBBAACC=, , 对广义坐标 求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：0ysina2xcosly,sinlxcosaysinaxBBAACC=,法二、23动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理zZyYxXrFW+=力 在质点发生的

12、虚位移 上所作的功称为 虚功 ，记为F rW24动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理二、理想约束如果在质点系的任何虚位移上，质点系的所有约束反力的虚功之和等于零，则称这种约束为 理想约束。质点系受有理想约束的条件：0= iiNrNW 理想约束的典型例子：1、光滑支承面0= rNWN525动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理2、光滑铰链0 =+ = rNrNWN3、无重刚杆0)( = +=CNrFNW 4、不可伸长的柔索5、刚体在粗糙面上的纯滚动26动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理 15-4 虚位移原理一、虚位移原理 = 0iirF 解析式：=+ 0)(iiiiiizZyYxX

13、具有 定常 、 理想约束 的质点系， 平衡的充分与必要条件是 ：作用于质点系的 所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零 。即27动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理 质点系处于平衡 选取任一质点 Mi也平衡。0=+iiNF对质点 Mi 的任一虚位移 ，有ir 0)( =+iiirNF 0)( = +iiirNF 0=+iiiirNrF 由于是理想约束= 0iirF = 0iirN 所以对整个质点系：证明：（ 1） 必要性：28动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理在 方向上产生实位移 ，取 ，则iR irdiirdr =0)( =+iiiiirRrNF 0)( + iiirNF 对

14、质点系：(理想约束下， ) = 0iirN 0 iirF 与前提条件矛盾故 时质点系必处于平衡 = 0iirF 0= iirF 即当质点系满足质点系一定平衡。(2) 充分性：若 ，而质点系不平衡，则至少有第 i个质点不平衡。0= iirF 29动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理二、虚位移原理的应用1、 求系统平衡时主动力之间的关系 ；2、 求系统的平衡位置 ；3、 求系统平衡时的约束反力；4、 求系统平衡的内力。30动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理例 1 图示椭圆规机构，连杆 AB长 l，杆重和滑道摩擦不计，铰链光滑，求在图示位置平衡时，主动力大小 P和 Q之间的关系。解 ： 研

15、究整个机构系统的所有约束都是完整、定常、理想的631动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理0)tg =ArQ(P 由 的任意性，得Ar tgQP=sin cosABrr =tgBArr =Ar使 A发生虚位移 ， B的虚位移 ，则Br0=BArQrP 32动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理或 : 由于系统具有一个自由度，可取 为广义坐标sinlycoslxAB=由于 任意，故 tgQP=0=BAxQyP 0)sincos( =+ lQPcoslysinlxAB= 33动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理例 2 杆 AB， CD由铰链 C连接，并由铰链 A和 D支承如图所示。铅垂力

16、F，力偶 M和水平力 Q，不计杆重。求平衡时各主动力之间的关系。解 ：给出 D点的虚位移 ：则相应的 C点虚位移：CrB点虚位移：BrCD杆的虚角位移：CD由虚位移原理：= 0FW则 ： 0=CDBDMrFrQ CDDrBrCrDraAMbaaCDBFQ34动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理而32Darb=brDCD =解得关系式：0223 =+ MbQaF?CDDrCraAMbaaCDBFQBr32BCrr =35动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理解 ： 这是一个具有两个自由度的系统，取角 及 为广义坐标，现用两种方法求解。例 3 均质杆 OA及 AB在 A点用铰连接，如图所示。

17、两杆各长 2a和2b，各重 P1及 P2，设在 B点加水平力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角 及 。由虚位移原理)( 021axFyPyPBDC=+ 解法一 ：36动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理)( 021axFyPyPBDC=+ 代入 (a)式，得：sinaycosayCC= 而sinbsinaycosbcosayDD=+=22cosbcosaxsinbsinaxBB22 22+=+=0)cos2sin()cos2sin2sin(221=+bFbPaFaPaP737动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理02221=+ cosaFsinaPsinaP2212tg22tgPF

18、PPF=+=由此解得：022=+ cosbFsinbP0)cos2sin()cos2sin2sin(221=+bFbPaFaPaP由于 是彼此独立的，所以 , 38动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理0sincos2= DBrPrF而brbrDB=2代入上式，得2222tgPFbPbF=解法二：先使 保持不变，而使 获得虚位移 ，得到系统的一组虚位移，如图所示。39动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理BDArrr =0sinsincos21= DCBrPrPrF而2CBDArarrra =代入上式后，得：22tg21PPF+=0)sin2sin2cos(21= aPaPaF图中再使 保

19、持不变，而使 获得变分 ，得到系统的另一组虚位移，如图所示。40动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理例 4 多跨静定梁，求支座 B处反力。解 ： 将支座 B 除去，代入相应的约束反力 。BR0211=+ mrPrRrPCBBBBCBBrmrrPrrPR+=21141动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理811211=BCBrrrr而mPPRB96118112121+=BBCBBrmrrPrrPR+=211961181112111216=BCBEBrrrrr42动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理例 5 滑套 D套在光滑直杆 AB上，并带动杆 CD在铅直滑道上滑动。已知 =0o时，弹簧

20、等于原长，弹簧刚度系数为5(kN/m)，求在任意位置（ 角）平衡时，加在 AB杆上的力偶矩 M ？分析：弹簧力是理想约束力吗？如何处理非理想约束力？843动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理解：研究对象为整个系统)(l mm300300600 , 00= 时D由虚位移原理，得：0 tgsec3.0)sec1(5.1 =+ Mcosl300600 , =角时)m( )sec1(3.00=ll)kN( )sec1(5.1)(0= llkFF gsec.sec.s t30s 30 =)mkN( cos)cos1(sin45.03=M44动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理研究对象：理想约束系

21、统非理想约束系统：如弹簧力、摩擦力，将其视为主动力处理应用虚位移原理求解步骤和要点：1、正确选取研究对象求理想约束反力：解除约束，代之以约束反力，并视为主动力处理逐步解除约束：一次解除一个约束，将约束反力视为主动力45动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理2、正确进行受力分析主动力，计入主动力的弹簧力、摩擦力和解除约束的约束反力3、正确进行虚位移分析几何法，解析法，虚速度法4、建立虚功方程5、求解方程46动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理47动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理 15 - 5 以广义坐标表示的质点系平衡条件1 以广义坐标表示的虚功方程0)(111=+=NkkkNkn

22、ikkiikiikiiFqQqqzZqyYqxXW),2,1(0 NkQk“=具有理想、定常、双面约束的质点系，在某一位置保持平衡的 充要条件 是，对应于每一广义坐标的广义力都等于零。48动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理=+=nikiikiikiikqzZqyYqxXQ1)(对应于广义坐标 qk的 广义力2 广义力的计算3) 将求出的虚功之和除以 qk。 计算广义力kQ 的步骤1) 令,0kq 其它的广义虚位移全为零；2) 计算 所有主动力 在这样一组虚位移上的虚功 之和 :kW=kQkkqW 949动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理解 ： (1)令例 3 均质杆 OA及 AB在

23、 A点用铰连接，如图所示。两杆各长 2a和 2b，各重 P1及P2，设在 B点加水平力 F 以维持平衡，求对应于广义坐标 及 的广义力。0,0 = sinb2sina2xcosbcosa2ycosayBDC+=+=50动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理sinb2sina2xcosbcosa2ycosayBDC+=+=cosa2xsina2ysinayBDC=)cosa2Fsina2PsinaP(xFyPyPWQ21BD2C1+=+=51动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理cosa2Fsina2PsinaP)cosa2Fsina2PsinaP(WQ2121+=+=(2)令0,0 = s

24、inb2sina2xcosbcosa2ycosayBDC+=+=52动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理cosb2xsinby0yBDC=sinb2sina2xcosbcosa2ycosayBDC+=+=cosb2FsinbP)cosb2FsinbP(xFyPyPWQ22BD2C1+=+=+=53动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理系统的势能仅仅是位置的函数，可表示为 :),;,(111 nnnzyxzyxVV “=也可用广义坐标表示为 :);,(21 nqqqVV “=,iixVX= ,iiyVY=iizVZ=当质点系所受的 主动力 都是 有势力 时，有广义力的公式为 :=+=nik

25、iikiikiikqzZqyYqxXQ1)(3 有势力的广义力54动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理,iixVX=,iiyVY=iizVZ=广义力的公式为 :=+=nikiikiikiikqzZqyYqxXQ1)(=nikiiqxxV1(kiiqyyV+ )kiiqzzV+=kQ即 :kqV),2,1( Nk “=当质点系所受的 主动力 都是 有势力 时，有1055动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理4 势能驻值定理系统的势能仅仅是位置的函数，可表示为 :),;,(111 nnnzyxzyxVV “=对势能求变分，有 :=V=niiixxV1( iiyyV+ )iizzV+另一方面，

26、由虚位移原理的解析形式 :=FW=+niiiiiiizZyYxX1)( 0=56动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理= FW,iixVX= ,iiyVY=iizVZ=当质点系所受的 主动力 都是 有势力 时，有=+niiiiiiizZyYxX1)( =V=niiixxV1( iiyyV+ )iizzV+另一方面，由虚位移原理的解析形式 :0=所以57动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理0=V得到 :即： 具有理想、定常、双面约束 ，且 所受的力均为保守力 的质点系，在某一位置保持平衡的 充要条件 是，系统在此位置的 势能 取 驻值 。5 最小势能原理由上面知道，质点系在平衡位置处，势能

27、取极值。下面就根据势能取极大值或极小值来判定 保守系统 的 平衡稳定性 。iixxV(= FWiiyyV+ )iizzV+V= 0=58动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理 在平衡位置处势能取极小值可见，当 势能 取极小值 时，平衡位置是 稳定的 。 在平衡位置处势能取极大值可见，当 势能 取极大值 时，平衡位置是 不稳定的 。59动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理 在平衡位置附近势能保持不变这是 随遇平衡 的情况，也是一种 不稳定 的平衡。所以：对于具有理想、定常、双面约束的 保守质点系 ，在所有满足约束条件的平衡位置中，只有使系统的 势能取 极小值 的平衡位置是 稳定的 。 最小势能原理 对于 一个自由度 系统，势能可表示为广义坐标 q 的一元函数 :)(qVV =60动动 力力 学学 /虚位移原理虚位移原理所以，取极值的条件（即平衡条件）为 :0dd=qV取极小值的条件（即稳定平衡的条件）为 :022qdVd 对于 多自由度 系统，可根据 多元函数极值 的确定方法来确定。