1、1/621理理论论力力学学第二部分第二部分运运动动学学第八章点的合成运动/622运动学 /点的合成运动第八章第八章 点的合成运动点的合成运动在前两章中研究点和刚体的运动时，总是把坐标系固结于地面，并认为地球固定不动。另一方面，在实际问题中，还常常要在相对于地球运动着的参考系上观察和研究物体的运动。一般说来，物体相对不同参考系的运动是不同的，它们之间存在一定的关系，此即本章研究的内容。/623运动学 /点的合成运动/624运动学 /点的合成运动/625运动学 /点的合成运动/626运动学 /点的合成运动本章将用 点的合成运动点的合成运动 的方法来研究这类问题。2/627运动学 /点的合成运动 8
2、-1 点的合成运动的概念点的合成运动的概念一、坐标系一、坐标系1.定坐标系 ：建立在固定参考物上的坐标系，简称 定系 。2.动坐标系 ：建立在相对于定系运动着的物体上的坐标系，简称 动系 。如：图中固结在地面上的坐标系 oxy。如：图中固结在汽车车厢上的坐标系 oxy注意：动系相对定系运动/628运动学 /点的合成运动二、动点二、动点动点动点 ：相对于定系和动系均有运动的点，本章就是研究动点相对于定系和动系运动的关系。如图中任选车轮上的一点 P作为动点。三、三种运动及三种速度与三种加速度三、三种运动及三种速度与三种加速度绝对运动绝对运动 ： 动点相对于定系的运动。如 P相对于地面的运动。相对运
3、动相对运动 ： 动点相对于动系的运动。如 P相对于车厢的运动。点的运动点的运动/629运动学 /点的合成运动牵连运动牵连运动 ： 动系相对于定系的运动。如行驶的车箱相对于地面的运动。刚体的运动/6210运动学 /点的合成运动绝对（加）速度绝对（加）速度 ：动点相对于定系的（加）速度，用 表示。 )(aaav牵连点 ： 动系上与动点重合的点问题：牵连点是否运动？相对（加）速度相对（加）速度 ：动点相对于动系的（加）速度，用 表示。 )(rrav牵连（加）速度牵连（加）速度 ： 牵连点 相对于定系的（加）速度，用 表示。)(eeav/6211运动学 /点的合成运动AB杆上的 A点动系： 凸轮定系：
4、 地面绝对运动： 直线相对运动：曲线（圆弧）牵连运动 ： 直线平移动点：/6212运动学 /点的合成运动A(在 AB杆上 )偏心轮 C地面直线圆周（ C）定轴转动动系：定系：绝对运动：相对运动：牵连运动 ：动点：3/6213运动学 /点的合成运动套筒 A摇杆 O1B地面圆周（ O）直线（沿O1B）定轴转动（绕 O1）动系：定系：绝对运动：相对运动：牵连运动 ：动点：/6214运动学 /点的合成运动套筒 A曲柄 OC地面圆周（ O1）直线（沿OC）定轴转动（绕 O）动系：定系：绝对运动：相对运动：牵连运动 ：动点：/6215运动学 /点的合成运动四、四、 运动方程及坐标变换运动方程及坐标变换坐标
5、变换：建立绝对、相对和牵连运动之间的关系。（ 1） 绝对运动方程 为：)(),( tyytxx =（ 2） 相对运动方程 为： )(),( tyytxx =（ 3） 牵连运动方程 为： )(),(),(ttyytxxoooo =坐标变换关系 ：+=+=cossinsincosyxyyyxxxoo以二维问题为例。定系 Oxy，动系 Oxy，动点 M/6216运动学 /点的合成运动例 1 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖 P沿水平轴 x作往复运动，如图所示。设 Oxy为定坐标系，刀尖的运动方程为 。工件以等角速度 逆时针方向转动。求车刀在工件端面上切出的痕迹。tsinax =要求 P相对工件的轨迹方
6、程动点： P动系：工件上的 Ox1y1定系： Oxytcosxx1=tsinxy1=解：Py1x1/6217运动学 /点的合成运动刀尖的相对轨迹方程()4a2ayx22121=+即：车刀在工件上切出的痕迹是一个半径为 的圆，该圆的圆心 C在动坐标轴 Oy1上，圆周通过工件的中心 O。2a点 P相对于工件的运动方程：t2sin2atcostsinax1 =)t2cos1(2atsinay21 =tcosxx1=tsinxy1=/6218运动学 /点的合成运动4/6219运动学 /点的合成运动 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理速度合成定理建立了动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系
7、:rrrOM+=OyzxxzyO)(MM MrOrrkzjyixr +=kzjyixkzjyixrdtrdvOMa+=nullnullnullnullnullnullnull/6220运动学 /点的合成运动OyzxxzyO)(MM MrOrrkzjyixkzjyixrdtrdvOMa+=nullnullnullnullnullnull即：即： 在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点度的矢量和，这就是点 的的 速度合成定理速度合成定理 。点的速度合成定理是 瞬时 矢量式 ，共包括大小 方向六个要素，已知任意四个要素，就能求出其
8、它两个。reavvv +=/6221运动学 /点的合成运动例 2 桥式吊车已知：小车水平运动，速度为 v1，物块 A相对小车垂直上升的速度为 v2。求物块 A的运动速度。/6222运动学 /点的合成运动选取 动点： A点动系： 小车定系：地面则绝对运动： 曲线 AA相对运动： 直线牵连运动： 直线平移解 ：reavvv +=由大小大小方向方向?v1v2作出 速度平行四边形 如图示，则物块的速度大小和方向为222122vvvvvvreaA+=+=121tgvv=/6223运动学 /点的合成运动/6224运动学 /点的合成运动例 3 曲柄摇杆机构已知： OA= r ， ， OO1=l，图示瞬时 O
9、AOO1求 ： 摆杆 O1B的角速度 1选取 动点： OA 上的 A点动系： O1B解：reavvv +=由大小大小方向方向?O1B 沿 O1B作出 速度平行四边形 如图示 r OA222221111222222221,sin,sinlrrlrrlrAOvAOvlrrvvlrreeae+=+=+=+=又（）5/6225运动学 /点的合成运动/6226运动学 /点的合成运动已知： OC e ，（匀角速度），图示瞬时，OCCA， 且 O， A， B三点共线。求：从动杆 AB的速度。eR 3=选取 动点： AB 上的 A点动系： 圆盘定系 ： 基座解：reavvv +=由大小大小方向方向OA ? O
10、ACA作出 速度平行四边形 如图示?沿 AB)(332332300= evetgvvABea例 4 圆盘凸轮机构/6227运动学 /点的合成运动求解合成运动的 速度问题 的 一般步骤一般步骤 为：1) 选取 动点 ， 动系 和 定系 ；2) 分析 三种运动 ；3) 分析 三种速度 ；4) 根据 速度合成定理 作出 速度合成平行四边形 ；5) 根据速度平行四边形，求出未知量。1 .动点、动系和定系必须 分别属于三个不同的物体 ;2 .动点相对动系的 相对运动轨迹 易于直观判断。恰当选择 动点 、 动系 和 定系 是求解合成运动问题的 关键：/6228运动学 /点的合成运动例 5 已知 : 凸轮半
11、径 r , 图示时 杆 OA靠在凸轮上。求：杆 OA的角速度。,30 , =v分析： 相接触的两个物体的 接触点位置都随时间而变化 ，因此两物体的接触点都 不宜选为动点 ，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的 非接触点为动点 。/6229运动学 /点的合成运动选取动点： 凸轮上的 C点动系： OA杆定系： 基座reavvv +=由大小大小方向方向OC ? OC/OA作出速度平行四边形如图示vrvvrrve6333212= vvvae33tg = （）,2sin rrOCve=又解：avevrv/6230运动学 /点的合成运动再分析例 4已知： OC e ，（匀角速
12、度），图示瞬时，OCCA， 且 O， A， B三点共线。求：从动杆 AB的速度。eR 3=选取 动点： 圆盘中心 C点动系： AB杆定系 ： 基座解：reavvv +=由大小大小方向方向OC ? OCCA作出 速度平行四边形 如图示?铅垂)(e332ve33230cos/vvAB0ae= 例 4 圆盘凸轮机构6/6231运动学 /点的合成运动 8-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理速度：圆盘匀角速度 ， M点以大小不变的相对速度 vr，则 M点的绝对加速度应是多少？加速度：分析一特例：reavvv +=aeraaa=+?/6232运动学 /点的合成运动选取 动点： 点 M动系： 圆盘定系
13、： 基座reavvv +=由大小方向R vr(常数）?常数=+=+=rreavRvvv 得即绝对运动也为匀速圆周运动，所以Rvaaa2=rrvRvR 222+=RvRr2)( +=/6233运动学 /点的合成运动另一方面Rvavrrr2, = 常数有（指向圆心 ）2Rae=（指向圆心 ）reaaaa + 还多出一项 2 vr2 vr是怎样出现的呢？它的物理意义是什么？（方向指向圆心 ）rravRvRa 222+=/6234运动学 /点的合成运动xzyOAArOrkOyzxAeAArdtrdv = ekrrOA+=)( krdtkddtrdOeO+=+OeOOrdtrdv= 由于kdtkde=
14、或 kke= nulliie= nulljje= null类似地先分析 对时间的导数k /6235运动学 /点的合成运动OyzxxzyO)(MM MrOrrkzjyixar+= nullnullnullnullnullnullkzjyixrdtrdaOMenullnullnullnullnullnullnullnull+=kzjyixkzjyixrdtvdaOaanullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull+=rrrOM+=kzjyixr +=kzjyixkzjyixrdtrdvOMa+=nullnullnullnullnul
15、lnullnullkzjyixkzjyixnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull +/6236运动学 /点的合成运动kzjyixkzjyixrdtvdaOaanullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull+=kzjyixkzjyixnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull +kzjyixkzjyixrO+=nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
16、)(2 kzjyixnullnullnullnullnullnull + )()()(2)(2 kzjyixkzjyixeee+=+ nullnullnullnullnullnullnullnullnull)(2 kzjyixe+= nullnullnullrev= 2reCva = 2Creaaaaa +=科氏加速度科氏加速度7/6237运动学 /点的合成运动加速度合成定理Creaaaaa +=reCva = 2科氏加速度科氏加速度reaaaa +=特例： 当 牵连运动为平移时，牵连运动为平移时， 故故0=e 0=Ca/6238运动学 /点的合成运动科氏加速度：), sin(2:rereCv
17、 va =大小方向：右手法则0), / ( 180 0 =Creav 时或当reCrevav 2), ( 90 =时当/6239运动学 /点的合成运动/6240运动学 /点的合成运动DABC点 M1的科氏加速度例 6 矩形板 ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动，点 M1和点 M2分别沿板的对角线 BD和边线 CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和计算点 M1 、 M2的科氏加速度大小 , 并标出方向。1v2v sin211vaC=点 M2 的科氏加速度02=Ca垂直板面向里 1ca解 ：)/( 2v/6241运动学 /点的合成运动例 7 已知： O1A r , , ， 1； 取 O
18、1A杆上 A点为动点，动系固结在 O2B上，试计算动点 A的科氏加速度。解：rCva =22rCrvav222 =reavvv +=根据 作出 速度平行四边形)sin(cos1 += rvvae1122cossin)sin(cossin)sin( +=+=rrAOvervarc212cos)22sin(2 += 方向：与 相同。ev)(90 +=null)cos(sin1 += rvvarB/6242运动学 /点的合成运动例 8 已知：凸轮半径求： =60o时 , 顶杆 AB的加速度。ooavR ,选取 动点： AB上的 A点动系： 凸轮解 ：reavvv +=由大小方向v0 ? CA作 速度
19、平行四边形 ，有?由于求加速度需 vr,故先求 vr。沿 ABsinervv =003260sinvvo=8/6243运动学 /点的合成运动naerrCaaa a a=+ + +大小方向?沿 ABa0? CA 沿 CA指向 CRvarnr2=n将上式投影到 n方向，得sinaa sin/)cos(nreaaaa =nraRvRvRvarnr34/)32(/ 20202=其中：cosea0/6244运动学 /点的合成运动nnullnull60sin/)3460cos(200Rva =整理得ABa=思考： 与静平衡方程的投影有何不同？ sin/)cos(nreaaaa =Cnrrneenaaaaa
20、aaaa +=+)38(33200Rvaaa=/6245运动学 /点的合成运动第八章 点的合成运动 小结1. 一点、二系、三运动reavvv +=3. 加速度合成定理Creaaaaa +=2. 速度合成定理2Cerav=一、概念及公式一、概念及公式/6246运动学 /点的合成运动1. 选择 动点 、 动系 和 定系2. 分析 三种运动3. 速度分析画出 速度平行四边形速度平行四边形4. 作 加速度分析画出 加速度矢量图加速度矢量图二、解题步骤/6247运动学 /点的合成运动1. 选择合适的动点、动系和定系 动点和动系不能选在同一刚体上； 若有始终接触的点，应选择始终接触的点为动点如：导杆滑块机
21、构中的滑块，凸轮导杆机构中导杆上与凸轮接触的点。2. 速度问题 ：几何法求解加速度问题 ：解析法求解三、解题技巧注意投影轴的选取！注意投影轴的选取！/6248运动学 /点的合成运动1. 牵连（加）速度： 牵连点牵连点 （加）速度；2. 作速度平行四边形时，要使绝对速度为平行四边形的 对角线对角线 ；3. 加速度分析时要分析 科氏加速度科氏加速度 ；4. 加速度矢量方程的投影是 等式两端的投影等式两端的投影 ，与静平衡方程的投影式不同。四、注意问题9/6249运动学 /点的合成运动已知： OA l ， = 45o时 、 。求：小车的速度与加速度。选取 动点： OA上的 A点动系： 滑杆解：rea
22、vvv +=由大小方向?水平 铅垂l OA例例 1 曲柄滑杆机构cosaevv = ll2245cos =null小车的速度)(vavevr/6250运动学 /点的合成运动naaerCaaa+=+大小方向l OAl2沿 OA指向 O? ?水平 铅垂cosaa=eal)(222 =将上式投影到 水平方向，得sinnaa)(null45coslnull45sin2l=eaaanaaeara小车的加速度0/6251运动学 /点的合成运动例例 2 凸轮机构 已知：凸轮半径为 R，图示瞬时 O、 C在一条铅直线上，av、 选取 动点： 凸轮上的 C点动系： OA杆解：reavvv +=由大小大小方向方向
23、? ?/OAv OC求 : 该瞬时 OA杆的角速度和角加速度。0=rv vvvae=vrvave/6252运动学 /点的合成运动OCve= ）（0=rv vvvae=sinsin/ RvRv=由加速度合成定理Crneeaaaaaa +=大小方向OC2?沿 OC指向 O /OAa? OC02= OCane其中：02 =rCva 2)sin(sin RvR= sin2Rv=araaneaea/6253运动学 /点的合成运动cosaa=eaOCae =转向 由上式符号决定， 0则，0 则向轴投影，得Crneeaaaaaa +=大小方向OC2?沿 OC指向 O /OAa? OC0= sinnea+co
24、seatgneaaa sin/sin2RRtgva =222sinsinRtgvRa =araaneaea/6254运动学 /点的合成运动已知 : 主动轮 O转速为 n=30r/min，OA=150mm 。图示瞬时 OAOO1。求 : 滑块 B的速度及加速度。(1)动点：轮 O上的 A点动系： O1D杆解：reavvv +=由大小方向? ?/ O1DOA OA O1D例 3 刨床机构vave vr10/6255运动学 /点的合成运动其中：=OAvam/s 15.03015.0 =nsinaevv =AOve11=m/s 503.0 =rad/s5515.0503.0 = ）（cosarvv =
25、 m/s 506.0 =ve vrva/6256运动学 /点的合成运动cosaaCrneeaaaaaa +=大小方向O1A21?沿 O1D指向 O1/ O1D2OA? O1Drv2 O1Dca向 方向投影得=Ca+ea506.05255215.02=ea22m/s 5518.0=AOae11 =222rad/s 256515.015518.0=）（eaaacaranea由加速度合成定理/6257运动学 /点的合成运动（ 2）动点： 滑块 B动系： O1D杆rBeBaBvvv +=由大小大小方向方向O1B1 ?/ O1D?水平 O1Dcos/ eBaBBvvv =tg =eBrBvvm/s 15
26、.0 =m/s 503.0 =vaBveBvrB/6258运动学 /点的合成运动由加速度合成定理CBrBneBeBaBaaaaa +=大小大小方向方向O1B21?沿 O1D指向 O1/ O1D?水平O1B1 O1DrBv12 O1D向 x方向投影得2 211m/s5536.0= BOaeB其中：221m/s 5506.0503.0522 =rBCBva=2222m/s 15.0552/)5506.05536.0( =aBBaa()cosaBaeBaCBaeBaaBacBarBaneBax/6259运动学 /点的合成运动已知：图示瞬时 ， h。求：套筒 O的，。av ,例 4 套筒滑道机构/62
27、60运动学 /点的合成运动选取动点： CD上的 A点 (亦即 AB上的 A点）动系： 套筒reavvv +=由大小方向?/OAv OAhvOAve2cos/ =sin ,coscosvvvvvrae=vavrve?解 ：（）11/6261运动学 /点的合成运动由加速度合成定理crneeaaaaaa +=大小方向OA2 ?沿 OA指向 O / OAa? OArv2 OA向 方向投影得caceaaaa +=coscos2sincos2hvaae= cos2sin2 2=hvvarc其中222cos)2sin(hvhaOAae= （）类似的情况aaearaneaca/6262运动学 /点的合成运动另
28、解 ：A点作直线运动tg=hxAh/)2sinxcosx(A2Anullnullnullnullnullnull=22sec cos /AAxhx h = =nullnullnullnull即代入图示瞬时的已知量，得2222cos)2sin( , coshvhahv=（） （）/6263运动学 /点的合成运动/6264运动学 /点的合成运动已知： 。求 : OA杆的 , 。avh ,选取选取 动点： BC上的 D点动系： OA杆解：reavvv +=由大小大小方向方向?沿 OAv OAcosaevv =例例 2 摇杆滑道机构cosv=vavevr/6265运动学 /点的合成运动ODve/=（）
29、cosaevv = cosv=)cos/(coshv=hv2cos=sinarvv = sinv=由加速度合成定理crneeaaaaaa +=大小方向OD2?沿 OA指向 O 沿 OAarv2 OA? OA2= ODanercva 2=22)cos(cos hvh =hv 32cos=sincos22vhv=其中：hv sincos222=aaraneaeacavavevr/6266运动学 /点的合成运动加速度矢量加速度矢量如图示。cosaacosaceaaa +=ODae = （）向 轴投影，得=eacacossincos222ahv+=2222cos2sincoshahv+=crneeaa
30、aaaa +=大小方向OD2?沿 OA指向 O 沿 OAarv2 OA? OAaaraneaeaca12/6267运动学 /点的合成运动(1)先先 取取 动点： O1A上的 A点动系： BCD定系： 基座解：EOAO21/已知： ；图示瞬时 。hrAO ,11=reavvv +=由大小大小方向方向? ?/BC作出 速度平行四边形速度平行四边形 如图示。1r O1A 水平sinaevv =例例 3 曲柄滑块机构求 : 该瞬时 O2E杆的 2。 sin1r=vavevr/6268运动学 /点的合成运动（ 2）再 取取 动点： BCD上的 F点动系： O2E杆定系：基座rFeFaFvvv +=由大小
31、大小方向方向? ?/O2E作出 速度平行四边形速度平行四边形 如图示。r1sin O2EsinFaFevv =FOveF22=）（21sinr=hrsinsin21=31sinhr=vaFveFvrF/6269运动学 /点的合成运动例 8 已知：凸轮机构以匀角速度 绕 O轴转动，图示瞬时 OA= r ， A点曲率半径 , 已知。求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。选取 动点： AB上的 A点动系： 凸轮解：由大小方向 r?n速度平行四边形如图示?沿 ABreavvv +=)(rvvveaAB= tg tg cos/ cos/ rvver=/6270运动学 /点的合成运动由加速度合成定理Cnneeaaaaaaarr+=大小方向2r ? n?沿 AB rvarnr2222cos/ =其中/2rv同 n0 cos/222rvarC=rv2与 n相反作出 加速度矢量图 ，并向 n 轴投影得cosnea= cos/)sec2/seccos(22222rrraaaAB+=)sec2/sec1(232 += rrcosaanra+Ca cos/ rvr=
