1、,自动控制原理,Principles of Automatic Control,主讲人： 谭思云,自动控制原理,2,系统（机械，电气， 过程等）,建模方法,机理或实验,数学模型,性能分析,稳定性、 动态性能、 鲁棒性等,若性能 不满足要求 对系统进行校正,校正方法（控制器设计方法）,滞后-超前、PID、LQ最优等,第4章 根轨迹法,自动控制原理,3,本章的主要内容,4.1 根轨迹的基本概念 4.2 （常义）根轨迹的绘制 4.3 广义根轨迹的绘制 4.4 控制系统的根轨迹分析法 4.5 用MATLAB绘制根轨迹,自动控制原理,4,本章的主要内容,4.1 根轨迹的基本概念 4.2 （常义）根轨迹的
2、绘制 4.3 广义根轨迹的绘制 4.4 控制系统的根轨迹分析法 4.5 用MATLAB绘制根轨迹,自动控制原理,5,1948年,W.R.Evans首先提出了求解系统特征方程式的根的图解方法-根轨迹法。,闭环极点在S平面上的分布位置,闭环控制系统的动态性能,一个或几个参量变化,系统的极点和系统性能的影响,三阶以上的系统,求特征方程式的根困难,4.1 根轨迹的基本概念,自动控制原理,6,一 根轨迹的概念,根轨迹法:系统某一参数变化时,绘制闭环系统特征方程的根在S平面的变化轨迹的图解方法。,根轨迹: 开环系统某一参数从零变到无穷时,闭环系统特征方程式的根在S平面上的变化轨迹。,根轨迹法的优点：,1：
3、从已知的开环零、极点的位置及某一变化参数来求取闭环极点的分布，即解决闭环特征式的求根问题。,2：系统的稳定性由系统闭环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态性能与闭环零、极点在S平面的位置密切相关。根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息，而且可以指明开环零极点应该怎样变化才能满足给定闭环系统的性能指标要求。,自动控制原理,7,闭环传递函数,特征方程式,解析法,全部闭环极点，标注在S平面上，连成光滑的曲线,根轨迹,0,-1,单位负反馈系统的开环传递函数为:,自动控制原理,8,根轨迹与系统性能,1、稳定性：,根轨迹不会进入S平面的右半平面,该系统对于所有的K都是稳定的,2、稳态性能：,型
4、系统,原点处有一个极点,根轨迹上的K值就是静态速度误差系数,3、动态性能：,其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程,特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。,特征方程为一对共轭复根，为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，超调量随K值的增加而加大.,自动控制原理,9,三：闭环零极点与开环零极点的关系,自动控制原理,10,自动控制原理,11,闭环系统根轨迹增益开环系统前向通路根轨迹增益,闭环零点开环前向通路传递函数的零点,闭环极点与开环零点、开环极点和根轨迹增益都有关。,根轨迹法的基本任务：如何由已知的开环零极点分布和根轨迹增益，通过图解的方法找出闭
5、环极点。,反馈通路传递函数的极点,自动控制原理,12,四：根轨迹方程,相角条件,模值条件,自动控制原理,13,相角条件,确定S平面根轨迹的充分必要条件,只有在需要确定根轨迹上各点K*的值时，才使用模值条件。,自动控制原理,14,4.2 根轨迹绘制的基本法则,将特征方程化为： 1+G(S)H(S)=0 如有必要，将另一乘积因子G(S)H(S)化为零极点（开环零极点）的形式，即,自动控制原理,15,法则1 根轨迹起于开环极点，终于开环零点,证明,根轨迹起于开环极点,根轨迹终于开环零点,大部分开环传递函数的极点多于零点，即nm，可以认为在s平面的无限远处有（n-m）个零点。若m n，必有（ m -
6、n ）个极点在s平面的无限远处。,1/K*,自动控制原理,16,法则2 根轨迹的分支数等于MAX(m,n)；它们是连续的 且对称于实轴。,根轨迹起于开环极点，终于开环零点,根轨迹的分支数等于MAX(m,n),由于闭环特征根的某些参数是根轨迹增益K的函数，,连续变化时，特征方程的某些参数也随着,连续变化，所以特征根也是连续变化的。,闭环特征根只有实数和复数根，所以根轨迹（根的集合）对称于实轴。,自动控制原理,17,法则3 根轨迹将沿一组渐近线趋向于无穷远处的 开环零点。,这组渐近线与实轴的交角为a, 中心点为a （交点为实轴上的点）。,当零点的个数m小于极点的个数n时,系统将有N=n-m条根轨迹
7、的分支趋向于无穷远处的零点。当K趋向于无穷大时，这些根轨迹的分支将沿一组渐近线趋向于无穷远处的开环零点。,自动控制原理,18,这组渐近线在实轴上的中心点为：,渐近线与实轴的交角分别为,自动控制原理,19,法则4 实轴上的根轨迹段。若实轴上某一右边的开环零点 和极点个数之和为奇数，则该实轴段为根轨迹段。,s0点左边开环实数零极点到s0点的向量相角为0, s0点右边开环实数零极点到s0点的向量相角均为, s0位于根轨迹上的充要条件是下列相角条件成立:,设s0为实轴上的某一测试点,共轭复数零、极点到实轴上的任一点的向量相角之和为2.,自动控制原理,20,与- 代表相同角度,于是上式条件可写成:,式中
8、(2k+1) 为奇数. 得证。,j：s0点之右所有的开环实数零点到s0点的向量相角和, i ：s0点之右所有的开环实数极点s0点的向量相角和.,自动控制原理,21,z1,z2,z3,p1,p4,p3,p2,j,0,自动控制原理,22,例 给定单位反馈系统的特征方程为,解:,o,绘制根轨迹的草图,确定增益K对闭环根的影响。,S平面上的开环极点和零点以及实轴上的根轨迹段如图所示。,开环零极点在S平面的分布图,实轴上的根轨迹段,j,-4,-1,-2,0,自动控制原理,23,渐近线与实轴的交角分别为,渐近线有2条(3-1),其交点为,o,j,-4,-1,-2,0,-2.5,自动控制原理,24,法则5
9、根轨迹的分离角和分离点,两条或两条以上的根轨迹分支在S平面相遇又立即分开的点成为根轨迹的分离点.因为根轨迹是对称的,所以分离点在实轴上或以共轭形式出现在复平面中。,根据相角条件,在同一分离点分离的各条根轨迹分支,它们的切线将均分360度。2条根轨迹在分离点相隔180度,4条根轨迹在分离点相隔90度。,分离点的坐标为:,自动控制原理,25,自动控制原理,26,与实轴的交角为,例 某反馈控制系统,其特征方程为,解:极点数为3,零点数为1,根轨迹有两条渐近线,中心点,渐近线与实轴上的根轨迹段如图所示。,o,j,3,0,2,1,2.46,自动控制原理,27,法则6,应用相角条件,确定根轨迹在极点处的出
10、射角(起始角)和到零点处的入射角(终止角),设出射角为pi,入射角为zi, 系统有m个零点,n个极点,自动控制原理,28,法则7,根轨迹与虚轴的交点,如果根轨迹通过虚轴,则应用Routh-Hurwitz判据,可以很容易确定出根轨迹与虚轴的交点。,也可令闭环特征方程中s=j,然后令其实部和虚部等于零，求出相应的K值和值,求出相应的K值和值,自动控制原理,29,例:4阶系统的特征方程如下,希望绘制K0且不断变化 时的根轨迹图.,解: (1)系统的特征方程已知,(2) 确定系统开环零极点,有,可见,当K从0到无穷大时,该系统没有有限的开环零点。,自动控制原理,30,(7)系统有4条渐近线,渐近线与实
11、轴的交角为:,渐近线中心点为,(3)极点在S平面的位置。,(4)实轴上的根轨迹。,(5)因为极点数为4,故有4条根轨迹。,(6)根轨迹关于实轴对称。,j,0,-4,-4+j,-4-j,-3,自动控制原理,31,(8)确定根轨迹在实轴上的分离点.,(9)复极点p1=-4+j4处的出射角,复极点p2=-4-j4处的出射角,自动控制原理,32,s4 1 64 K s3 12 128 s2 53.33 K s c1 s0 K,将特征方程改写为,（10）根轨迹与虚轴的交点,自动控制原理,33,0,3,1.6,4,-4-j,4+j,j,自动控制原理,34,n=1;d=1,12,64,128,0; rloc
12、us(n,d),自动控制原理,35,例 给定单位反馈系统的特征方程为,o,绘制根轨迹的草图,确定增益K对闭环根的影响。,S平面上的开环极点和零点以及实轴上的根轨迹段如图所示。,解:开环零极点在S平面的 分布图,实轴上的根轨迹段,j,-4,-1,-2,0,自动控制原理,36,渐近线与实轴的交角分别为,渐近线有2条(3-1),其交点为,o,j,-4,-1,-2,0,自动控制原理,37,分离点(-4,-2),自动控制原理,38,n=1,1; d=1,6,8,0; rlocus(n,d),自动控制原理,39,例: 开环传递函数,试绘制该系统的概略根轨迹,自动控制原理,40,0,-1.5,-2+j,-2
13、-j,-0.5+j1.5,-0.5-j1.5,-2.5,自动控制原理,41,n=1,5.5,11,7.5; d=1,3.5,5,6.25,0; rlocus(n,d),自动控制原理,42,法则8,根之和,当n-m2时，特征方程第二项系数与K无关，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和,说明：当开环增益K增大时，若闭环某些根在S平面向左移动，则另一部分根向右移动。该法则对判断根轨迹的走向是很有用的。,自动控制原理,43,根轨迹示例1,自动控制原理,44,根轨迹示例2,j,0,自动控制原理,45,4.3 广义根轨迹,参数根轨迹,以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹,广义根轨迹,零度根轨迹,如
14、果研究的控制系统为非最小相角系统(S右半平面具有开环零极点的控制系统),此时绘制的根轨迹为零度根轨迹.,常规根轨迹:以系统开环增益K由零变化到无穷大时的根轨迹。,广义根轨迹:除开环增益K以外其他情形下的根轨迹,自动控制原理,46,参数根轨迹,以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹,绘制参数根轨迹的步骤和绘制常规根轨迹的步骤完全相同,只要在绘制参数根轨迹之前引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念,则常规根轨迹的所有绘制法则均使用于参数根轨迹的绘制。即,A为除K外的系统任意变化参数,而P(s) 和Q(s)为两个与A无关的首一多项式.则等效的开环传递函数为,绘制的根轨迹就是参数A变化时的参数根轨迹.,自
15、动控制原理,47,如：某系统的开环传递函数为,试绘制该系统的根轨迹,解：,自动控制原理,48,a增加,阻尼系数增加,过渡过程加快,=cos ts=3.5/|,自动控制原理,49,系统1,例46：分析Td对系统性能的影响，并比较系统2和系统3在具有相同阻尼比0.5时的有关特点。,自动控制原理,50,系统1,系统2,系统3,自动控制原理,51,系统2和系统3闭环极点相同，但闭环零点不同。,系统2和系统3的闭环特征方程：,等效开环传递函数,自动控制原理,52,-0.5 + 0.87j Td= 0.8,-0.5- 0.87j Td= 0.8,600,Td增加,阻尼系数增加,过渡过程加快，增加,自动控制
16、原理,53,n=5;d=5,1,5; t1=0:0.1:15; y1=step(n,d,t1); d1=5,5,5; y2=step(n,d1,t1); n1=4,5; y3=step(n1,d1,t1); plot(t1,y1,-r,t1,y2, -g,t1,y3),grid,1、速度反馈及微分控制增加阻尼比； 2、微分控制比速度反馈控制增加一个闭环极点，响应速度快,系统1,系统2,系统3,自动控制原理,54,先研究的影响,再研究 的影响 .,为了同时研究2个参数的影响,需要研究不同的根轨迹.含有()的特征方程一般形式为,例,含有的3阶系统特征方程:,研究两个参数的同时影响,自动控制原理,5
17、5,当=0时,研究当从零变到无穷大时,对系统的影响,当从零到无穷大时,根轨迹由下式确定,即,自动控制原理,56,在了解了的影响的基础上,选择不同的值来研究的影响。具体步骤如下:1) 首先求得以为可变参数根轨迹,并确定与合适的闭环根对应的值.2) 在取定后,求得以为可变参数的根轨迹,并最终确定的取值。 这种参数设计方法法的局限性:参数必须以线性方式影响特征方程的系数。,自动控制原理,57,例 设计能精确定位焊接头的自动控制系统,应满足下面的规格要求:1.对斜坡输入响应的稳态误差斜坡幅值的30%.2.主导极点的阻尼比0.7073.按2%准则的调节时间3s,其中放大器增益K1和微分反馈增益K2为待选
18、定的参数,自动控制原理,58,解：,为了获得较小的稳态误差,应选择较小的K2,自动控制原理,59,主导极点的阻尼比0.707,系统的闭环特征根应位于S平面的左半平面, 45线之间.,j,0,按2%准则的调节时间3s,主导极点实部的绝对值应满足:,所以系统的根应落在图中阴影部分中,自动控制原理,60,设待定参数,特征方程为,变化(=0)时的根轨迹取决于方程：,则特征方程为,自动控制原理,61,变化(=0)时的根轨迹,自动控制原理,62,=20,参数=20K2变化时的根轨迹则取决于,自动控制原理,63,只要增加设计步骤,基于根轨迹的参数设计就能用于设计2个以上的系统参数,进一步绘制根轨迹簇,可以了
19、解2个参数同时变化时对系统的总的影响.,Rlocus(n,d) Rlocfind(n,d),自动控制原理,64,如何确定阻尼线与根轨迹的交点？,设,45o阻尼线说明：,-,自动控制原理,65,来源: (1)系统中包含S最高次幂的系数为负,是由于被控对象如飞机,导弹的本身特性所产生,或在系统结构图变换过程中产生。(2)控制系统中本身包含有正反馈内回路,是由于某种性能指标要求使得系统必须包含正反馈内回路。,零度根轨迹,定义:如果研究的控制系统为非最小相角系统(S右半平面具有开环零极点的控制系统), 此时绘制的根轨迹为零度根轨迹。,自动控制原理,66,以正反馈系统为例,说明零度根轨迹的绘制方法.为了
20、分析整个控制系统的性能,首先要确定内回路的零极点.当用根轨迹法确定时,就相当于绘制正反馈系统的根轨迹.正反馈系统的根轨迹方程为：,绘制零度根轨迹时,只是对常规根轨迹的有关相位的法则进行调整,其他不变。,相角条件,幅值条件,自动控制原理,67,绘制零度根轨迹的基本法则,自动控制原理,68,绘制零度根轨迹的基本法则,4n-m条渐近线对称于实轴,起点,自动控制原理,69,绘制零度根轨迹的基本法则,4n-m条渐近线对称于实轴,起点,6,根轨迹的分离点,自动控制原理,70,法则3：若实轴上某一右段的开环零极点个数之和为偶数,则该实轴为根轨迹段。,法则4：渐近线与实轴的交角为,法则5：根轨迹的出射角和入射
21、角的计算公式,自动控制原理,71,1：附加零点的影响,x,x,x,x,-0.5,-0.58,增加开环零点使根轨迹向左半平面弯曲,附加零极点对根轨迹的影响,自动控制原理,72,2：附加极点的影响,x,x,-0.5,自动控制原理,73,增加开环极点使根轨迹向S右半平面弯曲，不利于系统的稳定,自动控制原理,74,因为分合点处的k=4.4，根轨迹与虚轴的交点处的k=8.16，所以，当k=4时，系统有一对共轭复根，还有两个分别在分合点左边和右边的实极点。经过几次试探，找到满足幅值条件的两个实极点-2，-2.52。用长除法可以得到另外两个共轭复根 。因为系统的开环传递函数没有有限零点，所以，闭环传递函数也
22、没有有限零点。 K=4时系统的闭环传递函数为,4.4 控制系统的根轨迹分析法,例4.4 已知系统的开环传递函数为,系统的根轨迹如图4.3所示，试确定 时系统的闭环传递函数。,下面举例说明用根轨迹确定系统的闭环极点，从而分析系统性能。,自动控制原理,75,自动控制原理,76,4.5 用MATLAB绘制根轨迹,MATLAB中专门提供了绘制根轨迹的有关函数。 p,z=pzmap(num,den)的功能是绘制连续系统的零极点图。 r,k= rlocus (num,den) 和r,k= rlocus (num,den,k)的功能是绘制根轨迹图。 r,k= rlocus (num,den)是绘制k=0部分的根轨迹。系统自动确定坐标轴的分度。如果用户需要设置坐标的范围，只要在程序中加上指令：v=-x, x, -y, y; axis(v)。如果要以给定的参数范围绘制根轨迹，则执行命令k,poles= rlofind (num,den,p)。 k,poles= rlofind (num,den) 和k,poles= rlofind (num,den,p)的功能是确定根轨迹上poles处的根轨迹放大系数的值。,自动控制原理,77,例4.5 用MATLAB绘制例4.1的根轨迹图。,键入：,键入回车键，可得如图4.4 所示根轨迹图。,
