1、第5章 抽样分布与参数估计,总体？ Population?,统计推断,估计与检验Estimates & tests,推断过程 Inference Process,总体Population,样本 Sample,在统计学研究中存在着三种分布 样本分布：实际所观察到的资料的分布。 总体分布：如二项分布和正态分布，通常用数学模型来描述，是一种理论分布。 抽样分布：即统计量的概率分布。从一个总体中按样本一定大小抽出所有可能的样本，由这些样本所得的统计量而形成的一种概率分布。,抽样分布 统计数分布,抽样分布的形成过程 (sampling distribution),5.1 样本平均数分布,设有一个X变量的
2、总体，即原总体，其平均数为，标准差为。从这个总体中随机取样含量为n的样本，从每一个样本都可以计算出该样本的 平均数 ，即 有 ，这许多个样本平均数就构成了一个变量的总体。 样本平均数总体变量的平均数是 ，标准差是 .,例1：在掷骰子试验中，样本原总体N=6，其所有的样本空间为X=1,2,3,4,5,6，则该总体有如下均匀的分布和特征数参数：,X,当抽样样本容量n=2时，即当掷骰子2次时，其相应的组合如下表：,当n=2时平均数 的抽样分布,Pi,例2：假定一个有限总体指3个一平方米抽样单位中的蛴螬数，观察值为2，4，和6头。倘若从这一总体内抽出所有可能的样本，而每个样本只有一个观察值，则可能出现
3、的数目为2，4，6，样本平均数亦为2，4，6。,例2：如果每个样本有2个观察值，即n=2，这时抽出的所有可能样本数目就有32 = 9个，这9个样本得到的平均数如下表：,例2：4种不同容量的样本平均数( )的抽样分布表,不同容量时的 分布及参数,样本平均数分布的基本性质,从同一总体抽出的具有相同容量的所有可能平均数分布，其平均数等于该总体平均数 即样本平均数分布的方差等于总体方差除以样本容量n，即因此样本平均数的标准差是原总体样本的标准误。,样本平均数分布的基本性质,从一个正态总体中抽样，无论样本容量大小，其样本平均数分布都遵循正态分布。 从不是正态分布的同一总体抽出的、具有相同容量的所有可能样
4、本，随样本容量n的增加，其平均数分布逐渐趋向于正态分布，当样本容量n30时逼近正态分布。中心极限定义,样本平均数分布的基本性质,由于平均数分布在样本容量n30时逼近正态分布，因此在计算样本平均数出现的概率时，样本平均数可按下式进行正态标准化：,正态分布再生定理: 当总体为正态概率分布时，对任何容量样本，样本均值x的抽样分布服从均值x =, 标准差x =/n 的正态分布,1. 从正态总体抽样Sampling from Normal Populations,抽样分布定理Sampling Distribution Theorem,m = 50,s = 10,x,从正态总体抽样Sampling fro
5、m Normal Populations,m,X,= 50,x,n =16 X = 2.5,n = 4 X = 5,总体分布,抽样分布,又称“大样本定理”，当样本容量n足够大(n60)，无论总体是什么分布，样本均值x的抽样分布将趋于均值为、标准差为/n的正态分布,中心极限定理 Central Limit Theorem,在实践中，总体的分布往往未知，因此该定理的应用十分广泛,2.从非正态总体抽样 Sampling from Non-Normal Populations,x,若样本容量足够大(n 60),抽样分布趋于正态分布,中心极限定理 Central Limit Theorem,中心极限定理
6、对三个总体的图示,中心极限定理对三个总体的图示,标准差和标准误的区别： 标准差（standard deviation）：样本内变员数 偏离样本平均数 的程度的指标。标准误（standard error）即样本平均数的标准差：样本平均数 偏离总体平均数 的程度的指标。,例3,据调查，5060岁的成年男性血液中平均胆固朜浓度为200mg/dl，标准差为20mg/dl。假设血液胆固朜浓度测量符合正态分布。求： 1) 随机从该年龄段挑选一人，其血液胆固朜浓度低于250mg/dl的概率？ 解：将以上数据转化为标准正态即在5060岁的成年男性中，99.38的人血液胆固朜浓度低于250mg/dl。,例3,2
7、) 随机从该年龄段挑选一人，其血液胆固朜浓度高于225mg/dl的概率？ 解：将以上数据转化为标准正态即在5060岁的成年男性中，10.56%的人血液胆固朜浓度高于225mg/dl。,例3,3) 从该年龄段以100人为取样单位，求其血液胆固朜平均浓度低于204mg/dl的概率？ 解：由于所求的是样本平均数的抽样分布，其,例3,4) 如果25个老人在严格控制饮食后，其血液胆固朜平均浓度为188mg/dl，分析饮食控制能否显著降低血液胆固朜浓度，并解释之。解：即在不控制饮食的情况下，25个人血液胆固朜平均浓度低于188mg/dl的概率仅为0.13%，说明饮食控制能否显著降低血液胆固朜浓度。,统计量
8、t的分布是William Sealy Gosset（1908)提出的。当时W. S. Gosset在一家名为Guinness的酒厂工作，他发现当时人们的数学知识似乎不能解决诸如样本的标准离差等问题，Gosset从弄乱的卡片中抽样、计算并累积经验的频数分布，所得结果发表于Biometrika（1908），署名“Student”。今天“Student t”成为数理统计学的基本工具；“Student化“（Studentize）在数理统计学中是个常见的形容词。,5.2 统计量t的分布,5.2.1 t值的定义,尽管原总体X为正态， 总体亦为正态，从而u分布为正态，但t-分布却不一定为正态，因为t值公式中
9、有2个统计量 和S在变动。,5.2.2 t -分布的密度函数式：,5.2.3 t-分布的特征 1)是左右对称的一系列曲线，围绕平均数向两侧递降。 2)t分布受自由度df=n-1的制约，每个自由度都有一条t分布曲线。 3)和正态分布相比， t-分布的顶部偏低，尾部偏高。当n30特别是n60时，t-分布逼近正态分布，当df趋向无穷大时，t-分布与正态分布无异。,和正态分布一样，t分布曲线与横轴所围成的面积也等于1，t落于区间-t0.05,+t0.05内的概率为0.95， t落于区间-t0.01,+t0.01内的概率为0.99，其中t0.05、 t0.01叫做置信度为5%和1%的t临界值。 各种自由
10、度下的临界值，可从附表 C2(P222)查到。,5.2.4 关于 t 值表(表 C-2) 设t-分布曲线两尾部分的面积与曲线下全部面积的比率为，即 为双尾面积之和。不同自由度的t-分布，曲线两尾的的高低是不同的。,当n增大时，t-分布趋向标准正态分布，所以在 t 值表中， 一行和正态分布的数据一样。一般当df30时，不必查 t 值表，可用正态近似处理，即采用 和 这两个值。,2分布是统计学中一种连续型随机变量的概率分布。,5.3 2 -分布,设有一平均数为、方差为2的正态总体。现从此总体中独立随机抽取n个随机变量：x1、x2、xn，并求出其标准正态离差： ， ， ，,5.3.1 2 -分布的定
11、义,记这n个相互独立的标准正态离差的平方和为2 ：它服从自由度为n的2分布，记为 2 (n)；,若用样本平均数 代替总体平均数，则随机变量服从自由度为n-1的2分布，记为,5.3.2 -分布的概率密度函数和累积分布函数：,2,5.3.3 2分布的特征： x2分布于区间0,+,并且呈反J形的偏斜分布。 x2分布的偏斜度随自由降低而增大，当自由度df=1时，曲线以纵轴为渐近线。 随df的增大， x2逐渐左右对称，当df30时，已接近正态分布。,3.84,6.63,P0.05的临界值,5.3.4 2分布的形状,2,5.3.4 关于 2值表-表 C3(p223):为各种自由下的2分布的一尾(右尾)概率
12、。例如当df=2时， 查得20.05=5.99， 20.01=9.21,5.4.1 F-分布的定义,5.4 F-分布,上述一系列的F值便符合df1=n1-1，df2=n2-1的F-分布：,不同自由度的F分布曲线图,F-分布的形状由自由度df1、df2决定。F-分布的尾部概率（单尾）一般也取二个值： =0.05、 =0.01。临介值F 由df1、df2和决定，不必计算，查表C4（P224229）即可。,大均方（小自由度）,小均方(大自由度),F = S12/ S22,df1：顶标目,df2：左方标目,表C4（P224229）,5.4.4 关于 F值表,例如当df1=4 df2=10时， 查得F 0.05(4,10) =3.48， F 0.01(4,10) =5.99,
