1、 7.4 常系数线性差分方程的求解北京邮电大学电子工程学院陈智娇第2页BUPT 尹霄丽解法1.迭代法3.零输入响应 +零状态响应（类比连续系统）利用卷积和求系统的零状态响应2.时域经典法：齐次解 +特解（类比连续系统）4. z变换法 反变换 y(n) （第八章）第3页BUPT 尹霄丽一迭代法解差分方程的基础方法 ,差分方程本身是一种 递推 关系， 0 0 0 . 9 1 1 1n y y 1 1 0 . 9 0 1 1 . 9n y y 2 2 0 . 9 1 1 2 . 7 1n y y 3 3 0 . 9 2 1 3 . 4 3 9n y y 由递推关系 ,可得输出值： 01 , 1 .
2、9 , 2 . 7 1 , 3 . 4 3 9 ,nyn 0 . 9 1 1 0 ,y n y n u n y 已 知 ， 且 求 解 方 程 。例 7-4-1 yn 解 析 式 ,但 得 不 到 输 出 序 列 的 适 合 利 用 计 算 机 求 解 。第4页BUPT 尹霄丽编程实现% iteration_demo.m% zero stateclearN=50;a=0.9;n=1:N;x=ones(1,N);y(1)=x(1);for ii=2:Ny(ii)=a*y(ii-1)+x(ii);endhh=stem(n-1,y);set(hh,LineWidth,2);xlabel(n);yla
3、bel(y(n);第5页BUPT 尹霄丽结果显示0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50012345678910ny(n)第6页BUPT 尹霄丽例 7-4-2（迭代法示例）INRI某 人 因 购 房 向 银 行 贷 款 ， 当 前 的 贷 款 月 利 率 为 ， 还 款期 限 为 个 月 ， 采 用 等 额 均 还 方 式 ， 每 月 还 款 金 额 为 。(1) 请 按 照 上 述 规 定 建 立 差 分 方 程 式 描 述 还 款 过 程 。(2) 若 贷 款 金 额 为 70 万 元 ， 当 前 贷 款 年 利 率 为 6.55%1（ 5 年 以 上 ） = 6 .
4、5 5 % ， 月 还 款 额 为 5000 。 请 计 算12还 款 期 限 ， 并 求 出 还 款 金 额 总 数 和 利 息 总 数 。在 7.3节已列出差分方程 11y n I y n x n 1n 解： 700 0 0 0 0y 第7页BUPT 尹霄丽MATLAB程序interest=6.55*0.8/12/100; y(1)=700000;x=5000;for ii=2:12*30y(ii)=y(ii-1)*(1+interest)-x;if y(ii)=0x_last=y(ii-1);y(ii)=0;break;endendx_total=x*(ii-1)+x_last;第8页B
5、UPT 尹霄丽还款曲线，年利息 6.55%*0.8贷款 70万，每月还款 5000元，还款 218个月，本利共还 108万0 50 100 150 200 250010203040506070m o n t hthemoneyhavetopayback2 1 8 m o n t h s , t o t a l n u m b e r i s : 1 0 8 万元第9页BUPT 尹霄丽还款曲线，年利息 6.55%*0.8贷款 70万，每月还款 2500元，还款额小于利息0 50 100 150 200 250 300 350 400020406080100120m o n t hthemoney
6、havetopayback3 6 0 m o n t h s , t o t a l n u m b e r i s : 9 0 万元第10页BUPT 尹霄丽二时域经典法完全解 =齐次解 +特解边界条件第11页BUPT 尹霄丽齐次解1.齐次解：齐次方程的解 01 nayny any nyyyy yy 10110,01 nCany 指数形式 不能全为零但起始状态 Nyyy ,2,1 所以的几何级数是一个公比为说明 , anyarar 可得或由特征方程 ,0 nn CaCrny 第12页BUPT 尹霄丽求待定系数 C由边界条件决定 02y 给 定 CCay 002C nany 2 齐次解求差分方程
7、齐次解步骤差分方程 特征方程 特征根 y(n)的解 由起始状态确定系数第13页BUPT 尹霄丽根据特征根 ， 解的三种情况 nnnnn rCrCrCny 2211阶方程无重根 nrrr n 21 .12.有重根（ k重根）3.有共轭复数根 112 n n nkny n C r C n r C n r 第14页BUPT 尹霄丽 02615 nynyny3,2 21 rr求解二阶差分方程特征方程 0320652 rrrr齐次解 nn CCny 32 21 例 7-4-3特征根第15页BUPT 尹霄丽 的解。求方程 03821216 nynynyny nnn nCnCCny 222 2321 特征方
8、程 0208126 323 rrrr三重根 2 r给定边界条件即可求出系数321 , CCC例 7-4-4roots(1 6 12 8)第16页BUPT 尹霄丽例 7-4-5（ 特征根为共轭复根 ）设 jj12eer M r M nn rCrCny 2211 2 j1 j ee nnC M C M 12 c o s jc o s j s siin nnn nC M C nM c o s s i nnnP M n Q M nP,Q为待定系数为 减幅 正弦序列 nyM 1 nyM 1为 等幅 正弦序列 nyM 1 为 增幅 正弦序列:M 振 荡 角 频 率幅 度第17页BUPT 尹霄丽2.特解线性
9、时不变系统特解与输入具有 相同的形式 。 annx e anAny e nnx je nAny je输入 输出 nnx co s )co s ( nAny nnx s i n )s i n ( nAny knnx 0111 AnAnAnAny kkkk Anx Cny nrnx nrCny nrnx nn rCrnCny 21 （ r与特征根重）第18页BUPT 尹霄丽例 7-4-6 2 1 , 511y n y n x n x n u ny 求 全 响 应 。且202 rr齐次解 5 0 5 x n u n n 时 全 为 （ 常 数 ） Cny p )0(52 nCC35 C代入 原方程
10、求特解 3521 nph Cnynyny nh Cny 21 特解全解形式( 0 )n 第19页BUPT 尹霄丽3)1(25)0( 0 yyn 11y 由 迭 代 出 ，得代入 解 3521 nCny 3530 1 Cy341 C 035234 nny n由边界条件定系数第20页BUPT 尹霄丽三零输入响应 +零状态响应1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次方程C由初始状态确定 （ 相当于 0-的条件 ） nrC齐次解：2.零状态响应：起始状态为 0，即 021 yy求解方法经典法：齐次解 +特解卷积法第21页BUPT 尹霄丽 L T I S 3 1 2 2 1y n y n y n x n
11、 x n 的 差 分 方 程 2 , 0 1 0nx n u n y y 已 知 。 , 0ziy n x n 零 输 入 响 应 即 当 时 的 解 。求系统的 零输入 响应。 02213 nynyny1,2023 212 rrrr nnzi CCny 12 21 例 7-4-7（自阅）令输入为 0第22页BUPT 尹霄丽求初始状态（ 0-状态）题目中 ,是激励加上以 后 求得的全响应 ,需迭代求出 。 010 yy 2,1 yy 021212031 1 0 uuyyyn 1121200 y 211 y 120222130 0 10 uuyyyn 122130 yy 452 y第23页BUPT 尹霄丽 :2,1 代入方程以 yy 451222112122211211CCyCCyzizi2321CC nnzi ny 1223 解得零输入响应与输入无关由初始状态（ 0-状态）定 C1， C2第24页BUPT 尹霄丽注意在求零输入响应时 ， 要排除输入的影响 找出输入加上以 前 的起始状态 。 0 ,0 0 , 1 0xnyy由 起 始 状 态 再 以 代 入 方 程 可 以 求 出 初 始 值。
