1、4. 静电场中的导体和电介质,静电场中导体的性质,导体内电场强度 E 为零，静电平衡；,导体是等位体，导体表面为等位面；,下 页,上 页,根据物质在静电场中的表现可以把它们分成导体和电介质两大类，导体和电介质的存在将影响电场的分布，因此有必要讨论它们在电场中的性质。,导体,导体内含有大量的自由电子，如果对它们施加电场将引起其中自由电荷的运动。,导体性质：,导体内无电荷 =0，带电导体的电荷一定分布在导体表面形成面电荷；,电场强度垂直于导体表面；,下 页,上 页,导体引入电场将发生静电感应现象。,导体球在均匀电场中,下 页,上 页,静电屏蔽,q在金属球壳内,接地导体都不带电。（ ）,一导体的电位
2、为零，则该导体不带电。 （ ）,任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不 变的。 （ ）,下 页,上 页,电位与参考点的选取有关,静电场中的电介质,下 页,上 页,电介质,电介质内的电子被原子或分子内在力，或分子间的力束缚而不能自由运动，如果对它们施加电场将引电介质的极化。,电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；,电介质内部和表面产生极化电荷 (polarized charge)；,极化电荷与自由电荷一样是产生电场的源，从而引起原电场的变化。,下 页,上 页,电介质性质：,极化强度P ( polarization intensity ),表示电介质极化程度的量，定义：,电偶极矩体密度,
3、实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中,电介质的极化率,无量纲量。,各向同性媒质,线性媒质,媒质特性不随空间坐标而变化；,下 页,上 页,关于媒质的术语：,媒质特性不随电场方向而改变；,均匀媒质,媒质参数不随电场的值而变化；,极化强度与极化电荷的关系,下 页,上 页,大电偶极子,根据电荷守恒原理，极化电荷的总和为零,极化强度 P 是电偶极矩体密度，单个电偶极子产生的电位,体积 V 内电偶极子产生的电位,下 页,上 页,矢量恒等式：,下 页,上 页,体积 V 内电偶极矩产生的电位,极化电荷面密度,下 页,上 页,根据电荷守恒原理，极化电荷的总和为零,电介质均匀极化时，极化电荷体密度,下 页,
4、上 页,比较导体和介质的性质可以得出：,电场对导体的影响是引起静电场感应产生感应电荷；电场对介质的影响是引起介质极化，产生极化电荷；,感应电荷在导体内产生的电场抵消外电场，使导体内电场为零；极化电荷在介质内产生的电场只是削弱外电场；,导体是等位体；介质中各点电位不同；,介质所能经受的电场强度有一定的限度，这个电场强度的极限称为电介质强度；,注意,电介质中的高斯定律,高斯定理的微分形式,取体积分,高斯定理的积分形式,下 页,上 页,普遍形式的高斯定律,介电常数 F/m,其中 相对介电常数，无量纲量。,构成方程,下 页,上 页,穿出任意闭合面的电位移矢量的通量等于闭合面内自由电荷的代数和，而与闭合
5、面的形状、大小、电荷的分布及介质的分布无关；,在各向同性介质中,注意,D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；,E 线由正电荷发出，终止于负电荷；,P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。,下 页,上 页,D、E 与 P 三者之间的关系,1.3 基本方程分界面上的衔接条件,1. 静电场基本方程 ( Basic Equation ),静电场是有源无旋场，电荷是静电场的源。,Basic Equation and Boundary Condition,微分形式,积分形式,构成方程,下 页,上 页,分析静电场的依据,泊松方程,拉普拉斯算子,拉普拉斯方程,当r =0时,下 页,上 页,2.泊
6、松方程与拉普拉斯方程 (Poissons Equation and Laplaces Equation),下 页,上 页,泊松方程和拉普拉斯方程结合了静电场基本方程；,泊松方程和拉普拉斯方程只适用于均匀、线性和各向同性的媒质；,同一媒质中的有源区和无源区要分别列出泊松方程和拉普拉斯方程；,注意,E 的衔接条件,围绕点 P 作一矩形回路,根据,下 页,上 页,介质分界面,3. 分界面上的衔接条件（Boundary Condition),当电场中存在不同媒质时，在不同媒质分界面处，场量的大小和方向会发生变化，有必要了解分界面上场量所应满足的条件，这些条件称为不同媒质分界面上的衔接条件。,包围点 P
7、 作高斯面,D的衔接条件,根据,介质分界面,当,下 页,上 页,静电场的折射定理,当交界面上 时，,折射定律,下 页,上 页,介质分界面,在不同媒质分界面处，场量的方向会发生变化。,的衔接条件,设 P1 与 P2 位于分界面两侧，,电位的衔接条件,下 页,上 页,若,则,得,由 ，其中,下 页,上 页,D 的衔接条件,D 的法向分量不连续,下 页,上 页,E 的切向分量连续。,E 的衔接条件, 的衔接条件,电位的法向导数不连续,电位连续,折射定律,结论,导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直；,导体与电介质分界面,例,解,导体中 E10 ，D1=0,导体表面上任一点的 D 等于该点的 。,下
8、页,上 页,试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。,分界面衔接条件,分界面介质侧,表明,电力电容,下 页,上 页,测量局部放电,下 页,上 页,放电铜球,下 页,上 页,忽略边缘效应,图(a),图(b),试求两个平板电容器的电场强度。,平行板电容器,例,解,下 页,上 页,1.4 静电场边值问题 唯一性定理,静电场的求解可分为两类：,Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem,下 页,上 页,第一类问题：场源问题,已知空间电荷分布，求电场分布,第二类问题：边值问题,已知空间介质分布，电极形状、位置和电位，场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解
9、给定边界条件的电位微分方程的解。,直接求积分方程,直接求微分方程,1. 静电场的边值问题（Boundary Problem),边值问题,场域边界条件(待讲）,分界面衔 接条件,强制边界条件 有限值,自然边界条件 有限值,下 页,上 页,场域边界条件,1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet),2）第二类边界条件（聂以曼条件 Neumann),3）第三类边界条件,已知边界上电位及电位法向导数的线性组合,已知边界上的电位,已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或 电力线),下 页,上 页,计算法,实验法,解析法,数值法,实测法,模拟法,边 值 问 题,下 页,上 页,试写出图示静电场
10、的边值问题。,下 页,上 页,例,解,大地以上空间：,试写出图示平板电容器电场的边值问题。,下 页,上 页,例,解,参考点,试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。,根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题,（阴影区域）,下 页,上 页,缆心为正方形的,例,解,2.静电场的唯一性定理（Uniqueness Theorem),研究给定怎样的条件静电场解是唯一的。,下 页,上 页,唯一性定理 ：,在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是唯一的。,或：方程一定，边界条件一定，解就是一定的。,唯一性定理的证明 ：,证明（反证法）,下 页,为简便起见，设场中只有一种均匀媒质，场域边界为导体边界和无
11、穷远处的边界面。,ro,设场有两个解：,都满足方程和边界条件：,上 页,下 页,场域内无极值,拉普拉斯方程零边界,上 页,对等式两端求体积分,即,下 页,应用矢量恒等式,考虑参考点电位,上 页,3. 唯一性定理的意义,图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？,给出了唯一确定静电场问题的解所需满足的条件。,下 页,上 页,平板电容器外加电源U0,例,可用以判断静电场问题解的正确性。,已知点电荷的电场，问：,下 页,上 页,例,放置与点电荷同心的导体薄球壳，空间场是否改变？,放置与点电荷同心的有厚度的导体球壳，空间场是否改变？改变电荷在壳内的位置，空间场是否改变？,放置一偏心的导体球壳，空间场是否改
12、变？,图示无限长同轴电缆，内导体加电压U，外导体接地，求内外导体间的电场分布。,下 页,上 页,例,解一,应用高斯定律,任一点的电位,下 页,上 页,解二,解边值问题，场为轴对称，取圆柱坐标,通解,边界条件,图示长度为l 的同轴电缆（lR），内外导体带电荷Q，求内外导体间的电场分布。,下 页,上 页,例,解一,应用高斯定律，以外导体为电位参考,解二,解边值问题，,通解,边界条件,图示充以两种介质的无限长同轴电缆，内导体加电压U，外导体接地，求内外导体间的电场分布。,下 页,上 页,例,解,解边值问题，,通解,边界条件,通解,试求体电荷分布的球体产生的电位及电场。,采用球坐标系,分区域建立方程,边界条件,参考电位,下 页,上 页,体电荷分布的球体,例,解,电场强度（球坐标梯度公式）：,得到,随r变化曲线,下 页,上 页,下 页,上 页,为一些间接计算方法提供理论依据。,
