1、,一、问题的提出,实例: 变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,求和,取极限,近似值,精确值,二、对坐标的曲线积分的概念,1.定义,类似地定义,3.组合形式,4.推广,5.性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,三、对坐标的曲线积分的计算,定理,特殊情形,注:第二型曲线积分与曲线给定的方向有关,在化为关于参数的定积分时,定积分的下限和上限应分别对应于曲线的起点和终点,即:下限不一定小于上限.,例1,解,例2,解,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,例3,解,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.,解:,例 求 其中为有向闭折线ABCA
2、 A B C依次为点(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1).,ABBCCA 其中,AB xx y1x z0 x从1变到0,BC x0 y1z zz z从0变到1,CA xx y0 z1x x从0变到1,故,解：,例 计算 其中L为圆周(xa)2y2a2(a0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行).,LL1L2 其中,L1 xaacos t yasin t t从0变到,L2 xx y0 x从0变到2a,因此,曲线的切向量是,也是切向量,且其方向与积分路径的方向一致,又 的模正好是弧微分,的方向余弦是,第一型与第二型曲线积分之间的关系:,设,其中,处的,单位切向量,称为有向曲线元,
