1、现代控制理论 Modern Control Theory,第4章 稳定性与李雅普诺夫方法,1,2,求解微分方程,3,4,5,4.1 Lyapunov稳定性的定义,稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的，线性定常系统由于只有唯一的一个平衡状态，所以才笼统地讲所谓的系统稳定性问题，对于其他系统则由于可能存在多个平衡状态，不同的平衡状态可能表现不同的稳定性，因此必须逐个分别加以讨论。,6,7,8,9,定义：对自治系统 的平衡状态xe=0，若对任意给定的 ，存在一个 ，使得只要状态轨线的初始状态满足，由该初始状态出发的状态 轨线满足。那么，系统的平衡状态xe=0称为是李雅普诺夫意义下稳定的。,李雅普诺
2、夫意义下稳定,10,定义：对自治系统 的平衡状态xe=0，若该平衡状态xe=0是李雅普诺夫意义下稳定的，且当t时，始于原点小邻域的轨线满足x(t)0，则平衡状态xe=0称为是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。,李雅普诺夫意义下渐近稳定,渐近稳定性是局部性质。 需要确定渐近稳定域，吸引域。,定义 若对任意 ，都有 ，则称平衡状态 是大范围渐近稳定。,大范围渐近稳定,11,定义 若对任意给定实数0，不论怎么小，至少有一个 ，当 ，则有 ，则称平衡状态 不稳定。,不稳定,稳定 渐近稳定 不稳定,12,13,定理 线性定常系统平衡状态 渐近稳定的充要条件是A的特征值均有负实部。,4.2 李雅普诺夫第一法(间
3、接法)李雅普诺夫间接法是根据A的特征值来判断系统的稳定性。 线性定常系统的稳定性,状态稳定性，或称内部稳定性。,如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。输出稳定的充要条件是传递函数的极点全部位于s平面的左半平面。,李雅普诺夫第一法（间接法） 是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。,14,4.2.2非线性系统的稳定性,设,将f(x)在平衡点xe邻域内展开为泰勒级数，得,xe为平衡点。,雅可比矩阵,15,若令Dx=x-xe，并取一次近似式，可得系统的线性化方程为,16,试分析其平衡状态的稳定性。,例 已知非线性系统
4、状态方程,解：求平衡状态：由,知系统有两个平衡点xe1=0, 0T; xe2=1, 1T,17,在xe1处将其线性化有,雅可比矩阵为,其特征值为：l1=1， l2=-1，可判原非线性系统在xe1不稳定,18,在xe2处将其线性化有,雅可比矩阵为,其特征值为：l1=j， l2=-j，实部为零，不能应用线性化方法判断原非线性系统在xe2的稳定性。,19,其中 常数，试分析其平衡状态的稳定性。,例 已知非线性系统,20,计算,知系统有平衡点,解: 求平衡状态：由,下面仅对 情况进行研究，其它情况类似,21,当 时，系统在 渐近稳定；,如果 ,其稳定性靠一次近似不能判断。,由特征方程 ，得,设 则,2
5、2,4.3 李雅普诺夫第二法,基本思路：从能量观点进行稳定性分析：1) 如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是渐近稳定的；2) 反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这个平衡状态是不稳定的；3) 如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态就是Lyapunov意义下的稳定。,23,由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系;于是Lyapunov定义了一个正定的标量函数，作为虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号特征来判断系统的稳定性。,24,4.3.1 预备知识 1.标量函
6、数的符号性质,由n维向量x定义的标量函数V(x),1） 存在,2）,3）当 时：,若V(x)0 (V(x)0)则称V(x)是正定的(半正定的),若V(x)0 (V(x)0)则称V(x)是负定的(半负定的),25,例 1） 正定的2） 半正定的3） 负定的 4） 半负定的5） 不定的,26,2. 二次型标量函数 设 x = x1, x2, , xnT，则实二次型可记为：V(x)=V(x1, x2, , xn)=xTPx,P称为二次型的矩阵(实对称矩阵),27,实二次型是xRn的标量函数 V (x1, x2, , xn)=xTPx，式中，P为一实对称nn矩阵 x 0 , 若xTPx 0 , 则称二
7、次型V为正定的，P称为正定矩阵，记为P0 。 x 0 , 若xTPx 0 ,，则称二次型V为半正定的，P称为半正定矩阵，记为P0 。 若xTPx 0 (0) ,称V为负定的(半负定的)，P称为负定(半负定)矩阵，记为 P0(0)。 若V既不是半正定又不是半负定，则称为不定的。,28,3.希尔维斯特(Sylvester)判据 二次型函数的定号性判别准则,i(i=1,2,n)为其各阶主子行列式：,V (x1, x2, , xn)=xTPx,29,矩阵P定号性的充要条件是：,(1)若i 0 (i=1,2,n)，则P为正定的。,V(x1, x2, , xn)=xT P x正定,V(x1, x2, ,
8、xn)=xT P x负定,V(x1, x2, , xn)=xT P x半正定,V(x1, x2, , xn)=xT P x半负定,30,4.3.2 几个稳定性判据 设系统的状态方程为,xe=0为系统平衡状态满足f(xe)=0， 若可构造标量函数V(x)满足： 标量函数V(x)对x具有连续一阶偏导数 V(x) 是正定的，即 V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态x满足V(x) 0 V(x)沿状态轨迹方向计算的时间导数V(x)=dV(x)/dt,31,分别满足下列条件为半负定的，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定稳定判据；为负定的；或者虽然 为半负定，但对任意初始状态x(t0)0，除了x=0外
9、，对x0， 不恒为零，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下渐近稳定的，如果进一步还有|x|时，V(x)，那么平衡状态xe为大范围渐近稳定的渐近稳定判据；为正定的，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下不稳定不稳定判据。,32,例；设系统状态方程为,试确定该系统平衡状态的稳定性。,解：由平衡状态方程得,解得唯一的平衡状态为x1=0, x2=0, 即xe=0, 为坐标原点。,33,为一负定的标量函数，平衡状态（0,0）渐近稳定。 并且 |x|，有V(x) ， 系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。,选取一正定的标量函数,34,例；设系统状态方程为,x1=0, x2=0为系统唯一的平衡状态，试确定该系统平衡状态的
10、稳定性。,解：选取一正定的标量函数, 0,35,且x，有V(x) 系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。,x2 0 ， x1任意 x2 -1， x1任意,由 x1 0 只有原点满足,矛盾！,有两种可能：,由 ,即假设不成立,36,说明：(1)该判据适用线性和非线性、时变和时不变等各类动态系统；(2) Lyapunov函数V(x)不等同于能量，是一个正定标量函数，对x有连续的一阶偏导数；(3)系统渐近稳定性的判别，归结为V(x)的选取，一般选取V(x)为状态x的二次型函数，需要研究者的经验与技巧，V(x)的选取是非唯一的，不影响判定结论的一致性；(4)充分条件，且只表示平衡点邻域的局部稳定性；,37
11、,4.4.1线性定常系统的渐近稳定性 对线性定常系统,系统的稳定性和原点的稳定性是一致的，以下不再区分。 系统渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的某个正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足李雅普诺夫方程：,李雅普诺夫函数,38,若Q0，根据李雅普诺夫稳定性定理，系统是渐近稳定的。,选,则,39,例:某系统,解: 选Q=I , 由ATP+PA= - Q ，pij=pji .,其平衡状态在坐标原点，试判断该系统的稳定性。,40,注：由于P的对称性，只有 个未知数。,41,用Sylvester判据：,P 0 系统是渐近稳定的.,原则上Q为任意正定对称阵，且系统渐近稳定性的判断结果与Q的不同选取无关。具体应用时，Q常常取为正定对角阵或单位阵，以简化计算结果。,42,4.4.3 线性定常离散系统的渐近稳定性对线性定常离散系统,平衡状态xe=0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足下述李雅普诺夫方程：,43,
