1、第二课时/等差数列的性质及简单应用,新课导入,知识探究,题型探究,达标检测,新课导入实例引领 思维激活,实例:给出以下3个等差数列:(1)1,4,7,10,13,公差为3;(2)-2,-4,-6,-8,-10,公差为-2;(3)3,3,3,3,3,公差为0.想一想 将实例中三个等差数列中的某两个对应的项相加或相减,得到的数列是否仍然是等差数列?将一个等差数列中的各项都乘以同一个常数,得到的数列是否仍然是等差数列?如果是,公差与原等差数列的公差有何关系?(是.例如将(1)与(2)对应各项相加得到数列:-1,0,1,2,3,仍然是等差数列,将(2)与(3)对应各项相减得到数列:-5,-7,-9,-
2、11,-13,仍然是等差数列;是.例如将(1)各项乘以2,得到2,8,14,20,26,仍然是等差数列,且公差变为原来的2倍),知识探究自主梳理 思考辨析,等差数列的常见性质(1)对称性:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=am+ (nm);(2)若m,n,p,q均为正整数,则m+n=p+q ;(3)若m,p,n均为正整数且m,p,n成等差数列,则am,ap,an也成等差数列;(4)an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=am+ ;(5)若数列an成等差数列,则数列an+b(,b为常数)仍为等差数列;(6)an和bn均为等差数列,则anbn也是等差数列;(7)an的公差为d,d0
3、an为递增数列;d0,解之,得a3=-6,a7=2.,则an=a1+(n-1)d=-10+(n-1)2=2n-12,即an=2n-12.,题后反思 本题利用了a3+a7=a4+a6这一性质构造了一元二次方程巧妙的解出了a3=-6,a7=2,再利用方程思想求出首项与公差,这也是解决此类问题的基本方法.,跟踪训练2-1:若数列an是等差数列,且a3+a6=4,a8+a11=9,则a13+a16等于()(A)14(B)10(C)6(D)2,题型三 等差数列的实际应用【例3】 (10分)有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价
4、为760元,依此类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少?解:设该单位需购买影碟机n台,在甲商场购买单价不低于440元时,单价依台数成等差数列an,则an=780+(n-1)(-20)=800-20n, 2分解不等式an440,800-20n440,得n18.4分当购买台数小于18时,单价为(800-20n)元,当台数大于或等于18时,单价为440元.5分到乙商场购买,单价为80075%=600(元).又(800-20n)n-600n=20n(10-n),6分所以,当n10时,600n(8
5、00-20n)n;当n=10时,600n=(800-20n)n;8分当10n18时,(800-20n)n600n;当n18时,440n600n.10分所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花费较少;当购买10台时,到两商场购买花费相同;当购买多于10台时,到甲商场购买花费较少.,题后反思 (1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.,跟踪训练3-1:某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增
6、加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次).解:设在相同的时间内,从低到高每档产品的产量分别为a1,a2,a10,利润分别为b1,b2,b10,则an,bn均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,an=60-3(n-1)=-3n+63,bn=8+2(n-1)=2n+6,利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864.答:在相同的时间内生
7、产第9档次的产品可以获得最大利润.,备选例题,【例1】 若数列xn满足xn-xn-1=d(nN*,n2),其中d为常数,x1+x2+x20=80,则x5+x16=.解析:由xn-xn-1=d(nN*,n2)知xn是等差数列,x1+x20=x2+x19=x10+x11,10(x1+x20)=80,因此x1+x20=8,故x5+x16=x1+x20=8.答案:8,解: (1)当n=1时,条件变为0=2(a1-1),a1=1,b1=a1+1=2;当n=2时,由a2=6,知a3=3(a2-1)=15,b2=a2+2=8,b3=a3+3=18;当n=3时,可得a4=28,b4=a4+4=32.bn的前四
8、项为2,8,18,32,即212,222,232,242.从而可归纳出bn=2n2(nN*).,达标检测反馈矫正 及时总结,1.已知等差数列an:1,0,-1,-2,;等差数列bn:0,20,40,60,则数列an+bn是()(A)公差为-1的等差数列(B)公差为20的等差数列(C)公差为-20的等差数列(D)公差为19的等差数列解析:易知an=2-n,bn=20(n-1),an+bn=19n-18.令cn=an+bn,则cn+1-cn=19(n+1)-18-(19n-18)=19.故数列an+bn是公差为19的等差数列.故选D.,D,2.在等差数列an中,已知a4+a8=16,则a2+a10
9、等于()(A)12(B)16(C)20(D)24解析:由等差数列的性质知,a2+a10=a4+a8=16.故选B.3.已知an为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于( )(A)-1(B)1(C)3(D)7解析:a2+a4+a6-(a1+a3+a5)=3d=-6,d=-2.又a1+a3+a5=105,3a3=105,a3=35,a20=a3+17d=35+17(-2)=1.选B.,B,B,4.在等差数列an中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=.解析:a2+a8=a4+a6=a3+a7=37,a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=237=74.答案:74,课堂小结,在等差数列中,一般存在两种运算方法:一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算;二是利用性质运算,运用等差数列的性质,往往会有事半功倍的效果.,点击进入课后作业,
