1、1.10 电磁场的基本定理,1、标量场、矢量场和张量场,标量场：温度场、质量场、电位 矢量场：速度场、重力场、电场、磁场 张量场：惯量张量（转动惯量）、电四极张量、电磁场张量,(1) 高斯散度定理（公式）： 曲面积分与三重积分的关系,设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成，函数 在 上有一阶连续偏导数,则,2、积分相关常用定理,从数学上来看，利用高斯定理可以将矢量函数的面积分转化成标量函数的体积分，或反之。从场的观点来看，高斯定理建立了某一区域中的场与包围该场域边界上的场之间的关系。,(2) 斯托克斯定理,从数学上来看，利用此定理可将面积分化为线积分，或反之。从场观点来看，建立了区域中的场
2、与区域边缘上的场的关系。,(3) 格林公式,设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则,其中曲线积分是按沿的正向计算的，公式 称为格林公式.,区域D的边界曲线L的正方向：当观察者沿L的某个 方向行走时, 区域D总在其左侧,则该方向即为L的正向.,3、坡印亭定理,瞬时电磁功率流密度：复坡印亭矢量：平均功率流密度：,4、矢量场的惟一性定理,位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。 惟一性定理表明，区域中的矢量场被其中的源及边界值（或称边界条
3、件）惟一地确定 无限大自由空间中的矢量场仅被其散度及旋度惟一地确定。,5、亥姆霍兹定理,若矢量场F(r)在无限区域中处处是单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域V中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场F(r)可以表示为,该关系称为亥姆霍兹定理。,该定理再次表明，无限空间中矢量场被其散度及旋度惟一地确定；有限空间中的矢量场被其散度、旋度及其边界条件惟一地确定。若该有限区域是无源的，则场仅决定于边界条件。它给出了场与其散度及旋度之间的定量关系，或者说，给出了场与源之间的定量关系。任一矢量场均可表示为一个无旋场和一个无散场之和。如果已知矢量场的散度及旋度以后，即可求出该矢量场，因此，矢量场的散
4、度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。,6、物理场的相似性,工程电磁场问题，可根据内存规律性相似的基本特征，即数学意义上的微分方程的相似性，来考虑更广泛的工程和物理问题。各种物理场内在规律性的相似性，在共性上决定了完全相同的数学描述。基于场方程的相似性，表1-1列出了由标量位函数描述的各类物理场（标量位场）的相似量。,注：表1-1所列类比关系是在场源区域外给出的，它归结为同一拉普拉斯方程的数学描述。,表1-2列出了平行平面场条件下静电场与由向量磁位函数（A=Azez）描述的恒定磁场之间相似量的关系。 注：表1-2考虑的是有场源（电流或电荷）存在区域之间的类比关系，它归结为相同泊松方程的数学描述。
5、从表1-1和1-2所示的类比关系出发，也包括众所周知的静电比拟关系。,7、互易定理,互易定理是线性系统中可逆性在电磁学上的体现，它在理论和实用上都非常重要。从一般意义讲，互易定理是基于格林函数的互易性，即,式中r为场点，r为源点。上式的物理意义可描述为；A点的源在B点产生的场等同于B点的源在A点产生的场。,假设在r=ra处的电流元Ja产生的场为Ea和Ha；在r=rb处的电流元Jb产生的场为Eb和Hb，其中r为任意原点起算的位置矢量。则经过推算可得,这就是洛仑兹互易定理的数学表达式。由上式可知，第一个源在第二个源处产生的场Ea对JB的反应等于第二个源在第一个源点处产生的场Eb对Ja的反应。因此发
6、射机和接收机可以互相交换，而使接收的响应不变。,8、等效原理,等效原理是唯一性定理的直接应用。如镜像电荷。“等效”是指：如果有两种不同（如分布、大小、类型）的源在给定的区域内产生相同的场，就称这两种源对该区域的场解是等效的。,等效原理形式多种多样。如图，S是一虚构的边界面，其内有源且介质非均匀，其处无源且介质均匀。如果只关心S外的场，那么可将此问题等效成一个只有在S上有源的规则问题，此问题的解与原问题的解在S外是一样的。下面主要介绍三种等效形式。,第一种等效形式。假设S内的场为零，S上有一组等效源Jes和Jms，它们满足由边界连续性条件知，此等效问题中S外的场在边界S的切向上与原问题是一样的。
7、根据唯一性定律可知此问题与原问题的解在S外一样。又因等效问题中S内的场为零，因而又可假设S内是均匀介质，且与S外相同。这样原问题便等效成一个S上一组等效源Jes和Jms在均匀介质中产生场的问题。这是一种常用的等效形式，又称为惠更斯原理。,第二种等效形式。假设S内为理想电导体，从而保证S内的电场为零。这样只需S上的等效磁流源Jms来保证S外的场与原问题一样。即由边界连续性条件可知，此等效问题S外的电场在边界S的切向上与原问题是一样的。根据唯一性定律得到此问题的解与原问题的解在S外一样。这样原问题就等效成一个理想电导体上等效磁流源产生场的问题。,第三种等效形式。与第二种等效形式相似，只是将理想电导
8、体换成理想磁导体。这样就可只需S上的等效电流源Jes来保证S外的场与原问题一样。由边界连续性条件可知，此等效问题S外的磁场在边界S的切向上与原问题是一样的。根据唯一性定律得到此问题的解与原问题的解在S外一样。这样原问题便等效成一个理想磁导体上等效磁流源产生场的问题。,9、标量格林定理,格林第一定理,上两式相减，则得格林第二定理,令：,10、矢量格林定理,电磁理论中，格林定理的数学形式为,设矢量P和Q以及它们的一阶与二阶导数连续，则由格林定理可得,此即第一矢量格林恒等式。将上式P和Q的位置交换，然后与上式相减，得,此即第二矢量格林恒等式。,高斯定理,11、Stratton-Chu (斯特来顿-朱兰成)方程,S-C方程将场源（电荷与电流、磁荷与磁流）和电场或磁场通过一个积分方程联系起来。建立该方程后，通过各种方法求解积分方程得到电磁场的解答。因为不需要引用位函数，因此S-C方程也被称为场方程的直接积分。建立S-C方程，需用矢量格林定理。,利用矢量格林恒等式，经过复杂推算，可得,此即电场积分方程。,可得,此即磁场积分方程。因由美国J. A. Stratton和华人朱兰成建立，故也称为Stratton-Chu方程。这个方程对散射计算有特别重要意义。,
