1、第二章 方程与不等式第7课 一元二次方程,1.一元二次方程ax2bxc0(a0)：(1)常用的解法：配方法、因式分解法、公式法(2)求根公式：_ .,一、考点知识,2.b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式: (1)当b24ac0时，方程有两个不等的实数根 (2)当b24ac0时，方程_ (3)当b24ac0时，方程_ (4)当方程有两个实数根时，b24ac与0大小比较：_,有两个相等的实数根,3.方程ax2bxc0的两个实数根为x1，x2， 则,没有实数根,b24ac0,【例1】解下列方程： (1)4x22x10； (2)(x4)22x8.,【考点1】解一元二次方程,二
2、、例题与变式,解：(1) 提示:用求根公式法求解. (2)方法一：方程化为一般形式，得x2+6x+8=0.配方得(x+3)2=1.开方得x+3=1.解得x1=2, x2=4.方法二：用因式分解法求解.方程变形为(x+4)2=2(x+4).移项,得(x+4)22(x+4)=0.方程左边分解因式得(x+4)(x+42)=0.解得x1=2, x2=4.,【变式1】解下列方程：(x1)25(x1)0.,解：x1=1 ，x2=4. 提示:用因式分解法求解.,【考点2】一元二次方程根的判别式,【例2】如果一元二次方程mx24x10有两个不等的实数根，求m的取值范围,解：方程有两个不相等的实数根，(-4)2
3、4m0,即4m16. 解得m4又二次项系数m0. m的取值范围是m4且m0.,【变式2】关于x的一元二次方程(x2)(x3)m2， m为实数求证：该方程有两个不等的实数根,解：方程化为一般形式x25x+(6m2)=0,根的判别式=(5)24(6m2)=1+4m2,m为实数，1+4m20,方程有两个不等的实数根.,【考点3】一元二次方程根与系数关系,【例3】关于x的一元二次方程x22xk10的实数根是x1和x2. (1)求k的取值范围； (2)如果x1x2x1x21且k为整数，求k的值,解：（1）方程有实数根，根的判别式=224(k+1)0，解得 k0. k的取值范围是k0（2）根据一元二次方程
4、根与系数的关系，得x1+x2=2 , x1x2=k+1.x1+x2x1x2=2(k+1)，由已知,得2(k+1)1，解得k2.由（1）,得方程有两个实数根，则k0，2k0， k为整数，k的值为1和0.,【变式3】已知关于x的方程x2mx60的一个根为2, 求m的值和另一个根,解：m=1，另一根x1=3. 方法一，把x=2代入方程，求出m的值，再利用两根和或两根积的关系求出另一根; 方法二，利用两根积的关系求出另一个根，再利用两根和的关系或方程根的定义求m的值.,A组,1. 一元二次方程x2x20的根的情况是( )A有两个相等的实数根 B无实数根 C有两个不等的实数根 D无法确定,三、过关训练,
5、3.若x1，x2是方程x2x10的两根，则x1x2的值为_，x1x2的值为_,2.关于x的一元二次方程x24x2k0有两个实数根，则k的取值范围是_,B,k2,1,1,4.解方程：(1)x22x； (2)2y22y10；(3)(x1)(x2)2(x2),解: x1=2，x2=3. 提示:用因式分解法求解.,解: 提示:用求根公式法求解.,解: x1=0, x2=2 提示:用因式分解法求解.,B组,5若a，b是方程x25x20的两个根求下列各式的值：(1)ab2a2b； (2)(3)(a1)(b1)； (4)a2b2.,解：由根与系数关系得a+b=5, ab=2.(1)ab2+a2b=ab(a+
6、b)=25=10.(2)(3) (a+1)(b+1)=ab+a+b+1=2+5+1=8.(4)a2+b2=(a2+b2+2ab)2ab=(a+b)22ab=5222=21.,6已知关于x的一元二次方程x2(k1)x30. (1)求证：该方程一定有两个不等的实数根； (2)若方程的一根为2，求方程的另一根,（1）证明：根的判别式=(k+1)24(3)=(k+1)2+120，所以方程一定有两个不等的实数根. （2）解:设方程的另一根为x1,则2x1=3.解得 .所以另一根为 .,7已知关于x的一元二次方程 mx2(2m1)xm10. (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若3是方程的一个根，求m的值和另一个根,解：（1）方程根的判别式=(2m+1)24m(m1)=8m+1，方程有两个实数根，8m+10，解得 ，又m0，m的取值范围是 且m0.（2）把x=3代入方程,得9m3(2m+1)+m1=0,解得m=1.所以把m=1代入原方程,得x23x=0,设另一根为x1, 则根据根与系数关系得3x1=0.解得x1=0.所以m的值为1，方程的另一根为0.,
