1、2.1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理,二.质心,质心：质量分布中心。,一.质点系的内力和外力,质点系外的物体作用于质点系内各质点的力称为外力，质点系内各质点之间的相互作用力称为内力，外力和内力的区分力完全决定于质点系（研究对象）的选取。,因系统的内力之和总是为零,所以它们对整体运动不发生影响.,C点是质心,C点的运动规律就像所有质量都集中在C点,全部外力作用在C点一样.,质心位置分量式,质量连续分布时,*质心和重心是两个不同的物理概念。,质心位置矢量式,例21 求等腰直角三角形均匀薄板的质心位置,选如图所示坐标，取面元,ds=2ydx=2xdx,dm=ds=2xdx,质心坐标Xc为：
2、,解：由对称性知，质心一定在直角的平分线上。,质心速度,质心加速度,三.质心运动定理,利用内力互为反作用力：,质心运动定理： 不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的全部质量都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样,一、质点的动量定理 Momentum Theorem of Particle 1、质点的动量：是描述物体机械运动的一个重要的物理量，它是个矢量：,2.2 动量定理 动量守恒定律,4、动量定理： Momentum Theorem 将牛顿第二定律,3、变力的冲量 Impulse of variable force ：变化的力，
3、在一段时间内的累积量为：,2、力的冲量 Impulse：力和力的作用时间的乘积称为力的冲量:,物体在运动过程中所受外力的冲量，等于该物体动量的增量。动量定理,5、动量定理的分量形式 components form of momentum theorem,两边积分, 得：,动量定理常用于碰撞过程，碰撞一般泛指物体间相互作用时间很短的过程。在这一过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变，称冲力，因冲力随时间变化的关系复杂难以确定，所以表示瞬时关系的牛顿第二定律无法直接应用。因为冲力很大，由于碰撞引起的动量改变基本上就由冲力在整个碰撞过程中的冲量来决定。为了估计冲力大小，引入平均冲力的概念,6、平均
4、冲力,动量定理的应用 Application of Momentum Theorem 1、 “船行八面风”：帆船靠风力推动前进，只要有风，不管风从什么方向吹来，都可借助风力前进。,展开并略去二阶微量:,二、变质量物体的运动方程,由动量定理得:,外力的矢量和为,除dt得:,得:,变质量物体运动方程微分形式,物理意义:,主体动量的时间变化率,例题 质量为m的匀质链条,全长为L，手持其上端,使下端离地面的高度为 h。然后放手让它自由下落到地上,求链条落到地上的长度为 l 时,地面所受链条作用力的大小。,解：属于变质量问题 落地部分：,未落地部分：,用变质量物体的运动方程,哪些量是变量？,即：,则：,
5、由于是自由下落，,上式简化为：,则：,即得：,又由于：,地面所受链条作用力等于f 的反作用力加上落地部分的静压力：,质量为M的滑块正沿着光滑水平面向右滑动，一质量为m的小球水平向右飞行以速度 （相对地面）与滑块斜面相碰，碰后竖直向上弹起速度为 （相对地面）。若碰撞时间为 ，试计算此过程中滑块对地面的平均作用力和滑块速度的增量。,解：,小球,根据牛顿第三定律,滑块,方向竖直向下,质量m=1kg的物体，与桌面间摩擦系数 =0.2。对物体施以力 F=1.12tN，F与桌面夹角37。求第3秒末物体的速度。,解：受力分析如图由于F是变力,所以N和f也是变力,当t=3s时,可知,这段时间内,物体只在水平方
6、向有运动,根据动量定理,何时开始运动 ?,例题：如图所示,绳子一端固定,另一端系一质量为m的小球,并以匀角速度 绕竖直轴作圆周运动,绳子与竖直轴的夹角为 ,已知A、B为圆周直径上的两端点,求质点由A点运动到B点,绳子的拉力的冲量。这冲量是否等于小球的动量增量？为什么？,解：取坐标系oxyz，x轴与直径AB重合，小球作匀角速度 的圆周运动中，竖直方向受力平衡，则,可见拉力T的大小是恒定的,T的方向不断变化。它在xoy平面的投影为,在x向的投影为,在y向的投影为,设小球在A点为 ， 则它到达B点为 。,拉力的冲量的大小,拉力的冲量 位于yoz平面内， 与y 轴的夹角为,小球除受绳的拉力外还受重力作
7、用，根据动量定理，从A到B过程中小球的动量增量应等于合力的冲量，故 不等于该过程中小球的动量增量,根据动量定理,小球从A运动到B的时间为,拉力的冲量为,三、 动量守恒定律,一、质点系的动量定理momentum theorem of particle system,1、质点系的动量：质点系内各质点动量的矢量和。,微分形式：积分形式：,质点系动量的增量，等于作用在质点系上所有外力在同一时间内的冲量的矢量和。质点系动量定理,2、质点系的动量定理：,4、内力不能改变质点系的总动量,即内力的冲量的矢量和恒为零。5、内力可以改变质点系内各质点的动量 例如爆炸。,因为内力总是成对出现的，且 则冲量和为：,3
8、、分量式,如果,二、质点系的动量守恒定律law of conservation of momentum of particle system,如果： （质点系所受合外力的矢量和为零）,则： 或,1、动量守恒定律：由动量定理,定律： 如果系统所受到的外力的矢量和为零，则系统的总动量保持不变。,2、分量式：(投影式),则,质点系的动量守恒定律,质心速度,质心加速度,质心运动定理,如果：,例题 一静止物体炸裂成三块，其中两块具有相等的质量，且以相同的速率30沿相互垂直方向飞开，第三块质量恰为这两块质量之和，试求第三块的速度,解：,因内力远远大于合外力，故系统动量守恒 。,x方向动量守恒,y方向动量守
9、恒,质量为 和 的两个小孩在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方，开始时静止，相距为L。问他们将在何处相遇？,相遇时,方法二: 由式得,积分可求得上式,一、功和能 Work and Energy功和能是物理学中的两个非常重要的概念。 1、能量 energy能量是物体所具有的做功的本领，能量越大，做功的本领也就越大，能量有多种不同的形式，例如：机械能，热能，化学能，光能，电磁能，原子能，核能等等。能量可以从一个物体转移到另一物体，也可以从一种形式转变成另一种形式，例如，水力发电，电热器，热电厂，电池等。能量是一个状态量，它是系统状态的单值函数，物体处于某一确定的状态，就有一个确定的能量值。,2.3 功
10、动能 动能定理,功的正负：,2、作功 work作功是能量转移或转化的过程，它是一个过程量，只有系统的能量发生改变或转换时，才有作功的问题。因此，功是能量交换或转换的一种度量，作功多，说明在这一过程中能量交换或转移的就多。能量变化除了作功外，还可以通过热传导方式来实现。 3、恒力的功 work done by constant force,恒力的功定义：,功是标量 scalar ,（矢量的标积 scalar product，或点乘 dot product）,其大小为 ：,4、变力的功 work done by variable force,物体在变力F(x)作用下作直线运动,物体从 开始运动到
11、，将运动路程 分成许多位移元 ，在各位移元内，力可视为不变，元功,则变力做的总功,所取的位移越小，则计算出来的总功越精确,变力做功还可以用图解法,元功,功的一般表达式,几个力同时作用时的功,一般来说，线积分的值与积分路径有关，也就是说，沿着不同的路径走，所作的功是不同的。,物体在变力作用下作曲线运动,5、功率 power （1）功率的概念：conception of power 力在单位时间内所作的功，它表示作功有快慢。（2）平均功率：average power,（3）瞬时功率：instantaneous power,二、质点动能定理 kinetic energy theorem,1、动能定义
12、：,2、实验表明，当外力对质点作功时，质点的动能就会发生变化。,3、动能定理的微分形式 differential form ：,由牛顿第二定律：,其切向分量式：,两边同乘ds：,即得：,两边积分得：,4、动能定理的积分形式 integral form由微分形式：,5、动能定理的意义：动能定理将某一过程的始、末状态与这一过程中的功联系起来了。有了动能定理，只要知道质点在某一过程的始、末状态的动能，就知道了作用于质点的合力在这一过程中对质点所作的功。,合外力对物体作的功总等于物体动能的增量,或:,例题：利用动能定理重作例题1-13,在棒下落过程中，合外力（G - B）对它作的功为：,由动能定理，初
13、速度为0，末速度为v, 有：,即得到与前面相同的结果：,例题:一均匀链条,质量为m,总长为L,放在水平桌面上,其中一端下垂,长为a,假定开始时链条静止,链条与桌面间滑动摩擦系数为 ,求链条刚离开桌面时的速度.,解:链条下落过程中有重力、摩擦力做功，根据动能定理,当链条下垂y再在继续下垂dy时,重力功为,桌面摩擦力在链条下滑时做的功为,代入动能定理,解出v,解：由运动方程可知，A（5，0）对应于 t=0 时刻，B（0，4）对应于 t = 0.5s 时刻,一质量为2kg的质点受外力 F = 6t (N) 作用,从静止开始运动，计算第一秒内、第二秒内外力做的功，及第三秒的功率。,解：由于外力只与t有
14、关， 故质点作直线运动,2、保守力 conservative force ：作功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关，这种力叫做保守力。重力、万有引力，弹性力及静电力都是保守力。没有这种性质的力称为非保守力nonconservative force (耗散力 dissipative force），如摩擦力。,2.4 保守力 成对力作功 势能 conservative force, work done by twin force, potential energy,一、保守力 conservative force 1、功与路径有关：由功的定义可知，一般来说，作功与与路径有关。,功的
15、特点：(1)与路径无关； (2) 沿任意闭合路径一周重力作功必为零； (3)质点上升重力作负功。,、重力的功：work done by gravity,、万有引力作功 Work done by universal gravitation,功的特点：(1)与路径无关； (2) 沿任意闭合路径一周引力作功必为零； (3) 质点移近时（r2r1）引力作正功。,功的特点：(1) 与路径无关； (2) 沿任意闭合路径一周弹力作功必为零； (3) 弹性形变减小时，弹力作正功。,、弹簧的弹力的功： Work done by elastic force of spring,摩擦力功的特点：(1) 与路径有关；
16、 (2) 沿任意闭合路径一周摩擦力作功不为零。,二、成对力的功 work done by twin force,力总是成对的，无论是保守力还是非保守力。设质量为 m1 和 m2 的两个物体分别受到 F1 和 F2 的力，且 F1= - F2 ，,、摩擦力的功: Work done by friction,在 dt 时间内位移为 和 , 质点2相对于质点 1 的相对位移为,则,元功为,这一对力做功之和为,（1）成对力的功只与作用力和相对位移有关（一般不为零）。,（2）成对力的总功具有与参考系选择无关的不变性质。,为方便起见，计算时常认为其中一个质点静止，并以该质点所在位置为原点，再计算另一质点在
17、此坐标系中运动时它所受的力所做的功。这样用一个力计算出来的功，也就等于相应的一对力所作的功之和。这就是一对力的功。,在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下，一对力的功必为零。,三、势能 potential energy,1、势能概念 conception of potential energy 质点因相对位置而具有的作功本领称为势能（因有速度而具有的作功本领称为动能）， 势能的引入是以保守力作功为前提的，非保守力作功与路径有关，不能引入势能的概念。,在保守力场中，质点从AB，保守力所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个只与位置有关的函数，B点的函数值减去A点的函数值，定义为
18、从B A保守力所做的功，该函数就是势能函数。,2、势能差 change in potential energy质点从位置A到位置B，保守力作的功可以统一写为：,定义了势能差，,函数 Ep只与质点的位置有关，称为质点的势能或位能。上式表示，保守力作的功等于势能的减少：,或：,保守力的功只与始末位置有关，而与中间路径无关，因此，要确定质点在保守力场中任一点的势能，必须先选定零势能的位置，由于零势能位置的选取是任意的，所以势能的值总是相对的，但两点的势能差是不变的。,选参考点（势能零点），设,B点的势能:,3、势能的相对性 relativity of potential energy,选无限远点势能
19、为零,5、重力势能 Gravitational potential energy,4、万有引力势能 universal gravitation potential energy,6、弹簧的弹性势能 elastic potential energy,选弹簧原长为弹性势能零点,选弹簧系统平衡位置为弹性势能零点,可见势能是相对量，与势能零点的选择有关。,7、势能曲线 potential energy curves 势能是位置的函数, 把势能和相对位置的关系绘成曲线，便得到势能曲线。,通过势能曲线，可以显示出系统总能量、动能和势能间的关系 ，由 ，可以根据曲线的形状讨论物体的运动；,还可以根据势能Ep
20、(x,y,z)的情况，判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向：,如果势能是位置（x,y,z）的多元函数，则:,得,例如：由弹性势能,8、由势能守求保力 conservative force from potential energy,解：设该力是保守力，则存在相应的势能,则此力必然是保守力,二者不相等,2.5 功能原理 能量守恒定律 Work-energy principle The law of conservation of energy,一、质点系动能定理 kinetic energy of particle system 1、什么是质点系？ particle system, many
21、-body system（由有限个或无限个质点组成的系统。可以是固体也可以是液体，它概括了力学中最普遍的研究对象） 2、质点系的内力与外力是怎么规定的？external and internal force（质点系外的物体作用于质点系内各质点的力称为外力，质点系内各质点之间的相互作用力称为内力，外力和内的区分力完全决定于质点系（研究对象）的选取。）,3、质点系内力的功：work done by internal force一切内力矢量和恒等于零。但一般情况下，所有内力作功的总和并不为零。例如，两个彼此相互吸引的物体，移动一段位移，都作正功。,质点系动能定理：系统的外力和内力作功的总和等于系统动
22、能的增量。,外力和内力的功都可以改变质点系的动能。,4、质点系动能定理： kinetic energy theorem of particle system 由质点动能定理：,二、质点系功能原理Work-energy principle of particle system 1、系统的机械能 mechanical energy of system动能与势能的总和称为机械能,3、由势能的定义，保守内力的功总等于系统势能的减少（保守内力的功由势能代替）,2、内力的功可分为：（保守内力的功和非保守内力功 conservative and nonconservative internal force）
23、,非保守内力的功将导致机械能与其他形式的能量转换。energy transform,4、系统的功能原理 （由质点系动能定理）Work-energy principle of system,在选定的质点系内，在任一过程中，质点系总机械能的增量等于所有外力的功与非保守内力的功的代数和。,三、能量守恒定律 law of conservation of energy 1、机械能守恒定律 law of conservation of mechanical energy如果一个系统内只有保守内力作功，其他内力和一切外力都不作功，或者它们（在每一瞬间所作）的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，
24、但机械能的总值不变。,2、非保守内力作功，系统的机械能不守恒 例如，摩擦力作功，机械能转变成热能。,（由系统的功能原理 ）,则：,或,即，如果：,解：选物体地球钢丝绳为研究系统,外力不作功，内力为保守力，机械能守恒,以弹簧原长处为弹性势能零点，最低点处为重力势能零点,选刹车时为初状态，物体下沉至最低点为末状态,例题.起重机用钢丝绳吊运一质量为的物体，以速度 作匀速下降，如图，当起重机突然刹车时，物体因惯性继续下降，问使钢丝绳再有多少微小的伸长？（钢丝绳的劲度系数为）。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？,用一弹簧将质量分别为 和 的上下两水平木板连接如图所示，下板放在地面上。 如以上
25、板在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能的零点，试写出上板、弹簧以及地球这个系统的总势能。对上板加多大的向下压力F才能因突然撤去它，使上板上跳而把下板拉起来？,解: 系统总势能, 机械能守恒,代入上式得,以弹簧原长为弹性势能零点,上板加F后的位置为重力势能零点,1、碰撞的定义 definition of collision质点、质点系或刚体之间，通过极短时间的相互作用而使运动状态发生显著变化的过程碰撞(collision)。 （人从车上跳下，子弹打入墙壁等都属于碰撞） 2、碰撞过程的特点 characteristic of collision (1) 作用时间极短 (2) 作用力变化极快(
26、3) 作用力峰值极大 (4) 过程中物体会产生形变(5) 可认为仅有内力的作用，故系统遵守动量守恒定律。 3、碰撞定律law of collision,2.6 碰撞 collision,e 称恢复系数 （决定于材料性质）,(3) 非完全弹性碰撞 non-perfectly elastic collision当0e1时，,此时说明碰撞后形变能完全恢复，没有机械能的损失 (碰撞前后机械能守恒)。elastic collision, perfectly elastic collision (2) 完全非弹性碰撞 当 e 0 时， perfectly inelastic collision,此时，物体
27、碰撞后以同一速度运动，不再分开，这就是说物体碰撞后已经完全不能恢复形变。,4、碰撞的分类 class collisions (1) 弹性碰撞 当 e 1 时，,此时，碰撞后形变不能完全恢复，一部分机械能将被转变为其他形式的能量 (如热能）。,讨论：力的大小与接近速度成正比，与接触时间成反比，还与物体的质量和材料有关。,5、碰撞中的力 (以两物体碰撞为例）,（1）动量守恒：,（2）碰撞定律：,（3）非完全弹性碰撞：,(3),（4）由动量定理 (对m2),将(3)代入(4),6、碰撞中能量的损失,碰撞前后机械能的损失为：,将前面式(3)代入式 (6)便得：,讨论：,(1) 对于完全弹性碰撞（e =
28、1),无能量损失。,利用：,(2)打铁、打桩等,则：,(3)损失的机械能，通常变为热能或形变能。,例题 质量为M的托盘，用轻弹簧（）悬挂起来，静止在平衡位置。今有质量为的一块橡皮泥由距离盘底高处自由下落，求托盘向下移动的最大距离。,解:,选M系统，完全非弹性碰撞，,-(3),以M地球为一系统，系统的机械能守恒,-(4),设下落的最大距离为H，,取末位置所在处为重力势能零点,一质量为M的平板与一端固定的弹簧相连，可在水平面上运动，开始时M静止在弹簧原长位置，一质量为m的小球以初速度 沿入射角 方向，在M中部与之发生弹性碰撞。设弹簧的劲度系数为k，忽略所有的摩擦作用，求碰撞后小球的速度和平板前进的
29、最大距离。,解:设 与平板法线的夹角为,碰后平板的速度为,由于作用时间很短，可以忽略重力、支承力、弹性力的冲量，因而系统动量守恒,其分量式分别为,弹性碰撞,机械能守恒,联立求解、式可得,在弹簧的压缩过程中，以平板、弹簧为系统,机械能守恒,由此可得,在水平地面上静止放置一小车，车内底板上有一小球，车与小球质量均为m。现使小球以速度v对准车厢前壁运动，从而发生碰撞。设碰撞中恢复系数为e，忽略一切摩擦。求第一次碰撞后，小球和车的速度各为多少？,解：以地面为参照系，取车和小球为研究对象。在水平方向，系统所受的合外力为零，故水平方向动量守恒,由于,0e1,两个自由质点，其质量分别为 和 ，它们之间的相互
30、作用符合万有引力定律,开始时，两质点的距离为L，它们处于静止状态。试求当它们的距离变为L/2时，两质点的速度各是多少?,解：动量守恒,能量守恒,一质量为m的光滑球A，竖直下落，以速度u与质量为M的球B碰撞，球B由一根细绳悬挂着，绳长被看作一定。设碰撞时两球的连心线与竖直方向成 角，已知恢复系数为e，求碰后球A的速度。,解：这是个斜碰问题,设A在碰后的分速度为 与,B只能沿水平方向运动，其速度为,因两球在x方向所受外力为零，该方向动量守恒,设在碰撞中相互作用力为F，因光滑接触，所以F在连心线方向,根据动量定理,由、得,2.7 质点的角动量 角动量守恒定律 angular momentum, la
31、w of conservation of angular momentum,力的作用效果，不仅与力的大小 magnitude 有关、还与力的方向 direction 和力的作用点 acting point 有关。力矩是全面考虑这三要素的一个重要的概念。,一、 质点角动量(angular momentum) 的定义,1、力矩定义 torque,方向：由右手定则,大小：,角动量与参考点O的选择有关， 同一质点对于不同的参考点其角动量是不同的。,定义：任取一点o, 建立坐标系oxyz，设质点A的质量为m，速度为 ，矢径为 ，则质点A对o点的角动量为：,2、角动量 angular momentum （
32、moment of momentum ）,方向：由右手螺旋定则确定， right hand screw rule,大小：,O,2.讨论：,直线运动：,曲线运动,二、 质点角动量定理 angular momentum theorem,1、 推导过程：由牛顿第二定律,得:,两边叉乘,将角动量定义式,对时间求导数。,即：,质点（转动物体）所受合外力矩torque的冲量矩等于在这段时间内质点（转动物体）角动量的增量。,2、角动量定理 angular momentum theorem,质点对某点的角动量对时间的变化率等于质点所受到的合力对同一点的力矩。,3、另一种表述：将,变形为,式中,称为外力矩的冲量
33、矩 impulse torque (角冲量angular impulse）,若质点所受外力矩对某给定点o的力矩为零，则质点对o的角动量持不变保。(具有普遍意义，对m变的也适用）,三、质点角动量守恒定律 law of conservation of angular momentum of particle,由角动量定理可知，,若：,（ 条件),则：,或,（结论）,即：,(constant vector),例题 人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球中心为椭圆的一个焦点，已知地球平均半径 R= 6378 km，近地距离 l1= 439 km , A1 点速度 v1 =8.10 km /s, 远地距离
34、l2 =2384 km , 求A2 点的速度v2 = ?,解：卫星在运行时只受地球对它的引力， 方向始终指向地心o, 力的大小只依赖于 两点距离（这种力称为有心力），对于O 点，力矩为零，,故角动量守恒。,卫星在近地点A1 的角动量：,卫星在远地点A2 的角动量:,因角动量守恒，所以：,于是：,在光滑的水平桌面上，放一质量为M的木块，木块与一劲度系数为k的轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点。设一质量为m的子弹以初速度 射向M，并嵌在木块内。求木块运动到B点时的速度。,解：动量守恒,机械能守恒,角动量守恒,联立求解得,例题：半径为R的轻滑轮的中心轴水平地固定在高处，两个同样重的小孩各抓着跨过滑轮
35、绳子的两端，从同一高度同时向上爬，相对绳的速率不同，试问谁先到达滑轮？,解:,选滑轮+A+B为一系统,以转轴O点为参考点，顺时针方向为正,合外力矩:RAR=0 角动量守恒,设A、B对O点的速率分别为A、B,则有：RAARBB=0,得AB,不论两个小孩对绳子的速率如何，二人将同时到达滑轮。,思考题： 若AB，谁将先到达顶端？,提示：,系统将受到合外力矩 M外（A）R,系统的角动量 L2（AA）R， ,按角动量定理,（）若AB， M外0， 则AA得A,（2）若BA， M外0， 则AA得BA,总是体轻的小孩上升得快，先到达顶端。,作业：3-27、3-30,解:火箭点燃后,速度,例题：地球可看作是半径
36、为6400km的球体，一颗人造地球卫星在地面上空h=800km的圆形轨道上，以 的速度绕地球运动。今在卫星外侧点燃一火箭，其反冲力指向地心，因而给卫星附加一个指向地心的分速度 。求此后卫星轨道的最低点 和最高点位于地面上空多少米？,由于火箭反冲力指向地心,对地心的力矩也为零,所以卫星在点燃前后对地心的角动量不变,角动量守恒,卫星,地球系统只有万有引力(保守力)作用,机械能守恒,对于卫星原来的圆周运动,牛顿定律给出,由以上三式消去 、G、M、m，则有,远地点高度,近地点高度,一质量为m=1kg的物体,在保守力F(x)的作用下，沿x轴正向运动（x0）。与该保守力相应的势能是,x0,画出物体的势能曲
37、线；设物体的总能量 E=-0.5J 保持不变，这表明物体的运动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图和计算的方法求物体的运动范围。,解：,确定物体的平衡位置,解得 x=1m， 在该点势能有极小值。,当物体的总能量 E=-0.5J 保持不变时，令,由此解得,如果在图上画出 E=-0.5 J 的直线，它将与势能曲线相交在上述两点。,为求物体下落H高度的速度大小，请写出不同体系下的功能关系式。,（1）选 M绳+m 为研究系统,外力：重力、摩擦力、支持力、弹性力；,内力：张力（合功为0）。,动能定得：,(2) 选 M绳+K 为研究系统,功能原理：,内力：张力、弹性力。,外力：重力、支持力、摩擦力；,(
38、3) 选 M+绳+K+地球+桌面 为研究系统,外力：无；,功能原理：,内力：张力、弹性力、重力、摩擦力、支持力。,如图所示，一轻质弹簧劲度系数为k，两端各固定一质量均为M的物块A和B，放在水平光滑桌面上静止。今有一质量为m的子弹以速度 射入物块A，求此后弹簧的最大压缩长度。,解：由于子弹射入A所需时间甚短，当二者具有共同速度时，弹簧未变形，B未起动。,M与A系统水平动量守恒,m、A、B和弹簧系统机械能守恒，动量守恒,此后弹簧被压缩而B开始运动，当B与A同速时，弹簧将达到最大压缩长度,联立以上三式求解得,解：设碰撞后两球速度,由动量守恒,两边平方,由机械能守恒（势能无变化）,两球速度总互相垂直,
39、例题：在一平面上, 两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于静止状态，另一球速度 v 。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。,比较以上两式,*2.7 非惯性系 惯性力,一、非惯性系 noninertial system牛顿定律不成立的参考系（相对于惯性系作加速运动）。 二、惯性力 inertial force在非惯性系中，牛顿运动定律不适用，但是也可以假想，在非惯性系中，除了物体相互作用所引起的力以外，还有一种由于非惯性系而引起的力惯性力，这样就能在形式上运用牛顿运动定律了。 惯性力没有真正施力者，所以也就没有反作用力。,三、平动参考系 flat movement,四、 匀速圆周运动参考系 u
40、niform circular motion reference system物体相对于转动参考系静止,设质量为 m 的物体与水平圆盘都以角速度绕过盘心的竖直轴转动。 静止于转动参考系的物体，受到一个沿径向向外的惯性力，也称作惯性离心力，用 f 表示,其中Fn 为惯性系中的观察者观察到的小球所受到的向心力。,惯性离心力 f 与 r 成正比：,为向心加速度。,例题：在光滑的水平面上放一质量为M的楔块，楔块底角为 ，斜边光滑。今在其斜边上放一质量为m的木块，求木块沿楔块下滑时对楔块和对地面的加速度,解:,以楔块为参考系,建立坐标 .在此非惯性系中,除真实力外,楔块和木块还受到惯性力,木块,楔块相对
41、非惯性系加速度为零,且,解得,木块相对与地面的加速度,例题：劲度系数为k的弹簧，一端固定于墙上，另一端与质量为 的木块A相连，A与质量为 的木块B用轻绳相连，整个系统放在光滑水平面上，然后以不变的力F向右拉B，使B自平衡位置由静止开始运动。求木块A、B系统所受合外力为零时的速度，以及此过程中绳的拉力T对A所做的功，恒力F对B所做的功,解:设A、B系统合外力为零时的速度为V,弹簧的伸长量为X，则,f为弹簧对A的拉力,对A、B组成的系统运用动能定理,内力的功,弹力的功,因绳不变形,物体A、B的位移相同,故,将 代入上式得,恒力F的功,以A为对象,运用动能定理,解得拉力的功,补充：关于定理、定律、原
42、理,1、定理 Theorem：已经证明是正确的，可以作为原则或规律的命题或公式。它可以由定律或原理来证明或推导出来。（动量定理、动能定理、角动量定理） 2、定律 Law ：通过大量的实践和实验总结归纳出来的客观规律，它是对某种客观规律的概括。（牛顿三定律、机械能守恒定律、动量守恒定律、角动量守恒定律、能量守恒定律、转动定律、碰撞定律） 3、原理 Principle：通过大量的实践和实验总结归纳出来的，带有普遍性的最基本的、可以作为其它规律的基础的规律。 （功能原理、运动叠加性原理、光速不变原理、伽利略相对性原理）原理和定律是不能从理论上证明的，其正确性只能用实践来检验，如果实践中发现一例与之相
43、违，该原理、定律即被推翻，或必须限定其适用范围及条件。,解：（1）（方法一）用动能定理：,例题：一力作用在质量 的质点上，质点位置与时间的关系为 ， 求（1）力在最初2.0s内作的功；（2）在t=1.0s时，力对质点的瞬时功率。,（方法二）用功的定义：,（2）瞬时功率为,例题： 质量的物体沿轴无摩擦地运动,设=0时物体位于原点,速度为零。试问(1)物体在F=3+4（）的作用下运动3米，物体的速度是多少? (2)若将力改为F=3+4（），物体运动了3秒，其速度又为多少？,解：（1）由动能定理,.3,(2)由动量定理,质量为M的木块A放在光滑的水平桌面上,现有一质量为m，速度为 的子弹水平的射向木
44、块，子弹在木块内行经距离d后，相对于木块静止。此时木块在水平面上滑过的距离为S，速度为 ，设子弹在木块内受的阻力F是恒定的，有人在计算S的大小时，列出以下方程,对子弹有,对木块有,对子弹和木块有,解：方程是错误的，它是以木块为参照系列方程，而木块此时为非惯性系，对于它动能定理不成立。,正确的方法应以地面为参照系,一列火车以速度u作匀速直线运动,车中一人以速度v(相对火车)抛出一质量为m的小球,试回答下列问题:,当车上的人沿车前进方向抛小球时,车上的人看抛出小球过程所做的功是多少?地上的人看又是多少?,当车上的人竖直向上抛球时,地上的人看抛出小球过程作的功是多少?,解: 不正确.,动能为,根据动能定理,车上人看抛出小球过程作的功为,地面上人看抛出小球过程作的功为,同理,车上人看该功仍为,地面上的人看该功为,在地面上的人看小球的速度应是,重心坐标：,设质点组由N个质点组成，第i个质点的质量为 ， Y坐标为 ，则质心y坐标为,为质点组总质量。,同理,
