1、函数的单调性,设函数 f(x) 的定义域为 I :,一、函数的单调性,注: 函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数, 而在另一些区间上可能是减函数.,如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1x2 时, 都有 f(x1)f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数;,如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数.,如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x) 在这一区间上具有(严格
2、的)单调性, 这一区间叫做函数 y=f(x) 的单调区间.,二、单调区间,1.取值: 对任意 x1, x2M, 且 x10(0) 的解集是区间 D;,不等式 f (x)0(0) 对于 xD 恒成立.,若函数 f(x) 可导,解: 函数 f(x) 的定义域为(-, 0)(0, +),典型例题,求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题, 但必须注意, 如果函数的解析式含有参数, 而且参数的取值影响函数的单调区间, 这时必须对参数的取值进行分类讨论.,注: 这个函数的单调性十分重要, 应用非常广泛, 它的图象如图所示:,3.设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1. (1)当 k 为
3、何值时, 函数 f(x) 的单调递减区间是 (0, 4); (2)当 k 为何值时, 函数 f(x) 在(0, 4)内单调递减.,不等式 f (x)0 的解集为(0, 4),0 与 4 是方程 kx2+2(k-1)x=0 的两根,即 kx2+2(k-1)x0 的解集为(0, 4),(2)命题等价于 kx2+2(k-1)x0 对 x(0, 4) 恒成立,设g(x)=kx+2(k-1),等价于 kx+2(k-1)0 得: x-1 或 0x1.,若 x1x25, 则 0f(x1)f(x2)1, 0f(x1)f(x2)0, F(x2)x15, 则 f(x2)f(x1)1, f(x1)f(x2)1,综上
4、, F(x) 在 (-, 5) 上为减函数, 在 (5, +) 上为增函数.,f(x2)-f(x1)0, F(x2)F(x1).,6.已知函数 f(x) 的定义域为 (-, 0)(0, +), 且满足条件: f(xy)=f(x)+f(y), f(2)=1, 当 x1 时, f(x)0. (1)求证: f(x)为偶函数；(2)讨论函数的单调性；(3)求不等式 f(x)+f(x-3)2的解集.,(1)证: 在中令 x=y=1, 得 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0.,令 x=y=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0.,再令 y=-1, 得 f(-x)=f(x)+f(
5、-1)=f(x).,f(x) 为偶函数.,先讨论 f(x) 在 (0, +) 上的单调性, 任取x1, x2, 设x2x10,f(x2)f(x1).,f(x) 在 (0, +) 上是增函数,由 (1) 知, f(x) 在(-, 0) 上是减函数.,偶函数图象关于 y 轴对称,(3)解: fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2,由 、 得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4),1)若 x(x-3)0, f(x) 在 (0, +) 上为增函数,由 fx(x-3)f(4) 得:,2)若 x(x-3)0, f(x) 在 (-, 0) 上为减函数,由 fx(x-3)f(-4) 得:,原
6、不等式的解集为-1, 0)(0, 3)(3, 4.,注 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题, 其基本方法是变量代换、换元等, 应熟练掌握它们的这些特点.,法二 原不等式等价于 f|x(x-3)|f(4)(x0, x-30), 由 f(x) 在 (0, +) 上为增函数得: |x(x-3)|4. 再进一步求得解集.,(1)证: 由已知, 对任意的 x1, x2(-, +) 且 x10, f(x2- x1)1.,f(x2- x1)-10.,f(x2)-f(x1)0 即 f(x2)f(x1).,f(x) 是 R 上 的增函数.,(2)解: f(4)=5, 令 a=b=2 得: f(4)=f(
7、2)+f(2)-1, 从而 f(2)=3.,原不等式等价于 f(3m2-m-2)f(2).,f(x) 是 R 上 的增函数,3m2-m-22, 即 3m2-m-40 时, 有 f(x)1. (1)求证: f(x) 是 R 上 的增函数; (2)若 f(4)=5, 解不等式 f(3m2-m-2)3., f(x) 的定义域关于原点对称, 且对定义域内的任意 x, 有:,解: 要使函数有意义必须:,解得: -1x1+x10; 1-x11-x20,即 f(x1)f(x2).,函数 f(x) 在 (0, 1) 内单调递减.,由于 f(x) 是奇函数,故函数 f(x) 在 (-1, 0) 内也单调递减.,
