1、- 1 -抛物线 1. 定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点 F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。2. 标准方程坐标系：使坐标轴经过点 F 且垂直于直线 l 于 K，并使原点与线段 KF 的中点重合。设|KF|=p（p0） ，则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表：图 形 标 准 方 程 焦 点 坐 标 准 线 方 程 y l M K O F x ypx20() 2， 2px y l F O K x yp20() 2， xp2 F y x l O K py20() 2， p y 3. 几何性质以抛物线 y2=2px（p0）为例。（1）
2、范围。x0，|y|随 x 增大而增大，但无渐近线。（2）对称性。关于 x 轴对称。 （对称轴与准线垂直）（3）顶点。对称轴与抛物线的交点。（4）离心率。同椭圆、双曲线离心率定义。e=1（注 e 与抛物线开口大小无关，开口大小由 p 值确定，画特征草图时，先画出通径（2p）过焦点且与对称轴垂直的弦） 。4. 几个重要的解析结果：（1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。（2）焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即 y1y2=p 2（p0）（ ） 焦 半 径 公 式 ：3|MFx（4）焦点弦长公式：|AB|=x 1+x2+p（x 1、x 2分别为 A、B 的横坐标）或|sin()ABp p 22
3、为 的 倾 斜 角 ， 由 此 知 ， 通 径 长 为 焦 点 弦 长 的 最 小 值 ：- 2 -1、 抛物线28yx的焦点到准线的距离是（ ）A 1 B2 C4 D82、 设抛物线2上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是（ ）A4 B6 C8 D123、 设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PAl，A 为垂足如果直线 AF 的斜率为 -3，那么|PF|=（ ）A 4 B8 C 83 D164、 已知抛物线2(0)ypx的准线与圆2670xy相切，则 p 的值为（ ）A1B1 C2 D4 5、 已知抛物线2(0)ypx，过其焦点
4、且斜率为 1 的直线交抛物线与 A、 B两点，若线段 AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为（ ）A 1x B 1 C 2x D 2x6、 已知抛物线 xyC2:与直线 :kyl， “ 0”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件.以抛物线 24yx的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）A. 20x B. 20yxC. y D. 已知抛物线 2(0)px的焦点为 F，点 1(,)Pxy、 2(,)xy、 3(,)Pxy在抛物线上，且 213x，则有 ( ) A. 123FP B. 2213PC. 1
5、 D. 设抛物线 2y=2x 的焦点为 F，过点 M（ ，0）的直线与抛物线相交于 A，B 两点，与抛物线的准线相交于 C， BF=2，则 BCF 与 ACF 的成面积之比 BCFAS=（A） 45 （B） 23 - 3 -（C） 47 （D） 12 1.设斜率为 2 的直线 l过抛物线 )0(axy的焦点 F，且和 y轴交于点 A，若 OF（O 为坐标原点）的面积为 4，则抛物线方程为（A） y（B） 82（C） x2（D） xy1在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知抛物线关于 x 轴对称,顶点在原点 O,且过点 P(2,4), 则该抛物线的方程是 .1若直线 axy1经过抛物线 42的焦点
6、,则 a= .1.抛物线 2的准线方程是 .过抛物线 )0(p的焦点F作倾斜角为45 0的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8，则p.过点A（1，0）作倾斜角为 4的直线，与抛物线2yx交于 MN、 两点，则 = 。.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在 x轴上，直 线 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 )2,(P为AB 的中点，则抛物线 C 的方程为 .来.抛物线 28yx的焦点坐标是 .过抛物线 (0)p 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 ,AB两点， ,在 x轴上的正射影分别为 ,DC若梯形 AB的面积为 2，则 p .动点 P到点 (2,)F的距离与它到直线 0x
7、的距离相等，则 P的轨迹方程为 。2.设抛物线 0ypx的焦点为 F，点 (,)A.若线段 F的中点 B在抛物线上，则 B到该抛物线准线的距离为_2.已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，AF2，则BF 。2已知以 F 为焦点的抛物线24x上的两点 A、B 满足 3，则弦 AB 的中点到准线的距离为_.已知抛物线2:(0)Cyp的准线为 l，过 (1,0)M且斜率为 的直线与 l相交于点 A，与 C的一个交点为 B若 AM，则 24若点 到直线 的距离比它到点 的距离小 1，则点 的轨迹为 P1x(2)， P25、已知点 在抛物线 上，那么点 到点 的距离与点
8、 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，24yP(,)Q点 的坐标为 26、已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点 的距离与 到该抛物线准线的距离之和的最P2x(0,2)P小值为 - 4 -27、已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 在 上且 ，则2:8CyxFxKAC2KAF的面积为 AFK28.已知抛物线 C： 2(0)p过点 A （1 , -2）.（I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于 OA（O 为坐标原点）的直线 L，使得直线 L 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 L 的距离等于 5？若存在，求直线 L 的方程；若不存在，说明理由.29.
9、已知 m 是非零实数，抛物线 2:Cypx（p0）的焦点 F 在直线2:0mlxy上. （I）若 m=2，求抛物线 C 的方程；（II）设直线 l与抛物线 C 交于 A、B，A 1, 1B的重心分别为 G,H求证：对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与 x 轴的交点在以线段 GH 为直径的圆外.- 5 -1-5：CBBCB 6-10: BDCAB 11.y=8x 12.-1 13.x= -1/4 14.2 15.26 16.y=4x 17.(2,0) 18.2 19.y=8x 20.32/4 21.2 22.8/3 23.2 24.y=8x 25.(1/4, -1) 26.17/2 27.8
10、28、 【规范解答】 （I）将 12， 代入 2ypx，得 21p， 2故所求的抛物线方程为 4yx，其准线方程为 ；（II）假设存在符合题意的直线 l，其方程为 2yxt，由24yxt得 20yt，因为直线 l与抛物线 C 有公共点，所以 480t，解得 1t。另一方面，由直线 OA 与直线 l的距离等于 5可得 5,1tt，由于 1,22，所以符合题意的直线 l存在，其方程为2yx.【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时，我们一定要注意判别式 的限制.因为抛物与直线有交点，注意应用 0进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围.29.【规范解答】()因为焦点 F( 2P
11、,0)在直线 l 上，得 2pm又 m=2,故 4p.所以抛物线 C 的方程为 28yx.（2）设 A(x1,y1) , B(x2,y2)，由 2,mx消去 x， 得 y22 m3y m40，由于 m0，故 4 m64 m40，且有 y1 y22 m3， y1y2 m4，设 M1， M2分别为线段 AA1， BB1的中点，由于 ,GFMH可知 G（ 1,3xy） ，H（ 2,3x） ，所以421212(),666312,y所以 GH 的中点 M 为42,3m.设 R 是以线段 GH 为直径的圆的半径，则 2221|(4)149RGHm- 6 -设抛物线的准线与 x 轴交点 N2(,0)m，则24232| ()36mmMN4242221184399m 422219R.故 N 在以线段 GH 为直径的圆外.
