1、4 多边形的内角和与外角和,1使学生掌握四边形的有关概念及四边形的内角和定理.,2通过引导学生观察气象站的实例，培养学生从具体事物中抽象出几何图形的能力.,3通过推导四边形内角和定理，对学生渗透化归转化的数学思想.,4讲解四边形的有关概念时，联系三角形的有关概念向学生渗透类比思想.,四边形,五边形,六边形,八边形,三角形,【定义】在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.,顶点,内角,边,对角线 (连接不相邻两个顶点的线段),这里所说的多边形都指凸多边形,我们现在研究的是如图1所示的多边形，是凸多边形； 如图2所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范围中
2、.今后如果不说明，我们讲的多边形都是凸多边形.,图2,上图广场中心的边缘是一个五边形，我们将共同来探求它的五个内角的和.,A,B,C,D,E,我们知道，三角形的内角和是_度,四边形的内角和是 度，那这个五边形的内角和呢？,180,360,你能动手做一做吗?你能想出几种不同的解法？,【想一想】,A,B,C,D,E,1803 = 540,【探究1】,3,4,5,6,7,n,1,n-2,2,3,4,5,180,360,540,720,900,(n2)180,(n2)180,(72)180,(62)180,(52)180,(42)180,(32)180,E,A,B,C,D,O,180 5 360= 5
3、40,【探究2】,还有其他的做法吗？,例如：,A,B,C,D,E,F,180 4 180 = 540,【探究3】,A,B,C,D,E,180+ 360 = 540,【探究4】,【解析】由多边形的内角和公式可得:,（n - 2） 180 = 1440，,(n - 2) = 8，,n = 10，,这是十边形.,十,1.如果一个多边形的内角和是1440度，那么这是_ 边形.,【做一做】,2.如图： (1)作多边形过顶点A的所有对角线，并分别用字母表达出来. (2)求这个多边形的内角和.,A,B,C,D,E,F,【解析】(1)过顶点A的对角线共有三条,分别是AC、AD和AE.,(2)这个多边形的内角和
4、是：(6-2) 180 = 720.,观察图中的多边形,它们的边、角有什么特点？,在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形.,正三角形,正方形,正五边形,正六边形,正八边形,（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？,（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？,菱形,矩形,（3）正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？正n边形呢？,（分别是60，90，108，120，135， ）,【议一议】,2.若正n边形的一个内角是144度，则n=_.,【解析】由多边形的内角和公式可得：,(n - 2) 180 = 144n，,180n 36
5、0 = 144n，,180n -144n=360，,36n = 360，,n = 10.,10,1.如果十二边形的每一个内角都相等，那么每个内角是 _度.,150,【跟踪训练】,3.在四边形ABCD中，A=120度，BCD =345，求B，C，D的度数.,【解析】设B，C,D的度数分别是3x,4x,5x度，由四边形的内角和等于360度可得：,120 + 3x + 4x + 5x = 360,12x = 240，,x = 20，, 3x = 60， 4x = 80， 5x = 100.,答：B,C，D的度数分别为60,80,100.,（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
6、,（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ （3）在上图中，你能求出1+2+3+4+5吗？你是怎样得到的？,A,B,C,D,E,1,2,3,4,5,【结论】1，2，3，4，5的和等于360,多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.,【结论】多边形的外角和等于360。,【想一想】如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？,【想一想】（1）还有什么方法可以推导出多边形外角和公式？ （2）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角和的结论？,【议一议】利用多边形外角和的结论，能推导多边
7、形内角和的结论吗？反过来呢？,一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？,【解析】设它是n边形.,外角和是360,内角和是(n-2)180，,3603= (n-2)180，,n=8.,1.（茂名中考）下列命题是假命题的是（ ） A.三角形的内角和是180 B.多边形的外角和都等于360 C.五边形的内角和是900 D.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,答案：选C,2（自贡中考）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620，则原来多边形的边数是（ ）. A10 B11 C12 D以上都有可能,答案：选D,3（肇庆中考）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个
8、多边形是（ ） A四边形 B五边形 C六边形 D八边形,答案：选,4.（江西中考）一大门的栏杆如图所示，BA垂直 于地面AE于A，CD平行于地面AE，则ABC+BCD度,答案：270,【规律方法】多边形的问题经常转化为三角形的问题求解，在三角形的基础上，利用三角形的边和角研究多边形的边和角.,本节课我们研究了多边形的定义及其内角和、外角和公式.,1.多边形的内角和公式, 即：n边形的内角和等于(n2)180,它揭示了多边 形内角和与边数之间的关系.,2.多边形的外角及其外角和公式.知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360，因而，求解有关多边形的角的计算题有时直接应用外角和公式会比较简便.,你可以选择这样的“三心二意”：信心、恒心、决心；创意、乐意。,
