1、第31卷第4期 Vol.31 No.4 工 程 力 学 2014年 4 月 Apr. 2014 ENGINEERING MECHANICS 46 收稿日期：2012-11-19；修改日期：2013-03-05 通讯作者：樊健生(1975)，男，山东人，教授，博士，从事结构工程研究(E-mail: ). 作者简介：刘宇飞(1988)，男，陕西人，博士生，从事结构控制研究(E-mail: )； 辛克贵(19502012)，男，四川人，教授，博士，博导，从事结构工程与工程力学领域研究； 崔定宇(1985)，男，重庆人，博士生，从事结构控制与健康监测研究(E-mail: ). 文章编号：1000-47
2、50(2014)04-0046-08 环境激励下结构模态参数识别方法综述刘宇飞1，辛克贵1,2，樊健生1,2，崔定宇1 (1. 清华大学土木工程安全与耐久教育部重点实验室，北京 100084；2. 清华大学土木工程系，北京 100084) 摘要：该文对环境激励下结构模态参数识别的 16 种常用算法进行了概括综述。该文将模态参数识别算法分类为时域、频域两类，并针对算法流程进一步地将时域方法分为一步法与两步法。在分类的基础上，阐述了算法的适用条件与基本流程，对其中一些重要算法的理论与实现过程进行了详细地讨论。最后，对结构模态识别中的模态验证方法进行了简要地论述。 关键词：环境激励；平稳激励；工作模
3、态；模态识别；模态验证 中图分类号：TU311.3 文献标志码：A doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2012.11.0873 A REVIEW OF STRUCTURE MODAL IDENTIFICATION METHODS THROUGH AMBIENT EXCITATION LIU Yu-fei1 , XIN Ke-gui1,2 , FAN Jian-sheng1,2 , CUI Ding-yu1 (1. Key Laboratory of Civil Engineering Safety and Durability of China Ministry of
4、 Education, Tsinghua University, Beijing 100084, China; 2. Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China) Abstract: A summary and review of 16 commonly used algorithms for structure modal parameter identification under the ambient excitation is presented in this paper.
5、After the classification of identification algorithms into time domain and frequency domain, the time domain algorithms are divided into the one-stage methods and two-stage methods ulteriorly based on the process of the algorithms. On the basis of the classification, the applicable condition and bas
6、ic process of the identification algorithms are described, among which the principle and realizing process of several important algorithms are discussed in detail. The modal validation methods in the structure modal parameter identification are presented basically at the end of this paper. Key words
7、: ambient excitation; stationary excitation; operational modal; modal identification; modal validation 环境激励(Ambient Excitation)下的模态分析属于工作状态模态分析(Operational Modal Analysis, Output-Only Modal Analysis, OMA)的一种。工作状态模态分析指结构或机械处于工作状态、运行状态时进行的模态分析，其特点是分析过程仅已知或仅利用系统振动的输出信号。与工作状态模态分析相对应的是实验状态模态分析(Experiment
8、al Modal Analysis, EMA)，区别是实验状态模态分析已知振动的输入信号和输出信号。工作状态模态分析由于系统输入信号未知，在系统参数求解时无法建立确定的激励-系统-响应模型，从而导致系统特征值解空间的扩大，降低了模态识别的精度。对于环境激励下的模态识别，经典的模态分析方法，如频域的频响函数估计(Estimation of Frequency Response Functions) 以及时域的脉冲响应函数估计(Estimation of Frequency Impulse Response Functions)，因为需要已经输入信号而不再适用。 对结构进行环境激励下的模态识别，可
9、以不暂停结构的正常使用。如桥梁可以正常通车，海洋平台可以正常工作。这极大地方便了在结构在正常使工 程 力 学 47 用状态下健康监测工作的进行。自20世纪70年代起，石油工业、汽车工业、航天工业的模态识别及损伤检测的需求12，促使环境激励下的模态识别与损伤检测领域快速发展，催生了一批平稳环境激励下时域频域模态参数识别的研究方法36。总体来言，环境激励下的模态参数识别在完成前期信号处理之后，需要经过模态识别、模态验证或虚假模态剔除这两个步骤。下文将对各种模态识别方法进行分类汇总、论述，并对模态验证进行简要介绍。本文主要讨论环境激励可近似为白噪音或平稳激励的情况。 1 环境激励模态识别方法的分类
10、环境激励模态识别方法，按照识别信号域的不同主要可分为频域方法与时域方法两种。频域的方法大多利用经典谱估计，属于非参数化的方法。对于已知输入信号的实验状态进行频域经典模态分析，可利用输入、输出信号求得频响函数，根据频响函数在系统固有频率附近会出现峰值的规律，进行模态识别。对于环境激励的模态分析，由于无法直接求得频响函数，需要利用其它信号特征来代替。已知输入、输出与频响函数的关系为：2 ()()()xxffSHSwww= 。式中， ()H w 为系统频响函数，()xxS w 为输入信号的自功率谱密度， ()ffS w 为输出信号的自功率谱密度。当环境输入信号为白噪音时， ()ffS w 等于常数
11、0S ，频响函数平方与 ()xxS w 成比例，即 ()xxS w 与频响函数的幅频部分平方成比例，故可使用功率谱密度函数或多点平均归一化的功率谱密度函数近似地代替频响函数79。此处的功率谱密度函数一般指自功率谱密度函数。利用功率谱密度函数进行模态识别的方法包括经典的峰值拾取法、频域分解法，以及当前常用的增强频域分解法、多参考点最小二乘复频域法等。 FFT iFFT自然激励技术多参考点自然激励技术平稳响应信号时间序列功率谱密度函数估计相关函数估计近似脉冲响应信号近似自由衰减信号分段加窗转频域后利用Welch平均周期法计算 系统模态参数峰值拾取法频域分解法增强频域分解法最小二乘复频域法多参考点最
12、小二乘复频域法随机减量技术基于数据的随机子空间法ARMA时序分析模型Ibrahim时域法最小二乘复指数法多参考点最小二乘复指数法特征系统实现算法希尔伯特-黄变换基于协方差的随机子空间法卷积频域方法时域两步法时域一步法图1 环境激励下模态识别的算法框架和流程 Fig.1 Algorithms framework and process for modal identification through ambient excitation 表1 环境激励下模态识别算法列表 Table 1 List of algorithms used in modal identification through
13、 ambient excitation 序号 中文名称 英文名称 英文缩写 1 峰值拾取法 Peak Picking method PP 2 频域分解法 Frequency Domain Decomposition method FDD 3 增强频域分解法 Enhanced Frequency Domain Decomposition method EFDD 4 最小二乘复频域法 Least-squares Complex Frequency Domain method LSCF 5 多参考点最小二乘复频域法 Polyreference Least-squares Complex Freque
14、ncy Domain method PolyMAX/PolyLSCF 6 自然激励技术 Natural Excitation Technique NExT 7 多参考点自然激励技术 Multiple-reference Natural Excitation Technique MNExT 8 随机减量技术 Random Decrement Function RDF 9 Ibrahim时域法 Ibrahim Time Domain method ITD 10 最小二乘复指数法/脉冲响应函数法 Least-squares Complex Exponential method LSCE 11 多参考
15、点最小二乘复指数法 Polyreference Least-squares Complex Exponential method Prony/PREC 12 特征系统实现算法 Eigensystem Realization Algorithm ERA 13 希尔伯特-黄变换 Hilbert-Huang Transform HHT 14 基于协方差的随机子空间法 Covariance-Driven Stochastic Subspace Identification SSI-Covariance 15 基于数据的随机子空间法 Data-Driven Stochastic Subspace Ide
16、ntification SSI-DATA 16 ARMA时序模型 ARMA time series model 模态识别的时域方法属于现代谱分析的范畴，是参数化方法。根据计算过程的不同，可大致分为一步法(one-stage methods)和两步法(two-stage methods)。一步法可直接利用响应信号求取系统参数；两步法需要首先对信号进行处理，得到中间时域序列如近似的相关函数、自由响应、脉冲响应等，48 工 程 力 学 之后利用时域经典模态识别算法进行计算。环境激励下模态识别的算法框架和流程详见图 1，其中包括了各种较常用的方法。涉及的各类算法的列表详见表1。 2 频域识别算法 2.
17、1 功率谱密度函数的计算 已知响应信号的时间序列，有两种途径可以计算得到功率谱密度函数10。1) 通过平均周期图法(Welch method)计算：将时序信号进行允许重叠的分段，其后对各段信号进行加窗傅氏变换后转入频域，求出功率谱密度之后进行平均。2) 在时域利用卷积求得相关函数(Correlation Function)，之后进行傅氏变换得到功率谱密度函数。第2)种方法由于时域卷积计算效率低下等原因较不常用。第 1)种方法，由于进行了平均处理，会降低功率谱密度函数的估计方差，具有较好的抗噪性。 下文介绍的各类频域模态识别法其初始思路多是基于频响函数的，由于频响函数可由功率谱密度函数近似代替，
18、下文直接认为算法的输入信号为功率谱密度函数。 2.2 峰值拾取法 利用功率谱密度函数在系统固有频率处出现的峰值，可实现对系统模态的识别。方法简单易行，但识别精度不高，并且难以用于密集模态的识别。为求取模态振型，可对功率谱密度函数进行曲线拟合(Curve-fitting)。类似的方法还有导纳圆法等。 2.3 频域分解法 频域分解法是峰值拾取法的改进算法，其基本概念由Prevosto11于1982年提出，主要解决了峰值拾取法难以处理密集模态的问题。通过对功率谱密度进行奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)，将多自由度系统的功率谱密度函数解藕为一系列单自由度
19、的功率谱密度函数，其后利用峰值法求取频率12。 2.4 增强频域分解法 增强频域分解法由 Brincker 等13于 2001 年提出，并直接应用于环境激励下的模态识别。与频域分解法不同地，增强频域分解法将分解后的单自由度功率谱密度函数进行逆傅氏变换，转入时域求得相关函数后，利用对数衰减法计算频率和阻尼比。与频域分解法相比：频域分解法对频率的求解依赖于FFT的分辨率，并且阻尼比的识别需要经过逆傅氏变换后在时域内完成，较为麻烦；增强频域分解法可在时域内直接完成频率与阻尼比的计算，理论思路清晰，抗噪性更好。Ying 等14在 EFDD 的基础上，利用自功率谱密度函数进行密集模态的识别，取得了良好的
20、效果。 2.5 最小二乘复频域法 该方法由比利时鲁汶大学Van der Auweraer等15于2001年提出；Guillaume等16将其应用于白噪音环境激励下的模态识别：利用输出响应的功率谱密度近似代替频响函数，使用极大似然估计使误差最小化，实现全局模态的识别。该方法的优势在于对系统极点识别具有较好的稳定性。 多参考点最小二乘复频域法是在最小二乘复频域法的基础上延伸发展的多输入多输出版本，提出多参考点形式的动机，主要是为了解决最小二乘复频域法在对同分母模型进行 SVD 分解时，频响函数拟合效果的下降以及初始稳定图中信息量的不足17。多参考点最小二乘复频域法是当前商业模态识别软件中较常用的一
21、种频域方法。 最小二乘复频域法与最小二乘复指数法在算法形式上比较类似，都是利用极大似然估计进行系统参数识别，其区别在于前者使用的拟合函数是频域的频响函数或代替频响函数的功率谱密度函数，后者使用的是时域的脉冲响应函数。 3 时域一步识别算法 3.1 基于数据的随机子空间法 基于数据的随机子空间法属于直接处理时间序列的时域方法，在近似白噪音的环境激励条件下，将响应数据组成Hankel矩阵，其后利用QR分解与 SVD 分解获得扩展的可观测矩阵及卡尔曼滤波状态，在状态确定的情况下将识别问题转变为系统矩阵的线性最小二乘问题。与两步法中基于协方差的随机子空间法相比，避免了协方差矩阵的计算，即不必将时域响应
22、数据转化为相关函数。 3.2 ARMA时序分析法 ARMA指自回归滑动平均模型，其特例包括自回归模型(Auto Regressive Model, AR)与滑动平均模型(Moving Average, MA)。ARMA时序模型是一种利用参数模型直接对有序随机振动响应数据进行处理识别来得到结构参数的方法，由Akaike于1969年使用于白噪音环境激励的模态识别中18。 工 程 力 学 49 4 时域两步识别算法 4.1 随机减量技术 随机减量技术是两步法中的第一步，用于从环境激励下的结构响应信号中提取结构的自由振动衰减信号，方法要求激励为白噪声。利用白噪声激励下系统产生的平稳响应方差为零这一特性
23、，可将体系响应中由初始位移、速度条件引起的强迫振动响应剔除，仅剩下系统的自由振动响应。 4.2 自然激励技术 环境激励下的自然激励技术由美国 SADIA 国家实验室的 James 等19于 1995 年提出，该方法利用白噪声环境激励下结构两点之间响应的互/自相关函数与脉冲响应函数形式类似的特性，用前者代替后者。事实上，利用互/自相关函数代表脉冲响应函数的思想由来已久，Clarkson 与 Mercer 在 1965年20就提出了白噪音激励下利用互/自相关函数代替脉冲响应函数的思想。 4.3 多参考点自然激励技术 利用自然激励技术进行互/自相关计算时，一般只选取一个响应点/通道作为参考点。由于单
24、一参考点很难充分包含结构各主要模态的能量，在互/自相关运算后可能会削减部分模态在信号中的能量，后续模态识别中容易导致模态丢失的发生。在利用多参考点自然激励技术计算时，所有响应信号通道要两两进行互/自相关的运算，从而形成一个形式上多输入多输出的脉冲响应函数矩阵，其后利用多输入多输出的时域模态识别算法进行计算。该方法由He等21于2006年提出。相对单参考点的自然激励技术，多参考点形式的算法鲁棒性更强，更适应于环境激励下的模态识别。 4.4 Ibrahim时域法 Ibrahim时域法是Ibrahim22于20世纪70年代提出的。利用自由振动衰减信号构造自由衰减响应数据矩阵，建立特征矩阵的数学模型，
25、对特征矩阵求解特征值后，利用特征值与模态频率与模态阻尼的关系求解系统模态10，属于一种单输入多输出的识别算法。与该方法类似地有节约时域法(STD)等。 4.5 最小二乘复指数法 最小二乘复指数法是20世纪70年代发展的一种单输入多输出(单参考点)的模态识别方法23，主要利用系统脉冲响应函数建立自回归模型并构造Prony 多项式，通过求解系统极点与留数来识别系统参数。 多参考点最小二乘复指数法克服了最小二乘复指数法仅能应用于单输出状态的不足，由美国结构动力研究公司提出2425。在 20 世纪末该法是应用比较广泛的一种主要的时域模态识别方法。 4.6 特征系统实现算法 特征系统实现算法的主要思想，
26、是利用系统的脉冲响应信号或自由响应信号构造Hankel矩阵，通过对矩阵进行 SVD 分解得到原系统的状态矩阵、控制矩阵以及观测矩阵的一组观测量。其后通过系统定阶，确定系统参数的一组最小实现2627。特征系统实现算法由Juang等于1985年提出，属于当前研究比较成熟的模态识别算法。在环境激励下，将自然激励技术或随机减量技术与其结合使用，均可组成较为实用的模态识别算法28。该算法在结构、桥梁的模态识别中有广泛的应用2931。 特征系统实现现法在应用时需要确定 Hankel矩阵的阶数(或Hankel矩阵子块/脉冲响应矩阵的个数)以及系统阶数。系统阶数一般利用对 Hankel 矩阵进行 SVD 分解
27、来确定。算法的流程图见图 2 所示。 图2 特征系统实现算法流程图 Fig.2 Algorithm process of ERA 4.7 希尔伯特-黄变换 希尔伯特-黄变换是一种新的分析非线性系统非平稳信号的自适应时频处理方法，由美国NASA的美籍华人黄愕博士于 1998 年提出32。该变换由经验模态分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)和希尔伯特变换(Hilbert Transform)组成。经50 工 程 力 学 验模态分解是处理时域曲线的方法，可将初始信号分解为一系列本征模态函数(Intrinsic Mode Function, IMF)和残量的叠加，
28、可实现对原信号的强制平稳化处理，以及由低频到高频的无混叠分解。其后利用希尔伯特变换，可完成频率与阻尼比的 识别。 图3 希尔伯特-黄变换应用于环境激励模态识别的流程 Fig.3 Algorithm process of HHT used in modal identification through ambient excitation 在环境激励下，经验模态分解获得的IMF分量是包括自由振动与强迫振动两类信号的，通过随机减量技术进行处理，可提取出自由振动信号用于模态分解33。希尔伯特-黄变换与自然激励技术结合也可用于环境激励的结构模态识别34，其利用脉冲响应信号进行模态识别的算法流程见图33
29、5所示。 相对于傅氏变换、小波变换，希尔伯特-黄变换的优点在于适应非线性问题，不过由于其理论基础不完善，在实用中存在一定局限。EMD 作为一种模态分解的方法，也可与其它模态识别方法联合使用。秦世强等36将EMD与SSI结合使用，成功应用于环境激励下密集模态结构的模态分析。 4.8 基于协方差的随机子空间法 随机子空间法有两种类型：基于协方差的(Covariance-Driven)与基于数据的(Data-Driven)。二者的主要区别在于前者需要利用系统响应的协方差组成 Toeplitz 矩阵，后者直接用响应数据组成Hankel矩阵，利用QR分解投影计算。由于白噪音下协方差与相关函数形式类似，故
30、基于协方差的随机子空间法可利用响应的互相关函数来构造Hankel矩阵，具体算法流程见图4。环境激励下的随机子空间法于1995年由Bart等37首次提出。 进行QR分解(行空间投影)得到扩展观测矩阵及卡尔曼滤波状态序列构造Hankel矩阵结构响应信号的相关函数利用SVD分解定阶对矩阵A进行特征值分解系统模态参数验证得到系统模态参数获得一组系统矩阵A-状态矩阵B-控制矩阵C-观测矩阵图4 基于协方差的随机子空间法算法流程 Fig.4 Algorithm process of SSI of covariance-driven 5 模态验证 模态验证或虚假模态剔除，是模态识别中非常重要的一个环节。对于
31、环境激励下的模态识别，由于无法由完整的激励、响应数据建立模型，噪声的干扰、激振的不充分，都容易影响识别结果的准确度与精度，使算法鲁棒性不强。因此在利用各类算法完成模态识别后，需要利用模态验证对识别结果进行鉴定。模态验证包括经验验证、数学指标验证、系统极点验证等类别。其中，经验验证指利用经验判断频率、振型等是否正确；其他验证方法见下文。 5.1 数学指标验证方法 当前常用的数学指标验证方法包括：1) 模态置信度(Modal Assurance Criterion, MAC)，用于衡量不同模态振型的相关性，可用于匹配计算振型与实验振型，也可用于比较损伤与未损伤状态的模态振型从而判断损伤程度，是一种
32、应用较多的模态验证指标。在模态验证中，可利用不同阶次模态进行MAC工 程 力 学 51 的自/互相关性分析，绘制直方图进行观察；也可以使用Jer-Nan Juang的定义26，求解某阶模态测量响应历程与模型响应历程向量的相关性。2) 模态比例因子/模态标定因子(Modal Scale Factor, MSF)38，当用于不同模态比较时，与MAC有正交关系。3) 模态相位共线性(Mode Phase Collineation, MPC)9,39，通过计算振型参数实虚部的线性关系用于检查某阶模态的复杂性程度。MPC指标接近0，说明模态比较复杂，可能存在噪音形成的模态；4) 模态复杂性(Mode C
33、omplexity, MOV)9，通过给结构增加附加质量来计算模态的频率灵敏度，MOV 越低表明模态可能是噪声模态。 5.2 稳定图 稳定图(Stability Diagram, SD)是基于系统阶数敏感度分析的一种常用的系统极点辨别方法。稳定图的横坐标为频率，纵坐标为系统阶数。其原理是选用不同系统阶数完成模态识别，通过鉴定系统极点对频率、归一化的振型、阻尼比的稳定性来判断极点的真实性。通常稳定图可辅助以功率谱密度函数进行模态判断。图5是对ASCE的Benchmark问题利用NexT-ERA方法进行模态识别的稳定图，图中使用了频率稳定的系统极点与平均归一化的结构响应功率谱密度图进行模态验证，准
34、确地确定了系统的前四阶模态。 图5 Benchmark模型稳定图 Fig.5 Stability diagram of benchmark model 6 结论 本文对环境激励下的常用模态识别算法进行了分类汇总与简要介绍，重点对其中几种主要算法的理论与算法流程进行了详细的论述。在文章末尾，介绍了模态验证的各类指标与方法，并以ASCE Benchmark模型为算例给出了稳定图的示例。 目前，在环境激励下结构模态参数识别的问题中，主要存在激励不充分或不平稳，模态识别精度较差、虚假模态较多，模态振型无法归一化等问题： (1) 对于环境激励，由于激励、系统均未知，常常需要把激励信号认为是白噪声或适当宽
35、松地认为是平稳信号，以方便通过信号的统计规律进行系统识别，这也正是本文中涉及到的诸多算法的基本假设。而事实上，在结构正常使用的情况下，如桥梁过车、高层结构受风荷载作用等，其环境激励大多时是非平稳的。例如城市人行天桥在行人经过或无行人经过的两种情况中，跨中节点速度信号幅值甚至会相差数十倍。如何处理非平稳信号，是实现利用环境激励进行结构模态识别的关键性问题。 (2) 不同于实验状态模态分析，环境激励无法设计激励形式及激励能量，因此很有可能对结构的激励不充分，从而导致部分阶次的模态难以识别。比较具体的一个例子，是在对结构进行精细的损伤识别时，往往需要利用结构较高阶次的模态，而环境激励很难实现这样的激
36、励。 (3) 模态振型无法归一化，指利用环境激励进行模态识别，由于激励未知，因此识别得到的振型只是一个相对量。纪晓东等30利用质量灵敏度方法，在实验进程中在结构上附着已经参数的质量块，从而实现对识别振型的质量归一化。该方法精度较好，但较难应用于不中断结构使用的外业实验。 52 工 程 力 学 参考文献： 1 Sohn H, Farrar C R, Hemez F M, et al. A review of structural health monitoring literature: 1996-2001 M. New Mexico, Los Alamos National Laborator
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