二次函数在实际生活中的应用及建模应用.doc

1、二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1运用配方法求最值；2构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3建立函数模型求最值；4利用基本不等式或不等分析法求最值一、利用二次函数解决几何面积最大问题1、 如 图 1， 用 长 为 18米 的 篱 笆 （ 虚 线 部 分 ） 和 两 面 墙 围 成 矩 形 苗 圃 。(1)设 矩 形 的 一 边 长 为 x（ 米 ） ， 面 积 为 y（ 平 方 米 ） ， 求 y 关 于 x 的 函 数 关 系 式 ；(2)当 x 为 何 值 时 ， 所 围 成 的 苗 圃 面 积 最 大 ？ 最 大 面 积 是 多 少 ？

2、解 ： （ 1） 设 矩 形 的 长 为 x（ 米 ） ， 则 宽 为 （ 18- x） （ 米 ） ， 根 据 题 意 ， 得 ：； 又y18)8(20,18x（自变量 x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是：利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式中，18-x，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该0，但边长最长不能超过18，于是有018-x18，0x18）（2） 中，a= -10，y 有最大值，xxy18)18(2即当 时， 9)(abx 81)(4022max bcy故 当 x=9米 时 ， 苗 圃 的 面 积 最 大

3、， 最 大 面 积 为 81平 方 米 。点 评 ： 在 回 答 问 题 实 际 时 ， 一 定 注 意 不 要 遗 漏 了 单 位 。2、 如 图 2， 用 长 为 50米 的 篱 笆 围 成 一 个 养 鸡 场 ， 养 鸡 场 的 一 面 靠 墙 。 问 如 何 围 ， 才 能 使养 鸡 场 的 面 积 最 大 ？解 ： 设 养 鸡 场 的 长 为 x（ 米 ） ， 面 积 为 y（ 平 方 米 ） ， 则 宽 为 （ ） （ 米 ） ， 250x根 据 题 意 ， 得 ： ；xy251)250(又 ,025xx 中，a= 0，y 有最大值，xy251)(1即当 时，25)1(2abx 2

4、65)1(402max bcy故 当 x=25 米 时 ， 养 鸡 场 的 面 积 最 大 ， 养 鸡 场 最 大 面 积 为 平 方 米 。3、 将 一 条 长 为 20cm 的 铁 丝 剪 成 两 段 ， 并 以 每 一 段 铁 丝 的 长 度 为 周 长 做 成 一 个 正 方 形 (1)要 使 这 两 个 正 方 形 的 面 积 之 和 等 于 17cm2， 那 么 这 段 铁 丝 剪 成 两 段 后 的 长 度 分 别是 多 少 ?(2)两 个 正 方 形 的 面 积 之 和 可 能 等 于 12cm2吗 ? 若 能 ， 求 出 两 段 铁 丝 的 长 度 ； 若 不 能 ，请 说

5、明 理 由 解 ： （ 1） 设 剪 成 两 段 后 其 中 一 段 为 xcm， 则 另 一 段 为 （ 20-x） cm 由 题 意 得 ： 解 得 ： 17)420()xx 4,162当 时 ， 20-x=4； 当 时 ， 20-x=1616x2答 ： 这 段 铁 丝 剪 成 两 段 后 的 长 度 分 别 是 16厘 米 、 4厘 米 。（ 2） 不 能 。 理 由 是 ： 设 第 一 个 正 方 形 的 边 长 为 xcm， 则 第 二 个 正 方 形 的 边 长 为cm， 围 成 两 个 正 方 形 的 面 积 为 ycm2，)5(40x根 据 题 意 ， 得 ： ，5102)5(

6、2 xxy 中 ， a= 2 0， y 有 最 小 值 ，10)5(2xy即 当 时 ， =12.5 122ab 244min bcy故 两 个 正 方 形 面 积 的 和 不 可 能 是 12cm2.4、 如 图 ， 正 方 形 EFGH 的 顶 点 在 边 长 为 a 的 正 方 形 ABCD 的 边 上 ， 若 AE=x， 正 方 形EFGH 的 面 积 为 y.(1)求 出 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ；(2)正 方 形 EFGH 有 没 有 最 大 面 积 ？ 若 有 ， 试 确 定 E 点 位 置 ； 若 没 有 ， 说 明 理 由 .解 ： 四 边 形 ABCD

7、是 边 长 为 a 米 的 正 方 形 ， A= D=90， AD= a 米 四 边 形 EFGH 为 正 方 形 ， FEH=90， EF=EH在 AEF 与 DHE 中 ， A= D， AEF= DHE=90- DEH， EF=EH AEF DHE（ AAS） ， AE=DH=x 米 ， AF=DE=（ a-x） 米 ， y=EF2=AE2+AF2=x2+（ a-x） 2=2x2-2ax+ a2， 即 y=2x2-2ax+ a2；（ 2） y=2x2-2ax+ a2=2（ x- ） 2+ ， 当 x= 时 ， S 有 最 大 值 4故 当 点 E 是 AB 的 中 点 时 ， 面 积 最

8、大 5、 在 矩 形 ABCD 中 ， AB=6cm， BC=12cm， 点 P 从 点 A 出 发 ， 沿 AB 边 向 点 B 以 1cm s的 速 度 移 动 ， 同 时 点 Q 从 点 B 出 发 沿 BC 边 向 点 C 以 2cm s 的 速 度 移 动 ， 如 果 P、 Q 两 点同 时 出 发 ， 分 别 到 达 B、 C 两 点 后 就 停 止 移 动 （ 1） 运 动 第 t 秒 时 ， PBQ 的 面 积 y(cm)是 多 少 ？（ 2） 此 时 五 边 形 APQCD 的 面 积 是 S(cm)， 写 出 S 与 t 的 函 数 关 系 式 ， 并 指 出 自 变 量的

9、 取 值 范 围 （ 3） t 为 何 值 时 s 最 小 ， 最 小 值 时 多 少 ？答 案 ： 63360721266)( 2有 最 小 值 等 于时 ；当 ）（）（ ）（）（）（ ）（ St tttty6、 小 明 的 家 门 前 有 一 块 空 地 ， 空 地 外 有 一 面 长 10米 的 围 墙 ， 为 了 美 化 生 活 环 境 ， 小 明的 爸 爸 准 备 靠 墙 修 建 一 个 矩 形 花 圃 ， 他 买 回 了 32米 长 的 不 锈 钢 管 准 备 作 为 花 圃 的 围 栏 ， 为了 浇 花 和 赏 花 的 方 便 ， 准 备 在 花 圃 的 中 间 再 围 出 一

10、条 宽 为 一 米 的 通 道 及 在 左 右 花 圃 各 放 一 个 1米 宽 的 门 （ 木 质 ） 花 圃 的 长 与 宽 如 何 设 计 才 能 使 花 圃 的 面 积 最 大 ？解 ： 设 花 圃 的 宽 为 x 米 , 则 花 圃 的 长 为 （ 32-4x+3） =（ 35-4x） 米 ,面 积 为 S从 而 S=x(35-4x)-x=-4x+34x 0 35-4x 10 6.25 x 8.75S=-4x+34x,对 称 轴 x=4.25,开 口 朝 下 当 x 6.25时 S 随 x 的 增 大 而 减 小故 当 x=6.25时 , 35-46.25=10S 取 最 大 值 5

11、6.25 .答 ： 可 设 计 成 宽 6.25米 ， 长 10米 的 矩 形 花 圃 ， 这 样 的 花 圃 面 积 最 大 变 式 1： 小 明 的 家 门 前 有 一 块 空 地 ,空 地 外 有 一 面 长 10米 的 围 墙 ,为 了 美 化 生 活 环 境 ,小 明 的 爸 爸 准 备 靠 墙 修 建 一 个 矩 形 花 圃 ,他 买 回 了 32米 长 的 不 锈 钢 管 准 备 作 为 花 圃 的 围 栏 ,花圃 的 宽 宽 究 竟 应 为 多 少 米 才 能 使 花 圃 的 面 积 最 大 ?解 ： 设 花 圃 的 宽 为 x 米 , 则 花 圃 的 长 为 （ 32-2x）

12、 米 ,面 积 为 S设 矩 形 面 积 为 y 米 ,得 到 ：S=x（ 32-2x） =-2x+32x 0 32-2x 10 11 x 16由 图 象 或 增 减 性 可 知 x=11米 时 ,S 最 大 =110米 7： 某 人 定 制 了 一 批 地 砖 ， 每 块 地 砖 （ 如 图 (1)所 示 ） 是 边 长 为 0.4米 的 正 方 形 ABCD，点 E、 F 分 别 在 边 BC 和 CD 上 ， CFE、 ABE 和 四 边 形 AEFD 均 由 单 一 材 料 制 成 ， 制 成 CFE、 ABE 和 四 边 形 AEFD 的 三 种 材 料 的 每 平 方 米 价 格

13、依 次 为 30元 、 20元 、 10元 ， 若 将 此种 地 砖 按 图 (2)所 示 的 形 式 铺 设 ， 且 能 使 中 间 的 阴 影 部 分 组 成 四 边 形 EFGH(1)判 断 图 (2)中 四 边 形 EFGH 是 何 形 状 ， 并 说 明 理 由 ；(2)E、 F 在 什 么 位 置 时 ， 定 制 这 批 地 砖 所 需 的 材 料 费 用 最 省 ？解 ： (1) 四 边 形 EFGH 是 正 方 形 图 (2)可 以 看 作 是 由 四 块 图 (1)所 示 地 砖 绕 C 点按 顺 (逆 )时 针 方 向 旋 转 90后 得 到 的 ，故 CE=CF =CG

14、CEF 是 等 腰 直 角 三 角 形因 此 四 边 形 EFGH 是 正 方 形 (2)设 CE=x, 则 BE=0.4 x， 每 块 地 砖 的 费 用 为 y 元那 么 ： y= x 30+ 0.4(0.4-x)20+0.16- x - 0.4(0.4-x)10)2.(12).(当 x=0.1时 ， y 有 最 小 值 ， 即 费 用 为 最 省 ， 此 时 CE=CF=0.1答 ： 当 CE=CF=0.1米 时 ， 总 费 用 最 省 8、 某 居 民 小 区 要 在 一 块 一 边 靠 墙 (墙 长 15m)的 空 地 上 建 一 个 矩 形 花 园 ABCD， 花 园 的一 边 靠

15、 墙 ， 另 三 边 用 总 长 为 40m 的 栅 栏 围 成 若 设 花 园 的 宽 为 x(m) ， 花 园 的 面 积 为y(m)(1)求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 ， 并 写 出 自 变 量 的 取 值 范 围 ；（ 2） 根 据 （ 1） 中 求 得 的 函 数 关 系 式 ， 描 述 其 图 象 的 变 化 趋 势 ； 并 结 合 题 意 判 断 当x 取 何 值 时 ， 花 园 的 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 是 多 少 ？解 ： )240(xy)20(x20)1(x 54020.1x 二 次 函 数 的 顶 点 不 在 自 变 量 的 范 围 内 ，而

16、当 内 ， 随 的 增 大 而 减 小 ， 当 时 ，20.1xy 5.12x(平 方 米 )5.187)5(max y答 ： 当 米 时 花 园 的 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 是 187.5平 方 米 .9 如 图 ， 要 建 一 个 长 方 形 养 鸡 场 ， 鸡 场 的 一 边 靠 墙 ， 如 果 用 50 m 长 的 篱 笆 围 成 中 间有 一 道 篱 笆 隔 墙 的 养 鸡 场 ， 设 它 的 长 度 为 x 米 (1)要 使 鸡 场 面 积 最 大 ， 鸡 场 的 长 度 应 为 多 少 m？(2)如 果 中 间 有 n(n 是 大 于 1的 整 数 )道 篱 笆 隔

17、墙 ， 要 使 鸡 场 面 积 最 大 ， 鸡 场 的 长 应 为 多少 米 ？ 比 较 (1)(2)的 结 果 ， 你 能 得 到 什 么 结 论 ？ x解 ： (1) 长 为 x 米 ， 则 宽 为 米 ， 设 面 积 为 平 方 米 350xS)(3502xS 625)(1 当 时 ， (平 方 米 )65maxS即 ： 鸡 场 的 长 度 为 25米 时 ， 面 积 最 大 (2) 中 间 有 道 篱 笆 ， 则 宽 为 米 ， 设 面 积 为 平 方 米 n20nxS则 ：)5(12502xS 265)(1n 当 时 ， (平 方 米 )x6maxn由 (1)(2)可 知 ， 无 论

18、 中 间 有 几 道 篱 笆 墙 ， 要 使 面 积 最 大 ， 长 都 是 25米 即 ： 使 面 积 最 大 的 值 与 中 间 有 多 少 道 隔 墙 无 关 10、 (08山 东 聊 城 )如 图 ， 把 一 张 长 10cm， 宽 8cm 的 矩 形 硬 纸 板 的 四 周 各 剪 去 一 个 同 样 大小 的 正 方 形 ， 再 折 合 成 一 个 无 盖 的 长 方 体 盒 子 （ 纸 板 的 厚 度 忽 略 不 计 ） （ 1） 要 使 长 方 体 盒 子 的 底 面 积 为 48cm2， 那 么 剪 去 的 正 方 形 的 边 长 为 多 少 ？ （ 如 果 要 问 ，剪 去

19、 四 个 正 方 形 后 的 面 积 是 多 少 ）（ 2） 你 感 到 折 合 而 成 的 长 方 体 盒 子 的 侧 面 积 会 不 会 有 更 大 的 情 况 ？ 如 果 有 ， 请 你 求 出 最大 值 和 此 时 剪 去 的 正 方 形 的 边 长 ； 如 果 没 有 ， 请 你 说 明 理 由 ；（ 3） 如 果 把 矩 形 硬 纸 板 的 四 周 分 别 剪 去 2个 同 样 大 小 的 正 方 形 和 2个 同 样 形 状 、 同 样大 小 的 矩 形 ， 然 后 折 合 成 一 个 有 盖 的 长 方 体 盒 子 ， 是 否 有 侧 面 积 最 大 的 情 况 ； 如 果 有

20、 ， 请 你求 出 最 大 值 和 此 时 剪 去 的 正 方 形 的 边 长 ； 如 果 没 有 ， 请 你 说 明 理 由 解 ： （ 1） 设 正 方 形 的 边 长 为 cm，则 即 解 得 （ 不 合 题 意 ， 舍 去 ） ， 剪 去 的 正 方 形 的 边 长 为 1cm（ 2） 有 侧 面 积 最 大 的 情 况 设 正 方 形 的 边 长 为 cm， 盒 子 的 侧 面 积 为 cm2， 则 与 的 函 数 关 系 式 为 ： 即 改 写 为 当 时 ， 即 当 剪 去 的 正 方 形 的 边 长 为 2.25cm 时 ， 长 方 体 盒 子 的 侧 面 积 最 大 为 40

21、.5cm2（ 3） 有 侧 面 积 最 大 的 情 况 设 正 方 形 的 边 长 为 cm， 盒 子 的 侧 面 积 为 cm2 若 按 图 1所 示 的 方 法 剪 折 ，则 与 的 函 数 关 系 式 为 ： 即 xxy10)8(2当 时 ， 若 按 图 2所 示 的 方 法 剪 折 ， 则 与 的 函 数 关 系 式 为 ： 即 xxy28)10(2当 时 ， 比 较 以 上 两 种 剪 折 方 法 可 以 看 出 ， 按 图 2所 示 的 方 法 剪 折 得 到 的 盒 子 侧 面 积 最 大 ， 即 当剪 去 的 正 方 形 的 边 长 为 cm 时 ， 折 成 的 有 盖 长 方

22、 体 盒 子 的 侧 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 为cm211 (08兰 州 )一 座 拱 桥 的 轮 廓 是 抛 物 线 型 (如 图 16所 示 )， 拱 高 6m， 跨 度 20m， 相 邻 两支 柱 间 的 距 离 均 为 5m（ 1） 将 抛 物 线 放 在 所 给 的 直 角 坐 标 系 中 (如 图 17所 示 )， 求 抛 物 线 的 解 析 式 ；（ 2） 求 支 柱 的 长 度 ；（ 3） 拱 桥 下 地 平 面 是 双 向 行 车 道 (正 中 间 是 一 条 宽 2m 的 隔 离 带 )， 其 中 的 一 条 行 车 道能 否 并 排 行 驶 宽 2m、 高 3

23、m 的 三 辆 汽 车 (汽 车 间 的 间 隔 忽 略 不 计 )？ 请 说 明 你 的 理 由 解 ： （ 1） 根 据 题 目 条 件 ， 的 坐 标 分 别 是 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 ，将 的 坐 标 代 入 ， 得 解 得 所 以 抛 物 线 的 表 达 式 是 （ 2） 可 设 ， 于 是 从 而 支 柱 的 长 度 是 米 （ 3） 设 是 隔 离 带 的 宽 ， 是 三 辆 车 的 宽 度 和 ， 则 点 坐 标 是 过 点 作 垂 直 交 抛 物 线 于 ， 则 根 据 抛 物 线 的 特 点 ， 可 知 一 条 行 车 道 能 并 排 行 驶 这 样 的 三

24、辆 汽 车 12、12、 (2006 年南京市)如图，在矩形 ABCD 中，AB=2AD，线段 EF=10在 EF 上取一点 M， 分别以 EM、MF为一边作矩形 EMNH、矩形 MFGN，使矩形 MFGN矩形 ABCD令 MN=x，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？最大值是多少？解：矩形 MFGN矩形 ABCDMF=2MN =2x EM=10-2xS=x（10-2x）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ，10x5x当 x=2.5 时，S 有最大值 12.513、已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图），其中 AF=2，BF=1试

25、在 AB 上求一点P，使矩形 PNDM 有最大面积 解：设矩形 PNDM 的边 DN=x，NP=y ，则矩形 PNDM 的面积 S=xy（ 2x4）易知 CN=4-x，EM=4-y过点 B 作 BH PN 于点 H则有AFB BHP ，即 ，PFA3412yx ，5xy，S2)4(x此二次函数的图象开口向下，对称轴为 x=5，当 x5 时，函数值 随 的增大而增大，y对于 来说，当 x=4 时， 4x 124521最 大S【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间14如图，矩形 ABCD

26、的边 AB=6 cm，BC=8cm ，在 BC 上取一点 P，在 CD 边上取一点 Q，使APQ 成直角，设 BP=x cm，CQ=y cm，试以 x 为自变量，写出 y 与 x 的函数关系式A B C D P Q 解：APQ=90, APB+QPC=90.APB+BAP=90,QPC=BAP，B= C=90.ABP PCQ. ,86,yxCQBPA y341215、如图所示，在一个直角MBN 的内部作一个长方形 ABCD，其中 AB 和 BC 分别在两直角边上，设 AB=x m，长方形的面积为 y m2，要使长方形的面积最大，其边长 x 应为( D )A m B6 m C15 m D m4

27、25解：AB=x m， AD= ，长方形的面积为 y m2 b5 m12 mA B C DADBC MAD MBN ，即 ，MBAND512x)5(1xb, 当 时， 有最大值()(2xby .2y二 、 利 用 二 次 函 数 解 决 抛 物 线 形 建 筑 物 问 题1、 如 图 （ 1） 是 一 个 横 断 面 为 抛 物 线 形 状 的 拱 桥 ， 当 水 面 在 l 时 ， 拱 顶 （ 拱 桥 洞 的 最高 点 ） 离 水 面 2m， 水 面 宽 4m 如 图 （ 2） 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 则 抛 物 线 的 关 系 式 是 .解 ： 设 此 函 数 解 析 式

28、为 ： ， （ a 0） ； 那 么yx=（ 2， -2） 应 在 此 函 数 解 析 式 上 则 即 得 ， 那 么 4a=12-21x-2、 某 地 要 建 造 一 个 圆 形 喷 水 池 ， 在 水 池 中 央 垂 直 于 水面 安 装 一 个 花 形 柱 子 OA， O 恰 在 水 面 中 心 ， 安 置 在 柱 子 顶 端 A 处 的 喷 头 向 外 喷 水 ， 水 流 在各 个 方 向 上 沿 形 状 相 同 的 抛 物 线 路 径 落 下 ， 且 在 过 OA 的 任 一 平 面 上 ， 抛 物 线 形 状 如 图（ 1） 所 示 .图 （ 2） 建 立 直 角 坐 标 系 ，

29、水 流 喷 出 的 高 度 y（ 米 ） 与 水 平 距 离 x（ 米 ） 之 间图（1） 图（2）的 关 系 是 .请 回 答 下 列 问 题 ： (1)柱 子 OA 的 高 度 是 多 少 米 ？452xy(2)喷 出 的 水 流 距 水 平 面 的 最 大 高 度 是 多 少 米 ？(3)若 不 计 其 他 因 素 ， 水 池 的 半 径 至 少 要 多 少 米 才 能 使 喷 出 的 水 流 不 至 于 落 在 池 外 ？解：（1）把 x=0 代入抛物线的解析式得：y= ，即柱子 OA 的高度是4545（2）由题意得：当 x= 时，y= ,即水流距水平面的最大高度2=1（ ） 9（3）

30、把 y=0 代入抛物线得： =0，解得，x 1= (舍去，不合题意 )，x 2=452x 5故 水 池 的 半 径 至 少 要 米 才 能 使 喷 出 的 水 流 不 至 于 落 在 池 外23 一 座 桥 如 图 ， 桥 下 水 面 宽 度 AB 是 20 米 ， 高 CD 是 4 米 .要 使 高 为 3 米 的 船 通 过 ，则 其 宽 度 须 不 超 过 多 少 米 .（ 1） 如 图 1， 若 把 桥 看 做 是 抛 物 线 的 一 部 分 ， 建 立 如 图 坐 标 系 . 求 抛 物 线 的 解 析 式 ； 要 使 高 为 3 米 的 船 通 过 ， 则 其 宽 度 须 不 超

31、过 多 少 米 ?（ 2） 如 图 2， 若 把 桥 看 做 是 圆 的 一 部 分 . 求 圆 的 半 径 ； 要 使 高 为 3 米 的 船 通 过 ， 则 其 宽 度 须 不 超 过 多 少 米 ?解 ： （ 1） 设 抛 物 线 解 析 式 为 ： ，2yaxc 桥 下 水 面 宽 度 AB 是 20 米 ， 高 CD 是 4 米 ， A（ 10， 0） ， B（ 10， 0） ， D（ 0， 4） ， ， 解 得 ： ， 抛 物 线 解 析 式 为 ： ；4ac54ac 2145yx 要 使 高 为 3 米 的 船 通 过 ， ， 则 ， 解 得 ： ， EF=10 米 ；3y214

32、5x（ 2） 设 圆 半 径 r 米 ， 圆 心 为 W， BW2=BC2+CW2， ， 解 得 ：22()r；14.5r 在 RT WGF 中 ， 由 题 可 知 ， WF=14.5， WG=14.5 1=13.5， 根 据 勾 股 定 理 知 ：GF2=WF2 WG2， 即 GF2=14.52 13.52=28， 所 以 GF= ， 此 时 宽 度 EF= 米 27474.有 一 座 抛 物 线 形 拱 桥 ， 正 常 水 位 桥 下 面 宽 度 为 20米 ， 拱 顶 距 离 水 平 面 4米 ， 如 图 建立 直 角 坐 标 系 ， 若 正 常 水 位 时 ， 桥 下 水 深 6米 ，

33、 为 保 证 过 往 船 只 顺 利 航 行 ， 桥 下 水 面 宽 度 不得 小 于 18米 ， 则 当 水 深 超 过 多 少 米 时 ， 就 会 影 响 过 往 船 只 的 顺 利 航 行 （ ）A 2.76米 B 6.76米解 ： 设 该 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax2， 在 正 常 水 位 下 x=10， y=-4， 代 入 解 析 式 得-4=a102 a=-1/25 所 以 此 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y=-x2/25因 为 桥 下 水 面 宽 度 不 得 小 于 18米 ， 所 以 令 x=9时 可 得 ： y=-81/25=-3.24此 时 水 深 6

34、+4-3.24=6.76米即 桥 下 水 深 6.76米 时 正 好 通 过 ， 所 以 超 过 6.76米 时 则 不 能 通 过 故 选 B5、 有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为 20m,拱顶距离水面 4m（1）在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式；（2）在正常水位的基础上,当水位上升 h（m）时,桥下水面的宽度为 d（m）,求出将 d 表示 h的函数解析式.（3）设正常水位时桥下的水深为 2m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于 18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行?解：(1)设 该 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax2， 在

35、 正 常 水 位 下 x=10， y=-4， 代 入 解 析 式 得-4=a102 a=-1/25 所 以 此 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y=-x2/25(2)设水面上升 hm，水面与抛物线的交点为（d/2,h-4），带入抛物线得h-4=-d2/41/25 化简得：d=104-h(3)将 d=18 代入 d=104-h 得：h=0.76 所求最大水深为：2+0.76=2.76(米) 所以当水深超过 2.76 米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行6、林 书 豪 身 高 1.91m， 在 某 次 投 篮 中 ， 球 的 运 动 路 线 是 抛 物 线y= x2+3.5的 一 部 分 （

36、如 图 ） ， 若 命 中 篮 圈 中 心 ， 则 他 与 篮 底 的 距1-离 约 为 （ ） A 3.2m B 4m解 ： 由 题 意 得 ： 3.05= x2+3.5，1-x2=2.25， 篮 圈 中 心 在 第 一 象 限 ， x=1.5， 他 与 篮 底 的 距 离 约 为 1.5+2.5=4m， 故 选 B7.如 图 是 江 夏 宁 港 灵 山 脚 下 古 河 道 上 一 座 已 有 了 400年 历 史 的 古 拱 桥 的 截 面 图 ， 这 座拱 桥 桥 洞 上 沿 是 抛 物 线 形 状 ， 若 把 拱 桥 的 截 面 图 放 在 平 面 直 角坐 标 系 中 ， 则 抛 物

37、 线 两 端 点 与 水 面 的 距 离 都 是 1m， 拱 桥 的跨 度 为 10m， 桥 洞 与 水 面 的 最 大 距 离 是 5m， 如 果 在 桥 洞 两 侧壁 上 各 安 装 一 盏 距 离 水 面 4m 的 景 观 灯 ， 则 两 盏 景 观 灯 之 间 的水 平 距 离 是 （ ）A 3m B 4m C 5m D 6m解 ： 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为 （ 5， 5） ， 且 经 过 点 （ 0， 1） ，设 抛 物 线 解 析 式 为 y=a（ x-5） 2+5，把 点 （ 0， 1） 代 入 得 ： a=-4/25抛 物 线 解 析 式 为 y=-4/25（ x-5

38、） 2+5， 令 y=4， 得 :x1=15/2 x2=5/2 盏 景 观 灯 之 间 的 水 平 距 离 是 ： 15/2-5/2=5m 故 选 C先 不 做 此 题 7.如 图 ， 在 “江 夏 杯 ”钓 鱼 比 赛 中 ， 选 手 甲 钓 到 了 一 条 大 鱼 ， 鱼 竿 被 拉 弯近 似 可 看 作 以 A 为 最 高 点 的 一 条 抛 物 线 ， 已 知 鱼 线 AB 长 6m， 鱼 隐 约 在 水 面 了 ， 估 计 鱼 离鱼 竿 支 点 有 8m， 此 时 鱼 竿 鱼 线 呈 一 个 平 面 ， 且 与 水 平 面 夹 脚 恰 好 为 60， 以 鱼 竿 支 点为 原 点 ，

39、 则 鱼 竿 所 在 抛 物 线 的 解 析 式 为 8.如 图 ， AB 是 自 动 喷 灌 设 备 的 水 管 ， 点 A 在 地 面 ， 点 B 高 出 地 面 1.5米 在 B 处 有 一 自 动 旋 转 的 喷 水 头 ， 在 每 一 瞬 间 ， 喷 出 的 水 流 呈 抛 物 线 状 ，喷 头 B 与 水 流 最 高 点 C 的 连 线 与 水 平 线 成 45角 ， 水 流 的 最 高 点 C 与 喷头 B 高 出 2米 ， 在 如 图 的 坐 标 系 中 ， 水 流 的 落 地 点 D 到 点 A 的 距 离 是 米 解 ： 如 图 ， 建 立 直 角 坐 标 系 ， 过 C

40、点 作 CE y 轴 于 E， 过 C 点 作 CF x 轴 于 F， B（ 0， 1.5） ， CBE=45， EC=EB=2米 ， CF=AB+BE=2+1.5=3.5， C（ 2， 3.5）设 抛 物 线 解 析 式 为 ： y=a（ x-2） 2+3.5，又 抛 物 线 过 点 B， 1.5=a（ 0-2） 2+3.5 a=-1/2所 求 抛 物 线 解 析 y=-1/2（ x-2） 2+3.5， 即 y=-x2/2+2x+3/2 抛 物 线 与 x 轴 相 交 时 ， y=0， 即 -x2/2+2x+3/2=0 点 D 坐 标 为 水 流 落 点 D 到 A（ 舍 去 ）721x ）

41、（ ,7点 的 距 离 为 ： 米9.如 图 ， 是 江 夏 广 场 设 计 的 一 建 筑 物 造 型 的 纵 截 面 是 抛 物 线 的 一 部 分 ， 抛 物 线 的 顶 点 O落 在 水 平 面 上 ， 对 称 轴 是 水 平 线 OC 点 A、 B 在 抛 物 线 造 型 上 ， 且 点 A 到 水 平 面 的 距 离AC=4米 ， 点 B 到 水 平 面 距 离 为 2米 ， OC=8米 （ 1） 请 建 立 适 当 的 直 角 坐 标 系 ， 求 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 ；（ 2） 为 了 安 全 美 观 ， 现 需 在 水 平 线 OC 上 找 一 点 P， 用 质

42、 地 、 规 格 已 确 定 的 圆 形 钢 管制 作 两 根 支 柱 PA、 PB 对 抛 物 线 造 型 进 行 支 撑 加 固 ， 那 么 怎 样 才 能 找 到 两 根 支 柱 用 料 最 省（ 支 柱 与 地 面 、 造 型 对 接 方 式 的 用 料 多 少 问 题 暂 不 考 虑 ） 时 的 点 P？ （ 无 需 证 明 ）（ 3） 为 了 施 工 方 便 ， 现 需 计 算 出 点 O、 P 之 间 的 距 离 ， 那 么 两 根 支 柱 用 料 最 省 时 点O、 P 之 间 的 距 离 是 多 少 ？ （ 请 写 出 求 解 过 程 ） 解 ： （ 1） 以 点 O 为 原

43、 点 、 射 线 OC 为 y 轴 的 正 半 轴 建 立直 角 坐 标 系 ，设 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 为 y=ax2， 由 题 意 知 点 A 的 坐 标为 （ 4， 8） 所 以 8=a42 a=1/2 所 求 抛 物 线 的 函 数 解 析式 为 ： y=x2/2（ 2） 找 法 ： 延 长 AC， 交 建 筑 物 造 型 所 在 抛 物 线 于 点D， 则 点 A、 D 关 于 OC 对 称 连 接 BD 交 OC 于 点 P， 则 点 P 即 为 所 求 （ 3） 由 题 意 知 点 B 的 横 坐 标 为 2， 点 B 在 抛 物 线 上 ， 点 B 的 坐 标 为

44、 （ 2， 2） ， 又 点 A 的 坐 标 为 （ 4， 8） ， 点 D 的 坐 标 为 （ -4， 8） ，设 直 线 BD 的 函 数 解 析 式 为 y=kx+b，2k+b 24k+b 8解 得 ： k=-1， b=4 直 线 BD 的 函 数 解 析 式 为 y=-x+4，把 x=0代 入 y=-x+4， 得 点 P 的 坐 标 为 （ 0， 4） ，两 根 支 柱 用 料 最 省 时 ， 点 O、 P 之 间 的 距 离 是 4米 10、 兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是 8 层高，房子的价格 y(元/ 平方米) 随楼层数 x(楼)的变化而变化(x=1 ， 2，3， 4，5

45、，6，7， 8)；已知点(x，y)都在一个二次函数的图像上，( 如图所示)，则 6 楼房子的价格为 元/平方米（提示：利用对称性，答案： 2080）11、 自建平面坐标系求值：(2008 四川内江) 如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米答案：如图所示建立直角坐标系则：设 将点 ， 代入，caxy2)1,5.0().2,(，解得5.).0(1.a顶点 ，最低点距地面 0.5 米.2xy)5

46、.,(三 、 利 用 抛 物 线 解 决 最 大 利 润 问 题1、 某 市 政 府 大 力 扶 持 大 学 生 创 业 李 明 在 政 府 的 扶 持 下 投 资 销 售 一 种 进 价 为 每 件 20元 的 护 眼 台 灯 销 售 过 程 中 发 现 ， 每 月 销 售 量 y(件 )与 销 售 单 价 x(元 )之 间 的 关 系 可 近 似的 看 做 一 次 函 数 ： y 10x 500.（ 1） 设 李 明 每 月 获 得 利 润 为 w(元 )， 当 销 售 单 价 定 为 多 少 元 时 ， 每 月 可 获 得 最 大 利 润 ？（ 6分 ）（ 2） 如 果 李 明 想 要

47、每 月 获 得 2 000元 的 利 润 ， 那 么 销 售 单 价 应 定 为 多 少 元 ？ （ 3分 ）（ 3） 物 价 部 门 规 定 ， 这 种 护 眼 台 灯 的 销 售 单 价 不 得 高 于 32元 ， 如 果 李 明 想 要 每 月 获 得的 利 润 不 低 于 2 000元 ， 那 么 他 每 月 的 成 本 最 少 需 要 多 少 元 ？ (成 本 进 价 销 售 量 ) 解 ： （ 1） 由 题 意 得 出 ： ：w = (x20)y=(x20)(-10x+500)=-10x 2+700x-10000 a=-10 0， x=-b/2a=35， ， 当 销 售 单 价 定 为 35元 时 ， 每 月 可 获 得 最 大 利 润 （ 2） 由 题 意 ， 得 ： -10x2+700x-10000=2000，解 这 个 方 程 得 ： x1=30， x2=40 李 明 想 要 每 月 获 得 2000元 的 利 润 ， 销 售 单 价 应 定 为 30元 或 40元 （ 3） a=-10 0， 抛 物 线