1、第3讲 圆周运动及其应用,【秒判正误】 (1)圆周运动一定是变速运动。( ) (2)匀速圆周运动加速度保持不变。( ) (3)做圆周运动的物体所受合力一定指向圆心。( ) (4)物体速率越大所受向心力一定越大。 ( ),(5)物体做圆周运动周期越大，角速度一定越小。( ) (6)物体所受向心力改变物体速度的方向。( ) (7)做圆周运动的物体，可以由某个力的分力充 当向心力。 ( ) (8)物体做离心运动，是因为受到了离心力的作用。( ),考点1 匀速圆周运动的运动学分析 【典题突破】 题型1 描述圆周运动的物理量的关系 典例1 下列关于质点做匀速圆周运动的说法中正确的是 ( ),A.由a=
2、知，a与r成反比 B.由a=2r知，a与r成正比 C.由= 知，与r成反比 D.由=2n知，与转速n成正比,【解题思维】 1.题型特征：匀速圆周运动物理量之间的关系； 2.题型解码：物理量之间的关系：,【解析】选D。由a= 知，只有在v一定时，a才与r成反比，如果v不一定，则a与r不成反比；同理，只有当一定时，a才与r成正比；v一定时，与r成反比；因2是定值，故与n成正比。,触类旁通 如图所示，一偏心轮绕垂直纸面的轴O匀速转动，a和b是轮上质量相等的两个质点，则偏心轮转动过程中a、b两质点 ( ),A.角速度大小相同 B.线速度大小相同 C.向心加速度大小相同 D.向心力大小相同,【解析】选A
3、。同轴转动角速度相等，A正确；由于两者半径不同，根据公式v=r可得两点的线速度大小不同，B错误；根据公式a=2r可知，角速度相同，半径不同，所以向心加速度大小不同，C错误；根据公式F=ma可知，质量相同，但是加速度大小不同，所以向心力大小不同，D错误。,【提分秘籍】 1.匀速圆周运动各物理量间的关系：,2.三种传动方式及特点： (1)皮带传动：皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等。 (2)摩擦传动：两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等。 (3)同轴传动：两轮固定在同一转轴上转动时，两轮转动的角速度大小相等。,【加固训练】科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的
4、传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是 ( ),A.小齿轮逆时针转动 B.小齿轮每个齿的线速度均相同 C.小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍 D.大齿轮每个齿的向心加速度大小是小齿轮的3倍,【解析】选C。大齿轮、小齿轮在转动过程中，两者的 齿的线速度大小相等，当大齿轮顺时针转动时，小齿 轮也顺时针转动，选项A错误；速度是矢量，具有方 向，所以小齿轮每个齿的线速度不同，选项B错误；根 据v=r，且线速度大小相等可知，角速度与半径成反 比，选项C正确；根据向心加速度a= ，线速度大小 相等可知
5、，向心加速度与半径成反比，选项D错误。,题型2 传动装置 典例2 (多选)(2019福州模拟)如图所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一块，甲圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲无打滑转动。甲圆盘与乙圆盘的半径之比为r甲r乙=21，两圆盘和小物体m1、m2之间的动摩擦因数相同，m1距O点为2r，m2距O点为r，当甲缓慢转动起来且转速慢慢增加时 ( ),A.与圆盘相对滑动前m1与m2的角速度之比12= 21 B.与圆盘相对滑动前m1与m2的向心加速度之比a1a2=12 C.随着转速慢慢增加，m1先开始滑动 D.随着转速慢慢增加，m2先开始滑动,【解题思维】 1.题型特征：两水平圆盘紧靠在一块，边缘外切。 2.题型
6、解码：两圆盘边缘线速度大小相等。,【解析】选B、D。甲、乙两轮子靠摩擦传动，所以边 缘上的各点线速度大小相等，有12r=2r，得 12=12，所以物体相对盘开始滑动前，m1与m2 的角速度之比为12，故A错误；物体相对盘开始滑 动前，根据a=2r得：m1与m2的向心加速度之比为 a1a2= 2r r=12，故B正确；根据mg= mr2知，临界角速度= ，可知m1、m2的临界角,速度之比为1 ，甲、乙边缘上的各点线速度大小相等，甲、乙的角速度之比为甲乙=12，可知当转速增加时，m2先达到临界角速度，所以m2先开始滑动，故D正确，C错误。,触类旁通 (多选)图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r
7、1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑，下列说法正确的是 ( ),A.从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动 C.从动轮的转速为 D.从动轮的转速为,【解析】选B、C。因为皮带不打滑，两轮缘上各点的 线速度等大，各点做圆周运动的速度方向为切线方 向，则皮带上的M、N点均沿MN方向运动，从动轮沿逆 时针方向转动，B对A错。根据线速度与角速度的关系 式v=r，=2n可知，nn2=r2r1，故n2= ， C对D错。,考点2 水平面内的圆周运动 【典题突破】 题型1转台上的圆周运动 典例3 如图所示，水平圆盘可绕通过圆心的竖直轴转 动，盘上放两个小物体P和Q
8、，它们的质量相同，与圆 盘的最大静摩擦力都是fm，两物体中间用一根细线连 接，细线过圆心O，P离圆心距离为r1，Q离圆心距离为,r2，且r1r2，两个物体随圆盘以角速度匀速转动，且两个物体始终与圆盘保持相对静止，则( ),A.取不同值时，P和Q所受静摩擦力均指向圆心 B.取不同值时，Q所受静摩擦力始终指向圆心，而P所受静摩擦力可能指向圆心，也可能背离圆心 C.取不同值时，P所受静摩擦力始终指向圆心，而Q所受静摩擦力可能指向圆心，也可能背离圆心 D.取不同值时，P和Q所受静摩擦力可能都指向圆心，也可能都背离圆心,【解题思维】 1.题型特征：水平圆盘可绕通过圆心的竖直轴转动，盘上放两个小物体。 2
9、.题型解码：两物体角速度相同，绳对物体拉力大小相等，拉力与摩擦力的合力提供向心力。,【解析】选B。设P、Q质量均为m，当角速度较小 时，做圆周运动的向心力均由盘对其的静摩擦力提 供，细线伸直但无张力。当m2r=fm即= 时， 若再增大，则静摩擦力不足以提供做圆周运动所需 的向心力，细线中开始出现张力，不足的部分由细线 中张力提供，对Q而言有T+fm=m2r2，而此时对P而言 有T+f=m2r1；随着细线张力的增大，P受到的指向,圆心的静摩擦力会逐渐减小，当Tm2r1时，P受到的静摩擦力开始背离圆心，B项正确。,触类旁通 (多选)如图所示，小木块a、b和c(可视为质 点)放在水平圆盘上，a、b两
10、个质量均为m，c的质量 为 ，a与转轴OO的距离为L，b、c与转轴OO的距 离为2L且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆盘的最大 静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为 g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列 说法正确的是 ( ),A.b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落 B.当a、b和c均未相对圆盘滑动时，a、c所受摩擦力的大小相等 C.b和c均未相对圆盘滑动时，它们的线速度相同 D.b开始相对圆盘滑动时的转速是,【解析】选B、D。物体做圆周运动的向心力等于物体 与转盘之间的静摩擦力，根据f=m2r可知，b所受的 摩擦力大于c，a、c所受摩擦力的大小相等，选项A错
11、误，B正确；根据v=r可知，b和c均未相对圆盘滑动 时，它们的线速度大小相同，方向不同，选项C错误； b开始相对圆盘滑动时满足kmg=m(2n)22L，解得 n= ，故选项D正确。,题型2 圆锥摆模型 典例4 如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质 量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。 不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心 轴匀速转动时，下列说法正确的是 ( ),A.A的速度比B的大 B.A与B的向心加速度大小相等 C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小,【解题思维】 1.题型特征：物体由绳连接，水平面内做圆周运动。 2.题型解码：
12、拉力和重力的合力提供向心力。,【解析】选D。在转动过程中，A、B两座椅的角速度相等，但由于B座椅的半径比较大，故B座椅的速度比较大，向心加速度也比较大，A、B项错误；A、B两座椅所需向心力不等，而重力相同，故缆绳与竖直方向的夹角不等，C项错误；根据F=m2r判断A座椅的向心力较小，所受拉力也较小，D项正确。,触类旁通 (2018赣州模拟)如图所示，为一在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，不计空气阻力，关于摆球A的受力情况，下列说法中正确的是 ( ),A.摆球A受重力、拉力和向心力的作用 B.摆球A受拉力和向心力的作用 C.摆球A受拉力和重力的作用 D.摆球A受重力和向心力的作用,【解析】选C。摆
13、球在水平面内做匀速圆周运动，对摆球受力分析，摆球受重力和绳子的拉力，由于它们的合力总是指向圆心并使得摆球在水平面内做圆周运动，重力和拉力的合力提供向心力。故C正确，A、B、D错误。,题型3 转弯类模型 典例5 (多选)(2018江苏高考)火车以60 m/s的速 率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针 在10 s内匀速转过了约10。在此10 s时间内， 火车 ( ),A.运动路程为600 m B.加速度为零 C.角速度约为1 rad/s D.转弯半径约为3.4 km,【解题思维】 1.题型特征：火车做匀速圆周运动。 2.题型解码：由描述圆周运动的各物理量间定义式和关系式求解。,【解析】选A
14、、D。在此10 s时间内，火车运动路程为 60 m/s10 s=600 m，选项A正确；曲线运动加速度 不可能为零，选项B错误；角速度= =1/s=rad/s，选项C错误；转弯半径r= =3 439 m 3.4 km，选项D正确。,触类旁通 (多选)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R=90 m的大圆弧和r=40 m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O距离L=100 m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，,假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力
15、加速度g取10 m/s2，=3.14)。则赛车 ( ),A.在绕过小圆弧弯道后加速 B.在大圆弧弯道上的速率为45 m/s C.在直道上的加速度大小为5.63 m/s2 D.通过小圆弧弯道的时间为5.58 s,【解析】选A、B。路面对轮胎的最大径向静摩擦力 提供赛车做圆周运动所需要的向心力，则根据牛顿 第二定律得mg= ，mg= 得v1=30 m/s， v2=45 m/s，从小圆轨道到大圆轨道的速度是增加的， 所以在绕过小圆弧弯道后加速，A、B项正确；赛道上 直跑道的长度为x=,赛车在直道上的加速度为a= 6.5 m/s2，则C项错误；由题意知小圆弧弯道的 圆心角为 ，通过小圆弧弯道的时间为t
16、= 2.79 s，则D项错误。,【提分秘籍】 “四步”求解圆周运动问题,【加固训练】无人机携带货物正在空中水平面内转弯，其运动 可看作匀速圆周运动，若其转弯半径为r，转弯速度 为v，货物质量为m，此时无人机对货物的作用力大小 为 ( ) A.m B.mg C.m +mg D.m,【解析】选D。根据牛顿第二定律有F合=m ，根据 平行四边形定则，如图所示：无人机对货物的作用 力F= 选项D正确。,考点3 竖直面内的圆周运动 【典题突破】 题型1 绳连球模型 典例6 (多选)如图甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在 过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球， 整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通
17、过最高点时，,绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是 ( ),A.图象函数表达式为F= +mg B.重力加速度g= C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大 D.绳长不变，用质量较小的球做实验，图象上b点的位置不变,【解析】选B、D。小球在最高点，根据牛顿第二定律 有F+mg=m ，解得F=m -mg，故A错误；当F=0时， 根据表达式有mg=m ，解得g= = ，故B正确； 根据F=m -mg知，图象的斜率k= ，绳长不变， 用质量较小的球做实验，斜率更小，故C错误；,当F=0时，g= ，可知b点的位置与小球的质量无关，绳长不变，用质
18、量较小的球做实验，图象b点的位置不变，故D正确。,触类旁通 如图甲所示的“抓娃娃机”是老少皆宜的一种娱乐工具。若抓小熊的爪子有四个抓脚，某次抓小熊简化为如图乙所示(只画了左、右两个抓脚，前、后两个没画)，其中一段过程如下：当小熊(可视为质点)被爪子夹紧，爪子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，小熊质量为M，到小环的距离为L，小熊与每个抓脚间的最大静摩擦力均为F。,小环和小熊以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，小熊向上摆动。整个过程中，小熊在爪子中没有滑动。小环和爪子的质量均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是 ( ),A.小熊向右匀速运动时，绳中的张力等于4F B
19、.小环碰到钉子P时，绳中的张力大于4F C.小熊上升的最大高度为 D.速度v不能超过,【解析】选D。匀速运动过程中，小熊受力平衡，绳的 拉力等于小熊重力，为Mg，故A项错误。若绳中的张力 大于4F，则小熊会滑出，与题意不符，故B项错误。 由动能定理得Mgh= Mv2，解得h= ，故C项错误。 当绳中的拉力恰好等于4F时，小熊速度最大，有 4F-Mg= ，解得最大速度为v= ，故D项正确。,题型2 杆连球模型 典例7 (2019衡阳模拟)轻杆一端固定有质量为m= 1 kg的小球，另一端安装在水平轴上，转轴到小球的 距离为50 cm，转轴固定在三角形的带电动机(电动机 没画出来)的支架上，在电动机
20、作用下，轻杆在竖直平 面内做匀速圆周运动，如图所示。若转轴达到某一恒 定转速n时，在最高点，杆受到小球的压力为2 N，重 力加速度g取10 m/s2，则 ( ),A.小球运动到最高点时，小球需要的向心力为12 N B.小球运动到最高点时，线速度v=1 m/s C.小球运动到图示水平位置时，地面对支架的摩擦力为8 N D.把杆换成轻绳，同样转速的情况下，小球仍能通过图示的最高点,【解题思维】 1.题型特征：轻杆一端固定小球，另一端安装在水平轴上。 2.题型解码：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v临界=0；杆对球的力的方向取决于速度大小。,【解析】选C。小球运动到最高点时，杆
21、受到小球的压 力为2 N，由牛顿第三定律可知杆对小球的支持力FN= 2 N，在最高点，小球需要的向心力由重力和杆的支持 力的合力提供，为 F=mg-FN=8 N，故A错误；在最高 点，由F=m 得，v= m/s=2 m/s，故B错 误；小球运动到图示水平位置时，设杆对小球的拉力 为FT，则有FT=m =F=8 N，则小球对杆的拉力,FT=FT=8 N，据题意知支架处于静止状态，由平衡条 件可知地面对支架的摩擦力 Ff=FT=8 N，故C正确； 把杆换成轻绳，设小球通过最高点的最小速度为v0， 由mg=m 得，v0= m/sv，所以 在同样转速的情况下，小球不能通过图示的最高点， 故D错误。,题
22、型 两种模型的类比应用 典例 一根细绳，长度为L，一端系一个质量为m的小球，在竖直面内做圆周运动，求： (1)小球通过最高点时的速度至少是多少？ (2)若将绳换为一根匀质细杆，结果又如何？,【解题思维】 1.题型特征：两种模型的临界问题。 2.题型解码：绳与杆的最大区别在于绳不能产生支持力。,【解析】(1)对绳来说，它只产生拉力，不能产生 支持作用，小球在最高点时，弹力只可能向下， 这种情况下有F+mg= mg 即v ，否则不能通过最高点。,(2)对细杆来说，是坚硬的物体，它的弹力既可能向上又可能向下，速度大小v可以取任意值。 可以进一步讨论： 当杆对小球的作用力为向下的拉力时， F+mg=
23、mg 所以 v,当杆对小球的作用力为向上的支持力时， mg-F= mg 所以 v 当N=mg时，v可以等于零。,当弹力恰好为零时， mg= 所以 v= 答案：(1) (2)见解析,触类旁通 “太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍，球却不会掉落地上。现将太极球简化成如图1所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图1中的A、B、,C、D位置时球与板间无相对运动趋势，A为圆周的最 高点，C为最低点，B、D与圆心O等高。设球的重力为 1 N，不计拍的重力。下列说法正
24、确的是( ),A.健身者在C处所需施加的力比在A处大3 N B.健身者在C处所需施加的力比在A处大1 N C.设在A处时健身者需施加的力为F，当球运动到B、 D位置时，板与水平方向需有一定的夹角，作出的 tan -F的关系图象为图2 D.设在A处时健身者需施加的力为F，当球运动到B、 D位置时，板与水平方向需有一定的夹角，作出的 tan -F的关系图象为图3,【解析】选C。设球运动的线速度为v， 半径为R，则在A处时F+mg=m ，在C处 时F-mg=m ，联立以上两个方程式 可以得到F=F-F=2mg=2 N，故A、 B错误；在A处时健身者需施加的力为F，,球做匀速圆周运动的向心力F向=F+
25、mg，在B处不受摩擦 力作用，受力分析如图，则tan = 作出的tan -F的关系图象如题图2所示，故C正确， D错误。,【提分秘籍】 1.常见模型：,2.分析思路： (1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型在最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。,(2)确定临界点：v临= ，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。 (3)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分 析，根据牛顿第二定律列出方程：F合=F向。 (4)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律列式，将初、末两个状态联
26、系起来。,【加固训练】如图所示，一小球通过不可伸长的轻绳悬于O点， 现从最低点给小球一水平向左的初速度，使小球恰好 能在竖直平面内做圆周运动，当小球经过A点时，其速 度为最高点速度的 倍，不计空气阻力，则在A点轻 绳与竖直方向的夹角等于 ( ),A.30 B.45 C.60 D.90,【解析】选D。因为小球恰好通过最高点，即在最高 点绳子的拉力为零，重力完全充当向心力，故有 mg=m ，从最低点到最高点过程中，只有重力做功，所以根据动能定理可得 2mgL= mv2- ，B到A的过程，根据机械能守恒定律得：,+mgL(1-cos )= ，因为vA= v，联立以上四式可得=90，D正确。,考点4
27、圆周运动的综合问题 【典题突破】 题型1 离心运动问题 典例8 (2018衡水模拟)如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是 ( ),A.F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动 B.F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动 C.F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动 D.F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心,【解析】选A。在水平面上，拉力提供小球m所需的向心力，当拉力消失，小球水平方向所受合力为零，将沿切线方向做匀速直线运动，故A正确；当向心力减小时，将沿Pb轨迹做离心运动，B、D错误；F突然变大，小球将沿轨
28、迹Pc做向心运动，C错误。,题型2 两个物体的圆周运动问题 典例9 (多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的 木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块 与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距 离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转 动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静 止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是( ),A.当 时，A、B相对于转盘会滑动 B.当 时，绳子一定有弹力 C.在 范围内增大时，B所受摩擦力变大 D.在0 范围内增大时，A所受摩擦力一直变大,【解题思维】 1.题型特征：两个物体放置在圆盘上； 2.题型解码：两物体角速度相
29、等，静摩擦力和拉力的合力提供向心力，绳的拉力等大反向。,【解析】选A、B、D。当A、B所受静摩擦力均达到最 大值时，A、B相对转盘将会滑动，Kmg+Kmg=m2L +m22L，解得= ，A项正确；当B所受静摩擦 力达到最大值后，绳子开始有弹力，即Kmg=m2 2L，解得= ， B项正确；当 时， 随角速度的增大，绳子拉力不断增大，,B所受静摩擦力一直保持最大静摩擦力不变，C项错 误；当0 时，A所受摩擦力提供向心力，即Ff=m2L，静摩擦力随角速度增大而增大，当 时，以AB整体为研究对象，FfA+Kmg=m2L +m22L，可知A受静摩擦力随角速度的增大而增 大，D项正确。,触类旁通 (多选)
30、(2019朔州模拟)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是 ( ),A.B的向心力是A的向心力的2倍 B.盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍 C.A、B都有沿半径向外滑动的趋势 D.若B先滑动，则B对A的动摩擦因数A小于盘对B的动摩擦因数B,【解析】选B、C。A、B两物块的角速度大小相等，根 据Fn=mr2可知，转动半径相等，质量相等，所以向 心力相等，选项A错误；对AB整体分析，FfB=2mr2， 对A分析，有FfA=mr2，知盘对B的摩擦力是B对A的摩 擦力的2倍，选项B正确；A所受的静摩擦力方向指向圆 心，可知A有沿半径
31、向外滑动的趋势， B受到盘的静摩,擦力方向指向圆心，可知B有沿半径向外滑动的趋势， 选项C正确；对AB整体分析，B2mg=2mr ，解 得：B= ，对A分析，Amg=mr ，解得 A= ，因为B先滑动，可知B先达到临界角速度， 可知B的临界角速度较小，即BA，选项D错误。,题型3 圆周运动与其他运动组合问题 典例10 (2018全国卷) 如图，在竖直平面内，一 半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切， BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB 之间的夹角 为，sin = 。一质量为m的小球沿水平轨道向 右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；,在整个过程中，除受到重力及
32、轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：,(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小。 (2)小球到达A点时动量的大小。 (3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。,【解题思维】 1.题型特征：直线运动和圆周运动相结合； 2.题型解码： (1)由于小球一直受到一水平恒力的作用，轨道最高点不是临界点。,(2)小球在C点所受合力的方向指向圆心，切向加速度为零，据受力分析图探寻水平恒力、重力和合力的关系。 (3)小球从C点离开后做匀变速曲线运动，灵活运用运动合成与分解思想求解落至水平轨道所用的时间。
33、,【解析】(1)由力的合成可得恒力F= mg，F合= mg 据牛顿第二定律有F合=m 联立方程解得vC=,(2)小球从A到C过程，据动能定理有 -mgR(1+cos )-FRsin = 解得vA= 由p=mv得小球到达A点时动量的大小 pA=,(3)将C点速度分解为水平和竖直方向上的两个速度， 竖直方向以初速度vCy、加速度g做匀加速直线运动， 落到水平轨道时竖直方向速度设为vty，据运动规律 有 =2gR(1+cos ) t= 解得t= 答案：(1) mg (2) (3),【提分秘籍】 圆周运动综合问题求解思路 (1)多个运动过程相结合，将题分解为多个简单的过程，分别列方程求解。 (2)涉及
34、圆周运动部分，过程一般列动能定理或能量守恒方程，状态方程一般是指向圆心的合力提供向心力。,【加固训练】 如图所示，一质量m=2 kg的小球从光滑斜面上某处由静止滚下，斜面底端与一个半径R=1 m的竖直放置的光滑圆环相接，试求：,(1)小球至少应从多高处由静止滚下才能越过圆环的最高点？ (2)若小球从h=2 m处由静止滚下时将在何处脱离圆环？,【解析】(1)设小球至少应从高为h处由静止滚下， 由机械能守恒定律和圆周运动知识可得 mg(h-2R)= mg= ，解得h=2.5 m。,(2)由于h=2 m2.5 m，所以小球在从圆形轨道的右侧向上滚动的过程中将不会到达圆形轨道的最高点，在到达最高点之前
35、就已经脱离轨道。设小球在A处刚好脱离轨道(对轨道压力为零)，此时小球的速度为v，,由机械能守恒定律和圆周运动知识得 mg(h-R-Rcos )= mv2 mgcos =m 解得=cos-1 。 答案：(1)2.5 m (2)cos-1 。,曲线运动问题,规 范 解 答 解：(1)因A、B关于过O点的竖直线对称且小球能无碰撞地由B点进入管道，所以小球在A点抛出时速度与OA垂直，令小球到达B点时竖直速度为vy，水平速度为vx，从A到B的时间为t，则由斜抛运动规律知：,2Rsin =vxt (2分) vy=g (2分) tan = (2分) 联立并代入数值得vx=4 m/s，vy=3 m/s 所以小
36、球在B点速度大小即小球初速度为 v0= =5 m/s (2分),(2)小球从B到D由动能定理知 mgR(1+cos )-mgL= (4分) 代入数值得vD=9 m/s (2分) (3)因小球能到达GE间某处，所以当小球刚能过G点 时，由机械能守恒定律知 =mgrmax (2分) 即rmax=4.05 m (1分),当小球恰能到E点时有： =2mgrmin+ (2分) mg=m (2分) 联立得rmin=1.62 m (1分) 所以半圆轨道DE的半径r应满足1.62 mr4.05 m,满 分 规 则 规则1：文字说明，简洁规范 文字说明要用规范的物理语言和符号。对题干中未出现的字母进行说明时，字母书写要规范。设定所求的物理量或解题过程中用到的中间变量，可表述为设，令等。,规则2：三要三不要 列方程时要做到“三要三不要”。一是要写出方程式而不要堆砌公式；二是要原始式而不要变形式；三是要分步列式，不要用连等式。,规则3：演算过程规范 要写出主要演算过程，有必要的关联词。一般表述为：将代入，由式可得等。 规则4：结果要注意 对题中所求得物理量应有明确的回答，要写出最后结果的单位。答案中不能含有未知量和中间量。,
