1、第三章,一元函数积分学及其应用,积分学,不定积分,定积分,积分研究函数的整体性态!,第一节,一、定积分问题举例,二、 定积分的定义,三、 定积分的存在条件,存在条件及性质,第三章,四、 定积分的性质,定积分的概念、,一、定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,矩形面积,梯形面积,解决步骤 :,1) 分,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 匀,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,小曲边梯形面积,得,3) 合,4) 精,令,
2、则曲边梯形面积,2. 变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s.,解决步骤:,1) 分,将它分成,在每个小段上物体经,2) 匀,得,已知速度,n 个小段,过的路程为,3) 合,4) 精,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同 :,“分，合，匀，精 ” 四步,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,二、定积分定义,即,个分点：,注：1、定积分又被称为Riemann 积分, 简称 R 积分。,2、在定义中，当所有子区间的长度的最大值 d,趋近于 0 时，区间的个数 n 趋于无穷大，但不,能用,3、定义包含了两个任意性，即对区间的分割与点,的选取都是任
3、意的. 如果对区间的两种不同分割,存在一个和式的极限不存在，则函数 f 在该区间上,不可积。例如：Dirichlet 函数,在区间0,1上不可积！,数，它的值仅与被积函数 f 及积分区间有关 , 而与,积分变量用什么字母表示无关 , 即,4、函数 f 在区间 a,b 上的定积分是一个确定的常,由定积分的定义可知两引例中:,1、曲边梯形面积: A=,2、变速直线运动的路程: s =,定积分的几何意义:,曲边梯形面积；,曲边梯形面积的相反数.,各部分面积的代数和,三、定积分的存在条件,1. 可积的必要条件,注: 可积函数必有界, 有界不一定可积. 如Dirichlet函数.,证明: (反证法) 若
4、 f 在 a , b 上无界，则对任意分,可大于任给的常数。,故其极限不存在, 即 f 在a , b 不可积。,证毕！,定义: 设 f 为a, b上的有界函数, 将区间a, b任意分,2、可积的充分条件,称,和式,分别称为 f 关于该分割的,反之亦然! 即有：,Darboux大和与Darboux小和.,2.如果 f 在区间a , b 上可积，则,定理1.2,设函数 f 在a, b上有界，则 f 在a, b可,即对任意的 0，总存在相应的某一分割, 使得当,积的充要条件是：,（*）,式成立。,（证明略.）,定理1.3,3、可积函数类,证明：因为 f 在a , b 上连续，故一致连续，即,由闭区间
5、上连续函数的性质，,使得,从而有,由定理1.2可知，f 在a , b 上可积。 证毕！,解释：对 a , b 的任意分割，当d 充分小时，,f 在每个子区间上的振幅都能任意小。,定理1.4,设 f 在区间a, b上有界，若 f 在a, b上只,有有限个第一类间断点或者在a, b上单调,则 f 在,a, b上可积.,（证明略.）,解释：当 d 充分小时，虽不能保证 f 在每个子,区间上的振幅都任意小，但振幅不能任意小的所有,子区间长度之和可以任意小。这样函数也可积。,取,例1. 利用定义计算定积分,将 0,1 n 等分, 分点为, 则,因此在0 , 1 上可积。,则有,注,注,注. 当n 较大时
6、, 此值可作为 的近似值,注 利用,得,两端分别相加, 得,即,例2. 用定积分表示下列极限:,解:,四、定积分的性质,规定:,性质1.2 （线性性质）,并且,性质1.1,性质1.3 若,则,证:,推论1 （单调性）若,则,推论2. 若,证:,性质1.4 若,对于区间a , b 的任意分割，记,由于,易知,（#）,此即不等式（#）. 证毕！,注:,性质1.4的逆命题不一定成立, 例如,所以,从而,又,则由定理1.2可知，,时，,即,又,例3. 试证:,证: 设,即,故,即,证: 由定理1.2知 f 在 I 的所有子区间可积.下证(1)式。,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点，于是,性质
7、1.5 （区间可加性）设 I 为有限区间,若 f 在 I 上可积, 则 f 在 I 的任一子区间上都可积,且,（1）,当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,则有,证毕！,性质1.6 （乘积性质）,性质1.7 （积分中值定理）,且 g 在a , b 上不变号. 则至少存在一点,使,证明：设在a , b 上,则,从而,因此,（*）,若,上式两边同除以,则,不等式（*）亦,若,得,由连续函数的介值定理可得（*）成立。,成立。 证毕！,则至少存在一点,使,推论3.,说明:,通常称,故它是有限个数的算术平均值概念的推广.,因,积分中(均)值.,例5.,计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解: 已知自由落体速度为,故所求平均速度,内容小结,1. 定积分的定义, 乘积和式的极限,3. 定积分的性质线性性质，单调性，区间,及积分中值定理,连续函数在区间上的平均值公式.,2.定积分的存在条件,必要条件,充要条件,可积函数类.,可加性,思考与练习,1. 用定积分表示下述极限 :,解:,或,思考:,如何用定积分表示下述极限,提示:,极限为 0 !,
