1、简化剩余系,定义1,取定,若,是与模,互素的,中的每一个数,都与,互素,则称,剩余类.,从所有与模,互素的,剩余类,中各取一数所组成,的一组数称为,模,的一个简化剩余系.,例如,是与模,互素的,剩余类.,给定模,的一个简化剩余系,则,恰与其中的一数同余,模,的一个简化剩余系,模,的一个完全,可从,剩余系中取出.,定义2,设,到 中与 互素的数,的个数,记为,称为Euler函数.,如,模,的一个简化剩余系中共,个数,与模,互素的,剩余类共,个,与模,互素,则其中至少有两数,若有,个数,对模,同余,简化剩余系的判定及构造,定理1,一组数,是,模,的一个简化,剩余系,模,对,两两互不同余,定理2,若
2、,是,模,的,一个简化剩余系,设,则,也是,模,的,一个简化剩余系.,定理3,若,模,的,一个简化剩余系,设,则,的,一个简化剩余系.,分别通过,通过模,简化剩余系的判定及构造,如,通过模6的一个简化剩余系,通过模5的一个简化剩余系,则,通过模30的一个简化剩余系,简化剩余系的性质,若,是,模,的,两个简化剩余系,则,和,例1,模,的,一个简化剩余系,其中每一个数,写出,都是偶数.,例2,模,的,一个简化剩余系,其中每一个数,写出,对模,同余,例3,设,证明,定理4(Wilson),是素数,设,是模,的一个简化剩余系,则,特别地,证明,唯一的,不妨设,是模,的一个简化剩余系,则在该剩余系中,每
3、个,又,都存在,使得,或,则,可两两分组，我们得到,例4,是奇素数,设,证明,证,例5,是奇素数,设,证明,证,对,所以,例6,证明,定理5,是素数,设,是模,的一个简化剩余系,则,以及,令,则,是模,的一个简化剩余系,那么,是模,的一个简化剩余系,设,则,(p是奇素数)，,模,的一个简化剩余系的乘积同余-1模m.,其它情形乘积同余1模m.,的一个简化剩余系,设,是模,的一个简化剩余系,是模,当,通过模,的一个简化剩余系时，,是两个互不相同的奇素数，,Euler函数,的基本性质,若,则,(Gauss公式),为偶数,若,则,例7,证明,设,例8,例9,求所有正整数,使得,求所有正整数,使得,(L
4、ema),不存在奇合数,使得,Euler, Fermat,定理,定理6(Euler),定理7(Fermat),设,若,则,设,是素数,则对任意整数,注,Fermat定理,Euler定理和,是两个,等价命题.,Fermat定理的逆命题未必成立.,例10,证明,对任意整数,都有,证,对任意整数,又,所以,例11,证明,对任意整数,有,证,因为对任意的整数,所以,由于,只需证明,同理,Euler, Fermat,定理的若干应用,同余的计算,例12,求,被,例13,求,除的余数.,的末两位数.,例14,今天是星期四,问再过,天后是星期几?,例15,证明,Euler, Fermat,定理的若干应用,检查
5、因数,若素数,则以下结论至少一个,成立,1),2),特别地,时,2),可改为,例如,分解,Euler, Fermat,定理的若干应用,分数化小数,实数,纯循环小数,有限小数,混循环小数,无限小数,无限不循环小数,定义,一个无限小数,若存在,使得,则称,是循环小数,并记为,纯循环小数;,混循环小数.,最小的,称为循环节的长度,称为循环节,若,则称,为,否则,称为,对纯循环小数,对混循环小数,令,定理8,有理数,能表为有限小数,不全为零,能表为纯循环小数,能表为混循环小数,不全为零,且其中不循环位数,证,能表为有限小数,令,若,即,设,则,不全为零,若,则,设,能表为纯循环小数,设,若,令,即,反
6、之若,则,设,是使得,的最小正整数,令,则,因此,其中,注,由此可知,的循环节的长度为,设,由,不全为零,设,若不循环位数小于,设,则,这不可能.,为小数,化,习题,设,是奇素数,证明,由,设,设,是奇素数,证明,习题,由,是模,的一个完全剩余系,设,令,易知,习题,设,是素数,证明,由此证明,Fermat定理,Euler定理.,并推出,设,为n的标准分解式,则,设,则,其中,所以,类似有,因此,证,1),通过了,个数,3),是,通过的模,的简化剩余系中的两个数,是,通过的模,的简化剩余系中的两个数.,2),设,对,这样的,共有,个,因此,分解,若,则,只可能在数列,若,则,可能在数列,或,或,
