1、动态最优化方法 第 3讲 变分法的基本问题第三讲 变分法的基本问题 （一）基本形式Max 或 MinS.T. （满足）：产生 Vy的一个极值（最大值或最小值）的一条光滑路径 y被称为 极值曲线 dttytytFyV T 0 , 给定）（ AAy 0 给定）（ ZTZTy ,第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 （ 1）极值曲线的必要条件设有一极值曲线 ，任意取一条扰动曲线 ，且 ，把扰动曲线乘上一个很小的数得极值曲线的邻近路径AZT0ytty* tptyty *tpty* tp tptyty * 00 Tpp第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 （ 1）极值曲线的必要条件每
2、一个 将确定一条邻近路径 y ，从而确定 的一个特定值所以：由于极值曲线将产生 V的一个极值点，所以有：（极值曲线的必要条件） yV ty *意味着极值曲线0 VV 00ddV第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 （ 2）几个求导和积分法则1）莱布尼茨法则定积分：有：2）积分上下线求导法则定积分：有： ba dtxtFxI , ba xba dtxtFdtxxtFdxdI , ba dtxtFabJ , xbFxtFdbdJ bt , xaFxtFdadJ at , 第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 （ 2）几个求导和积分法则3）积分上限包含变量的求导定积分：有：4）分
3、部积分法则 xba dtxtFxK , xbxxbFdtxtFdxdK xba x , bababa udvvuv d u第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 （ 2）几个求导和积分法则 算例：求下列定积分关于 x的导数（ 1）（ 2）（ 3） ba xt dteI x dttI 20 23 x x dtteI 20第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 （ 3）推导欧拉方程1）把目标泛函改变为：利用莱布尼茨法则求导，并令其等于 0，得： dttptytptytFV T 0 * , dttytytFyV T 0 , 0000 dttpFtpFdtdydyFddyyFdtFdd
4、VTyyTT第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导 （ 3）推导欧拉方程2）利用分部积分法则：极值曲线的必要条件为：由于 不全为 0，所以必要条件意味着： dtdtdFtpdtdtdFtptpFdttpF yTyTTyT y 0000 000 dtdtdFFtpdttpFtpF T yyTyytp TtdtdFF yy ,0,0 对于所有第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导欧拉方程的形式：其中： TtFdtdF yy ,0,01 对于所有）（ ytytytFFy , ytytytFFy ,yy FdtF ）（ 2第三讲 变分法的基本问题 （二）欧拉方程的推导由全导数：得欧拉方
5、程另种清晰的形式：)()( tyFtyFFdtydyFdtdyyFtFFdtdyyyyytyyyy TtFFtyFtyF yytyyyy,0,0)()(3 对于所有）（第三讲 变分法的基本问题 （三）例子 1找出下列泛函的极值曲线边界条件：解：欧拉方程： dtytyyV 20 212 8200 yy 和212 ytyF 0122 tty第三讲 变分法的基本问题 （三）例子 1由欧拉方程得通解：把边界条件代入：解得：极值曲线： （通解） 213 CtCtty 8200 yy 和00 12 CC ， （定解） 3tty 第三讲 变分法的基本问题 （三）例子 2找出下列泛函的极值曲线边界条件：解：欧
6、拉方程： dtytyV 51 2/13 7531 yy 和 2/13 ytF 041 2/3 tyy第三讲 变分法的基本问题 （三）例子 2猜测解为：积分得：把边界条件代入，解得：极值曲线：0,1 yCy 从而 21* CtCty 2,1 21 CC 2* tty第三讲 变分法的基本问题 （三）例子 3找出下列泛函的极值曲线边界条件：解：欧拉方程： dtyytyV 50 2 3 3500 yy 和yytF 3202 y第三讲 变分法的基本问题 （三）例子 3解为：边界条件为：解违背了终结条件，所以不存在极值曲线（给定端点的某些变分问题可能无解） 0* ty 3500 yy 和第三讲 变分法的基
7、本问题 （三）例子 4找出下列泛函的极值曲线边界条件：解：所以欧拉方程总成立 dtyyV T 0 Tyy 和0yF 01,0 yyy FdtdFF第三讲 变分法的基本问题 （三）例子 4直接积分得：V的值依赖于给定的终结状态和初始状态，与连接两个端点的状态无关原因： 当 关于 是线性的时候， 是常数且所以欧拉方程 :第一项消失，不再是二阶微分方程，通解不再是两个任意常数。不能保证有解。 00 yTytyyV TF yyF 0yyF0)()( yytyyyy FFtyFtyF第三讲 变分法的基本问题 （四）几种特殊情形 （ 1）情形 1：欧拉方程：解为： ytFF ,0dtdF y常数yF第三讲
8、 变分法的基本问题 （四）几种特殊情形 （ 1）情形 1：例子：被积函数：欧拉方程为：通解：代入边界条件，解得：极值曲线： ytFF , 322* 41 CtCtty 1,41 32 CC 14141 2* ttty 110102 yydtyytyV边界条件：2yytF 12 CytF y 第三讲 变分法的基本问题 （四）几种特殊情形（ 2）情形 2：欧拉方程：欧拉方程同乘以 ，左端正好是欧拉方程可写为：解： yyFF , 0 yyyyy FtyFtyF常数 yFyFy dtFFyd y / 0/ dtFFyd y第三讲 变分法的基本问题 四）几种特殊情形（ 2）情形 2：例子：得：由公式，得
9、：通解：代入边界条件，得极值曲线： yyFF , 02/,102/022 yydtyyyV边界条件：yFyyF y 222 ，常数 22 yy tty c o s* ctaty c o s2*第三讲 变分法的基本问题 四）几种特殊情形（ 2）情形 2：例子：（另种解法）一般形式的欧拉方程：通解：代入边界条件，得极值曲线： yyFF ,0022 yyyy ttty s i nc o s* tty c o s* 第三讲 变分法的基本问题 （四）几种特殊情形 （ 3）欧拉方程：1）如果 ，则：2） 如果 ，由于解为：所以解：极值曲线必是一条直线 yFF 0 tyF yy 0 ty （直线簇）， 21
10、1 CtCtyCty 0yyF （直线簇）Ctktyky ii yFF 第三讲 变分法的基本问题 （四）几种特殊情形 （ 3）情况 3： 例子得：欧拉方程：解得： yFF ZTyAydtyyVT ,0102/12边界条件： 2/122/121,1yyFyFy 0/ dtdF y 常数 2/122/12 11 CCyCyyFy第三讲 变分法的基本问题 （ 4）情形 4：欧拉方程：不是微分方程，问题退化（极值曲线可能不满足边界条件） ytFF , 0, ytF y第三讲 变分法的基本问题 练习题：求下列泛函的极值曲线：（ 1）（ 2）（ 3） 21,102102 yydtytyyV边界条件： 21
11、,001022 yydtytyV边界条件： 51,2021102 yydtyyyyyyV边界条件：第三讲 变分法的基本问题 （五）欧拉方程的推广 （ 1）多个状态变量给定问题中具有 n1个状态变量，泛函变为：（对每个状态变量都有一对初始条件和终结条件）欧拉方程组： dtyyyytFyyV T nnn 0 111 , ）（对于所有njTtFdtdF jyyj,2,1,0,0 第三讲 变分法的基本问题 （五）欧拉方程的推广 （ 1）多个状态变量 例子：求下列泛函的极值曲线被积函数：欧拉方程组： 51z,30z,21y,10y,1022 边界条件：dtzyzyzyV22 zyzyF 012012zy
