1、 1 “全面二孩”政策下的人口经济学的数学模型 -Leslie 人口矩阵 模型和动态生产函数模型的构建及数学分析 杨思正 Sizheng Yang 华南师范大学附属中学，广州 日期： 2017.5 2 摘 要 人口经济学的数学模型是研究人口趋势和经济发展趋势的重要工具。在本文中我们首先改进了 Leslie 人口预测矩阵模型，在模型的参数设置中将移入率、移出率改为移入率、移 出率和留存率，实现了在矩阵维数缩小为原来五分之一的高精度逐年预测，拓宽了 Leslie 人口预测矩阵模型的使用范围。接着我们在经典柯布 -道格拉斯生产函数的基础上，利用导数和微分方程做为工具，耦合动态的人口年龄结构变化特征，
2、建立了动态的生产函数模型。然后考虑到由数据收集所产生的时滞，我们还建立了具有时滞的微分方程模型。我们分别利用伯努利方程的求解、时滞微分方程的分步法和一些定性分析对所建立的模型进行了详细的数学分析。最后我们利用数学分析所得到的相关结果对国家的相关人口政策和经济政策进行了分析，对“全面二孩”政策下 的国民经济的发展进行了预测。 关键词： Leslie 人口预测矩阵， 生产函数， 微分方程， 时滞微分方程 3 ABSTRACT The mathematic model of population economics is an important means of studying populati
3、on trend and economic development trend. We first improve Leslie population forecasting model by changing moving-in rate and moving-out rate to moving-in rate, moving-out rate and staying rate. Our measure can reduce the dimension of the matrix from 90 times 90 t0 19 times 19. Hence we broaden the s
4、cope of the matrix. Next, based on classic Cobb-Douglas production model, we use derivative and differential equation to construct dynamic production function model. Taking account of time delay, we construct a differential system with delay too. Some methods are used to solve and analyze above diff
5、erential systems to obtain many results related to the population policy and economic policy. Based on the above analysis, we forecast the population trend and economic development trend under universal two-child policy. 4 1. 引言 马 克思说过：“实践是认识的目的。”我们对数学的探究也是如此，数学的发展其归宿终究是应用于自然的和社会的实践，只不过是时间早晚罢了。因此，“应
6、用数学”也就作为数学学科里的重要分支出现了。通过建立能够揭示客观规律的数学模型，利用过硬的数学基础知识对数学模型进行分析，解决自然的和社会的实际问题，是应用数学的基本目标和存在意义，见【 1】。对于一名中学生而言，在应用数学中同样也能感受到数学之美。 2016 年 1 月 1 日，“全面二孩”政策正式落地，这是中国人口政策发生重大转变的标志。在此之后，中国人口结构、数量将会如何变化， 在此背景下的中国国民经济又将受到怎样的影响？于是我们构建数学模型并进行分析来对中国未来的人口经济生态作出一定的预测。 线性代数、常微分方程、时滞微分方程作为数学的主要分支，在人口经济学模型的构建中起到举足轻重的作
7、用，见【 1， 2， 3， 4， 5】。 一位位杰出的经济学家利用数学知识为我们建立了一个又一个的应用数学模型，让我们可以利用这些数学模型对社会的未来进行大致的预测。但是，“追求真理的道路是永无止尽的。”，每个模型不论有多么优秀，都或多或少还有一定的瑕疵，需要后人去改进、完善甚至推陈出新。 Leslie 矩阵 模型是预测人口年龄总量和年龄结构的重要数学工具。但是中国的实际国情决定现有数据难以满足传统 Leslie 模型的数据要求。许亚东【 6】针对单独二孩政策效应预测问题，通过缩小预测范围，提高了数据采集的精度，达到了 Leslie 矩阵对数据精度的要求，但无法做到大范围的预测。王广州【 7，
8、 8】等主要从社会统计的角度分析和估计了在不同政策下妇女的队列生育水平和总和生育率，并对妇女的生育潜力上限和下限进行了估计。他们估计全面放开二孩也不会使得人口总数急剧增加。孟令国，李博【 9】采用改进的 Leslie 模型对“全面二孩”政 策进行人口预测，基于理想假设与单独二孩政策对人口老龄化的影响效果得出：全面二孩政策对老龄化缓解作用不明显，提倡政府应当给予物质和精神鼓励来落实全面二孩政策。他们采用的年龄级是五岁为一个年龄级，即 0-4 岁5 为第一年龄级， 5-9 岁为第二年龄级，依此类推，但是通过仔细研究我们发现他们所谓改进的 Leslie 矩阵其实是错的，因为经过一年后，每个年龄级的人
9、口既有留在该年龄级的，也有进入下一个年龄级的，所以传统 Leslie 矩阵是不适用的（参见第二章中关于传统 Leslie 矩阵的介绍）。在第二部分 我们在缩小矩阵的同时在参数设置 上也作出改变 ，将移入率、移出率改为移入率、移出率和死亡率，不仅提高了矩阵的预测精度，还拓宽了模型的适用范围。 在大量的相关文献中，生产函数法一直是经济增长潜力分析的主流方法和基本框架【 3， 10-14】。武康平等【 10】扩展了索罗经济增长模型用于分析人口年龄结构与经济增长之间存在的紧密关系，由变量的统计分析发现人口年龄结构对经济增长的波动有重要的作用。蔡舫【 11】把人口转变引致的不同人口年龄特征阶段看作是经济
10、增长的一个额外源泉，通过对 1978-1998 年期间中国经济增长因素的分解分析论证了中国人口转变 对改革以来经济高速增长的贡献。 Culter 等【 12】对美国劳动力市场进行研究，发现劳动力供给的下降在资本跨国流动活跃时不一定降低生产增速。而 Mason 和王丰【 13】 以及 Adersson【 14】 都 揭示了人口转型为经济快速增长创造了机会。以上文献建立的生产函数模型都是静态模型，不能体现人口年龄结构特征的动态变化对经济发展的持续性影响。因此，在第三部分我们将以微分方程做为工具，建立一个耦合人口年龄结构特征的动态变化的生产函数模型来讨论人口年龄结构对国民经济的影响。进一步地，考虑到
11、 数据采集时出现的时滞因素，我们建 立了带时滞的动态生产函数模型，让我们能够对国民经济进行更客观的动态预测。 总而言之，在本文中，我们对人口经济学中的相关数学模型进行了改进与创新，并对模型进行了细致的数学分析，还利用分析得到的结论对“全面二孩”政策下中国未来人口经济生态进行了合理的预测。在这个过程中我们实现了数学由认识到实践的回归，又一次证明了应用数学在数学这门学科中的重要性和自身存在的意义。 6 2. 人口年龄结构预测模型构建 和分析 由于 Malthus 模型和 Logistic 模型【 1， 5】只能在总量上对人口进行预测，而无法在一定程度 上反映人口结构的发展趋势，所以，本章将采用以年
12、龄和性别为基础的离散矩阵模型 Leslie 模型 , 从而更方便对中国开放“全面二孩”政策后的人口年龄结构变化进行预测。 2.1 人口预测理论 根据不同时期不同地区人口发展特点 ,专家学者建立了各种人口预测方法来模拟人口发展过程 ,如一元线性回归法 ,自回归法 ,指数函数法 ,幂函数法多元回归模型法等 【 1， 15-17】。由于本文的需要，我们主要介绍 传统 Leslie 模型。 Leslie模型构建的基本框架【 2】是如下的线性方程组 ),()1( tSXtX 其中 ,),.,()( 901 tXtXtX tXi 表示 t 时刻年龄为 1i 的人口数量， S 为 9090 的 Leslie
13、 转移矩阵，表示如下： 000.0000000.0.089214915sssbbS， 而 ib 表示年龄为 i 的育龄妇女的生育模式（ 15 岁到 49 岁为女性生育年龄），is 表示年龄为 i 的人群的存活率。该模型形式简单，可以得到各个年龄段的人口数据，由此可以分析人口的年龄结构。 但由于我们搜索到的数据是分年龄级的，即 5 个年龄一个年龄级，所以传统Leslie 模型不再适用， 因而 我们将在合理假设的基础上，对传统的 Leslie 模型进行修正，然后设计相应的算法确定矩阵中的各个参数，最后利用基于年龄级的修正 Leslie矩阵预测不实行全面二孩政策和实行全面二孩政策后中国大陆的人口年龄
14、结构变化趋势，在比较中给出解决问题的合理化建议。 为确认生育率，总和生育率、死亡率等在 Leslie 模型中要用的基本要素，我们7 结合具体实际情况做出如下合理性假设。 （ 1） 中国和韩国是一个封闭的人口系统，不考虑境外人口迁出迁进问题。 （ 2） 在预测时间内，不发生重大疫情、自然灾害、战争等影响人口发展的重大变故。 （ 3） 从 089 岁，以 5 岁为一个年龄段，共 18 个年龄 段， 85 岁以上为一个开放年龄区间，总共 18 个年龄段。 （ 4） 中国与韩国的公民均为守法公民，即两国国内在实行人口紧缩政策时（即“一孩”“二孩”政策实行期间），只存在“一孩”和“二孩”家庭。 （ 5）
15、 所有妇女均在科学的育龄区间内生育小孩，且一胎一孩。 （ 6） 育龄区间为 15 岁至 49 岁。 （ 7） 一个国家同一时间内生育小孩的育龄家庭中，生育相同孩子数量的家庭具有相同的生育模式。 2.2数据处理 2.2.1 中国总和生育率估计 我们知道韩国作为中国的近邻，曾经是中国附属国的经历使得韩国文化深受中华文化以及儒家文化影响，中国和韩国人民的价值观念 比较相近。因此中韩两国至今在许多方面依然存在共性。 以下是韩国独生子女政策期间妇女总和生育率： South Korea Total Fertility Rate 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1.58
16、 1.53 1.55 1.56 1.57 1.71 1.76 根据预测可以计算 :中国 2015 年总和生育率 1.55 112% 1.73， 2016 年总和生育率为 1.55 112% 104% 1.8， 2017 年总和生育率预测为 1.55 112%104% 104% 1.84。这数据与孟令国等全面二孩政策对人口增量及人口老龄化的影响中提到的国家卫计委计划生育基层指导司司长杨文庄 2015 年 11 月 4日提出的最高年份第二孩次生育率达到原水平的 15%（即总和生育率达到 1.83）8 基本一致，可见我们的数据具有相当的可靠性。 2.2.2 对比韩国数据预测中国未来生育模式 生育模式
17、 ),( tjh 的直接含义是：当时刻为 t 时年龄为 j 的妇女的生育加权因子。在稳定环境下可以近似地认为它与 t 无关，即 )(),( jhtjh 。一般在做理论分析时， )(jh 采用概率论中的 分布，即 111 ,)( 1 ijeijjh ij ， 1i 为最小生育年龄 。 设 ci 使 )(jh 取得最大值，则 11- iic 。 因为在相似的政策背景与经济环境下，我们可以认为中国和韩国生育相同孩子数量的家庭会有相似的生育模式。所以我们由韩国数据推导韩国生育模式，进而预测中国未来生育模式。 A. 韩国生育模式推导 *1H ： 韩国一孩政策下全国生育总模式 *2H ：韩国二孩政策下全国
18、生育总模式 *1a ：韩国一孩政策下一孩家庭在所有家庭中所占比例 *2a ：韩国二孩政策下一孩家庭在所有家庭中所占比例 *1b ：韩国一孩政策下二孩家庭在所有家庭中所占比例 *2b ：韩国二孩政策下二孩家庭在所有家庭中所占比例 *1h ：韩国一孩家庭生育模式 *2h ：韩国二孩家庭生育模 式 *1 ：韩国一孩政策下妇女的总和生育率 *2 ：韩国二孩政策下妇女的总和生育率 通过数据分析，在一孩政策下，我们发现当 26j 时， )(*1 jH 取得最大值 0.215，所以 3.5*1 ， 4 ， 45.3)( 45.331*11 ijeijjH 。 通过数据分析，在二孩政策下，我们发现当 26j
19、时， )(*2 jH 取得最大值 0.194，9 所以 257.3 257.311231*2 eijjH。 由 韩 国 生 育 数 据 可 得 到 ,55.12 *1*1*1 ab 76.12 *2*2*2 ab ，1*2*2*1*1 baba ， 所以 76.0,24.0,55.0,45.0 *2*2*1*1 baba 。 由方程组 )()()( )()()(*2*2*1*2*2*2*1*1*1*1jhbjhajH jhbjhajH求出：7)(8)(25)(63)(275)(228)(*1*2*2*2*1*1jHjHjhjHjHjh。B中国生育模式预测 1H ： 中国一孩政策下全国生育总模式
20、 2H ：中国二孩政策下预测全国生育总模式 2a ：中国全面二孩政策下预测一孩家庭在所有家庭中所占比例 2b ：中国全面二孩政策下预测二孩家庭在所有家庭中所占 比例 1h ：中国一孩家庭生育模式 2h ：中国二孩家庭生育模式 1 ：中国一孩政策下妇女的总和生育率 2 ：中国二孩政策下妇女的总和生育率 首先我们计算一孩政策下的中国生育总模式 1H 。在独生子女政策下妇女在 23 岁时生育意愿最强，权重达到 14.8%，经过计算 87.31 ， 3 ，所以 15,387.3 13 3 .8 7211 1 ieijjH ij。 然后我们开始利用韩国数据来预测中国二孩政策下的生育模式。假设*22*11
21、 , hhhh ，且 10 1-22 1 222222 baba ba ，由推测得 1.732016 ）（ ， 1.802017 ）（ ， 1.842018 ）（ ，所以得 到 2016-2018的生育模式如下： )(2.1)()( *2*12 jHjHjH 2016 年生育模式 )(05.0)(75.1)( *1*22 jHjHjH .2017 年生育模式 )(46.0)(2 .3)( *1*22 jHjHjH .2018 年生育模式 那么每一年第 i 年龄段的生育模式记为 )(iH （ 10,4i ），就有 )(iH 552 iH + 452 iH + 352 iH + 252 iH +
22、152 iH /5 iii ktHb )()()( 2018 年后的生育模式我们预测可以采用 2018 年的生育模式，因为已经进入稳定期。下面的图 2 是生育模式的曲线图。 图 2 2.3 新的 Leslie 模型构建和算法设计 is ：原来第 i 年龄段人群在一年之后仍停留在第 i 年龄段的人群的比例 is ：原来第 1i 年龄段人群在一年之后进入到在第 i 年龄段的人群的比例 id ：原来第 i 年龄段人群一年的死亡率 i ：原来第 i 年龄段人群一年的存活率 注意到我们得到的数据是以 5 个年龄为一个年龄段的，即 0-4 岁为第一个年龄段， 5-9 为第二个年龄段， ，依此类推。所以一年
23、后既会有部分人进入下一11 个年龄段，也会有部分人停留在本年龄段，当然也会有人死去。而在 0-4 岁年龄段会有新生儿加入，所以 2,)()1()()()1(101 1)(111ktXstXstXtXbtXstXkkkkkii（ 1）由此我们得到如下线性方程组 818171713322)10()4(100000.00000.000ssssssssbbs)(.)()(8121tXtXtX=）1(.)1()1(8121tXtXtX（ 2）下面我们给出利用查出的统计数据确定 Leslie 矩阵中参数设定的方法。根据我们的假设，在相当长时期内每个年龄段的参数应该保持不变，所以我们可以利用 2010 年，
24、 2015 年， 2016 年的统计结果确定 Leslie 矩阵中的参数。首先是每个年龄段的死亡率的确定。因为第 i 年龄段的人群五年后进入第 1i 年龄段，所以 )2015()2010( 15 iii XX ， iiiii dXX 1)2010( )2015( 511 ，。 下面开始求矩阵中的参数。由（ 1）式中的第一个方程我们得到 )2015()2015()2016(1104)(11 XXbXs ii， 同时 2015 年 0-4 岁的人群也可以分为三部分：一年后停留在这一年龄段的人群，一年后进入下一年龄段的人群，一年中死亡的人群，所以又有 1s )2015(1X + 2s )2015(1
25、X + 1d )2015(1X = )2015(1X ， 2s = 1 1s - 1d 12 2016 年 5-9 岁的人群可以由 0-4 岁年龄级进来的人群和 5-9 岁年龄级仍停留在本年龄级的人群组成，所以有 )2015(12Xs + )2015(22Xs = )2016(2X 2s = )2015( )2015()2016(2122 X XsX 依此类推可以得到 ,ii ss 的通项：当 )2( kki 时 ks = 1 11 kk ds , )2015( )2015()2016( 1kkkkk X XsXs 。 当然为保证数据的准确性，我们还可以利用 2009年， 2014年， 201
26、5年的数据来计算，然后取 平均值。在上机运行时我们是求了多个值，然后取平均值的。2.4 数据处理结果和实证分析 我们所采用的数据来自【 18-20】。首先我们来看看未来人口总数的预测结果。图 3 图 4 从图 3还可以直接发现执行全面放开二孩政策后，中国大陆人口会逐渐增加，所以国家在执行二孩政策时对人口总量要密切关注，合理调控。 图 4 显示如果不全面放开二孩，中国大陆的老年人比例及老 年抚养比都是在不断上升的。如果照此发展，随着医疗技术的提高，人的寿命进一步延长，那么不断提高的老年抚养比将对社会的养老保险体系提出严峻的挑战，将成为严重13 的社会问题。而如果全面放开二孩，在 2040 年左右
27、，老年抚养比到达一个最高值后将会逐渐下降。 图 5-A 图 5-B 图 5-A， 5-B 分别是不开放“全面二孩”的情况和开放“全面二孩”的情况。从图 5-B 可以看到，全面开放二孩政策下老年人人口比例在 下降，未成年人口比例在增加，最后劳动力人口会增加从而使得劳动力不足问题得到缓解；而从图5-A 可以看到如果未全面放开二孩会导致老年人人口比例不断上升而未成年人口增加缓慢或者不增加，最后导致劳动力严重不足。 图 6 通过图 6 我们看到相比原先的人口政策，在全面开放二孩政策下少儿抚养比14 会迅速提高，这会使得独生子女政策下建成的学校、幼儿园等青少年设施无法承担二孩时期的任务，这也是社会应该关
28、注的问题 。 3. 人口年龄结构的变化对国民经济的影响 中国人口结构与经济增长存在着密不可分的内在关系，人口既能作为生产要素投入直接作用于经济增长，也能通过人口内部结构的变化间接作用于经济增长。武康平【 10】利用生产函数研究了人口结构对经济增长的影响，这里我们利用索罗经济增长模型和上一章的预测结果分析全面二孩政策对中国经济长远发展的促进作用。 3.1 相关理论和基本概念 在大量的相关文献中，生产函数法一直是经济增长潜力分析的主流方法和基本框架。索洛 1956 年建立的生产函数模型出发的增长理论【 3】是研究 国民经济的重要工具。发展经济、提高生产力主要有以下手段：增加投资、增加劳动力、技术革
29、新。因此可以假设生产函数为如下的柯布 -道格拉斯形式： LAKY ， 其中 Y 为总产出， K 为资本存量， L 为劳动投入， A 代表生产技术。生产函数模型在综合分析的框架内，通过影响资本和劳动两种投入要素以及技术进步来决定经济增长率。 文【 13】 介绍 了 人口年龄结构变动影响经济增长的机理。基于 Andersson【 14】提出的“年龄结构 -人力资本 -经济增长假说”，人口年龄结构变动会通过 储蓄、消费、人力资本、技术创新这些 途径影响经济增长。 3.2 具有年龄结构的动态经济增长模型的建立 从 索洛 1956 年建立的生产函数模型出发的增长理论是研究国民经济的重要工具。发展经济、提
30、高生产力主要有以下手段：增加投资、增加劳动力、技术革新，而人口年龄结构也将通过投资、劳动力和技术革新影响经济增长。在这里主要讨论投资和劳动力对经济增长的作用。为确定模型中的要素指标，我们提出如15 下合理假设【 1， 3】。 假设 1：每个劳动力的产值随着每个劳动力的投资的增加而增长。但增长速度递减。 假设 2：投资增长率与产值成正比，但该比例系数与少儿抚养比、老年抚养比成反比。 在以上假设的基础下，我们建立如下具人口年龄结构特征的 动态生产函数模型。设 )(tQ ：时刻 t 的国内生产总值。 )(tK ：时刻 t 的资金投入。 )(tL ： 时刻 t 的劳动力投入。 LQz: ：每个劳动力的
31、产值。 LKy: ：每个劳动力的投资。 （ I）常微分方程模型 假设 1：每个劳动力的产值随着每个劳动力的投资的增加而增长。但增长速度递减。 假设 2：投资增长率与产值成正比，但该比例系数与少儿抚养比、老年抚养比成反比。 在以上假设的基础下，我们建立如下具人口年龄结构特征的动态生产函数模型，是一个常微分方程模型。由假设 1 我们可以设 cyz ， 10 ， 0c ， （ 3.1） 这里我们把技术进步的作用归于常数 c 。由（ 3.1）式可以导出生产函数 1LcKQ ， 10 ， 0c 。（ 3.2） 而 表示资金在产值中占有的份额， -1 表示劳动力在产值中占有的份额。 由假设 2，我们设投资
32、增长率函数是 tt , ，其中 0 ， 0， 0 ， 因而得到 QttdtdK , 。 （ 3.3） 设劳动力的相对增长率为函数 t ， t 可以是负的，表示劳动力减少。其实， 16 tNtttL ， ttN tNtttttL tL ， 所以得到 tLtdtdL 。 （ 3.4） 把（ 3.2） -（ 3.4）联立，得到如下常微分方程组 LdtdLQdtdKLcKtQ 1。 （ 3.5-a） 微分方程组（ 3.5-a）是具有人口年龄结构特征的动态生产函数模型，描述了随着时间变 化，人口年龄结构特征对国民经济的影响。 （ II）简单时滞微分方程模型 考虑到由数据采集产生的时滞，我们提出如下假设。
33、 假设 2：投资增长率与上一期产值成正比，但该比例系数与少儿抚养比、老年抚养比成反比。在假设 1 和假设 2的基础上我们建立以下模型 LdtdLtQdtdKLcKQ11。 （ 3.5-b） （ III） Logistic 型时滞微分方程模型 我们对模型（ II）进行一个修正。 假设 2：投资增长率与上一期产值成正比，但该比例系 数与少儿抚养比、老年抚养比成反比 ,与上一期的QK成反比。 在假设 1 和假设 2的基础上我们建立如下 Logistic 型的时滞微分方程。 17 111111tKtQtKLdtdLtQdtdKLcKQ， 0 。（ 3.5-c） 3.3 模型的数学分析 3.3.1 模型
34、（ 3.5-a）的数学分析 下面我们分 析微分方程组 （ 3.5-a） 。因为 QQcLQQKQLcKQKLKcdtdLLcKLdtdKKcdtdQ11111121211111， 所以得到 QQLcdtdQ 11211 。 （ 3.6） 作 11 QZ ， 则有 2111 QdtdQdtdZ，代入（ 3.6）有 1111121121111111QLcQQLcQdtdZ， 所以有 112 11 LcZdtdZ 。 （ 3.7） 解这个方程得到 18 tttttttQdtdtLcdtZ0 001021121e x p11e x p 。 （ 3.8） 由此得到 1)( tZtQ 。 （ 3.9） （
35、 3.8） -（ 3.9）描述了国民 经济在人口年龄结构特征的影响下随时间变化而变化的规律，但还不够明晰。为了明晰地看出这个变化规律，我们研究 dtdQ 。如果0dtdQ 则意味着国民经济在人口年龄结构特征的影响下随时间变化而递增，反之则表示国民经济随时间变化而递减。而为了更清晰地看到规律，我们考虑变量LKy ，由（ 3.6）得到 cyydtdy ， （ 3.10） 设 1yu ，则有 cuycyydtdyydtdu 1111 ， 因而有 tt tttt cdtdtcdtu 0 00 1e x p11e x p ，（ 3.11） 其中 100 tL tKc ，与初始投资和初始劳动力的比值有关。
36、注意到 cLyQ ，那么有 ucLcyycLcyyLcLcyycyycLLcydtdyycLdtdLcydtdQ1111211212211。 下面我们将分三种情形进行讨论。 19 情形 1. 如果 0 t ， 为正常数， 0t ，表示劳动力以一常数速率递减，而投资以常数速率递增。把 t ， t 代入（ 3.11），得到 000001e x p11e x p1e x p1e x p11e x p1e x p11e x p00ttcttcttctctcttcttutttt ， 因而 ，01200121e x p111e x p111e x p1ttcccc L yttcttccc L ydtdQ
37、所以当 1)(1e x p 0 cc ctt时， 0dtdQ ， 当 1)(1e x p 0 cc ctt时， 0dtdQ ， 即在有限时间内国民经济呈正向增长，而随着时间的推移，国民经济会进入下行通道。 情形 2. 当 tt 1 ， t 时，即劳动力随时间递减，但递减速度减慢，且足够长时间后趋于零。由（ 3.11）得到 1001010101 11ttctttccttcttttu， 则有 10022121211111ttcttccc L yutcc L ydtdQ， 20 因此如果 21 时， 0dtdQ 只在有限时间内成立。即如果在一份产值里，如果劳动力的份额大于资本份额，即劳动力影响大于资
38、本的影响，那么经过一段时间，国民经济仍要进入下行通道。 情形 3. 当 tt 1 ， 01tt 时，即投资仍在递增，但递增的速度随时间递减。通过考察经济学数据，我们发现这种情况更符合实际。由（ 4.11）有 10110111010101 ttcttctcttcttttu， 因而 1010110111111111ttccctttcttctctuctuc， 因而 0dtdQ 只能在有限区间上成立。即如果劳动力的投入不能增加，将会导致一段时间后国 民经济进入下行通道。 3.3.2 模型（ 3.5-b）的数学分析 经过求导由模型（ 3.5-b）得到 ytyttLtLdtdLLKdtdKLdtdy 1)
39、( )1(1 2， （ 3.12） 和 tytytLtLLcytytLtLycLLcydtdyycLdtdLcydtdQ111111 11。 （ 3.13） 我们有以下定理。 21 定理 1. 设 ty 为方程（ 3.12）的解，且当 0,1s 时， sysy ,0 不恒为零，则当 0t 时有 0)( ty 。 定理 2. 设 ty 为方程（ 3.12）的解，且当 0,1s 时， sysy ,0 不恒为零，如果 0t ，有 0dtdQ 对 0t 成立。 以上两个定理的证明比较简单，我们略去相关证明。而对 0t 的情形，我们将考虑 0,0 tt 的特殊情形。 由于 etLtL 1，因而有 0,1
40、 tytyedtdy ， 00 yty 。 这是一个时滞微分方程，下面我们用分步法来求解它。 设 000 , yceA ， 101 tt ，由常数变易公式可以得到， 101000000000000001e x pe x pe x pe x pe x pe x p00 00BttAyAttcyAcdtttyAttcdtyAdtytttttttt ， 设 112 tt ，对 21,ttt ，我们有 11111100110111 11e x p11e x pe x pe x p1e x pcdtttA BttAAttcdttyAdtytttttttt， 因为 11 BA ，所以由幂级数展开式的相关结论我们有 22 212111111111!211e x p1e x p-1ttttABttABttAB， 而 !21!211 22121 tttt，所以 12111111654311e x p-1 ABttAB ， 因此有 1212110111101111011111012e x pe x pe x p1e x p11e x p111e x p1e x pe x p1ttBttAttAAttcAActtAAttcdtttAAttytt 。 类似的我们可以得到 222222221165143111e x p1 ABttAB， 和 23 ，232322202222022220
