1、第3章 机械故障诊断的时序模型分析方法,3.1 时间序列模型结构特征3.2 自回归模型的参数、阶次的确定3.3 自回归谱的概念和应用 3.4 设备状态变化趋势性及预测,3.1 时间序列模型结构特征,3.1.1 机械设备运行过程数据序列的特点离散的时间序列：xk, k=1,2,.，N ：（1）时间序列是平稳或可近似认为是平稳的随机离散信号；（2）产生这一随机时间序列的原因无法确知；（3) 对时间序列的分析，由于机械系统相互偶合作用变得十分复杂。,3.1.2 时序模型的概念,设： yk(k=1,2,.，N)，E yk =y0为平稳时间序列。 令 xk= yk - y ，序列xk(k=1,2,.，N
2、)，E xk =x=0，仍是平稳时间序列。1. 自回归模型AR(m)任何一个时刻k上的数值xk可表示为过去m个时刻上数值的线性组合加上k时刻的白噪声： xk = 1 xk-1+ 2 xk-2 +.+ m xk-m + ak (3.1)式中：ak(k=1,2,)-白噪声， 且Eak=0，Dak=a2 (00,m0。,2. 滑动平均模型 MA(n),xk可表示为白噪声ak在 k时刻和k时刻以前n+1个时刻上数值ak-1， ak-2，.，ak-n的加权和，或者说滑动和的形式： xk = ak -1 ak-1 - 2 ak-2-.-n ak-n (3.2)式中：常数n叫做阶次； 常数系数I (i=1，
3、2，.，n)称为滑动平均 系数，且n 0, n0。,3自回归滑动平均模型ARMA(m,n),线性差分方程 xk -1 xk-1- 2 xk-2 -.- m xk-m = ak -1 ak-1 - 2 ak-2-.-n ak-n (3.3)其中：m0, n0， m 0, n 0； 常数m，n-自回归滑动平均模型的阶次。自回归滑动平均模型的含义是：在时刻k的输出xk是系统在k时刻前的m个输出xk-1，xk-2 ，.，xk-m与由k- n到k时刻中n+1个互相独立的白噪声输入的线性和。模型转换 在ARMA(m,n)(3.3)式中取m0, n= 0，变成AR(m)(3.1) 式；如果取m= 0, n0
4、，(3.3)式又变成MA(n)(3.2)式；自回归滑动平均模型是较一般的模型，自回归模型和滑动平均模型是它的特殊形式。,自回归模型可以逼近ARMA模型。ak是系统的白噪声输入，xk是系统的输出对式(3.3)的等式两端进行z变换，由自谱密度和传递函数的关系： Sx=|H(z)|Sa ，,3.2 自回归模型的参数、阶次的确定,3.2.1 AR模型参数的最小二乘方估计 AR(m)模型 xk = xk-1+ 2 xk-2 +.+ m xk-m + ak ak NID(0, a2) 参数估计：根据观测数据xk(k=1,2,.，N )，估计出i (i=1，2，.，m)和a2 这m+1个参数。 ak = x
5、k-1xk-1+ 2 xk-2 +.+ m xk-m a2是模型残差序列ak 的方差，故有 估计出i (i=1，2，.，m) ，即可按上式估计a2 。,1几个基本命题,(1) 当kj 时，Eakaj=0，即在不同时刻，ak是相互独立的，ak与ak-1, ak-2.均不相关； (2) ak的分布是正态的，即 ak NID(0, a2)；(3) 当j0时，E xk-jak=0，即ak与xk-1，xk-2，.均不相关，这从基本命题(1)，即可看出。,2. 样本自相关函数,平稳序列xk（k=1,2,.，N ），因为E xk =0，所以自相关函数和自协方差函数相同，为 ， k=0,1,2, .,K (K
6、N)k=0，r0就等于序列的方差，定义样本自相关系数为 ，k=0,1,2, .,K (K S1Rmax时，控制系统即可发出换刀信号。第二，直接采用第二主峰605656Hz的幅值S2R作为判据。 S1T n) 式中： Mk预测值（观测序列平均值）； xk 观测序列实际值； n 预测资料期(滑动平均包含的观测值的个数)。例如，设近期三个月的实测数据为x1、x2、x3，则预测第四个月和第五个月的数据分别为：,滑动平均法预测误差：,取决于滑动平均所包含的观测值个数n。n值越大，对实际值的修正作用越强，预测线越平滑，灵敏度也就越差，其结果只能反映预测事件的发展方向和趋势；n值越小，预测线接近实际值，灵敏
7、度越高。如果要求预测值比较准确，n值应取小一些，可在35之间；如果想得到事物变化的大致趋势，n值可取的大一些，可在1030之间。滑动平均法只适合作近期预测。,（2）加权滑动平均预测法,根据距离预测期的远近，分别赋予各个观测数据一个不同的权数，近期数据对于预测值的影响较大，其权数大些，远期数据的影响相对较小，其权数可小些。 (kn) 式中： M预测值（观测序列平均值）； x 观测序列实际值； w 数据的权数，wk-1 wk-2 ；w=1, 0w1。 加权滑动平均预测法预测误差比滑动平均法小。,（3）指数平滑法,指数平滑法是以近期的实际值和近期的预测值为依据， 经过修正后得出预测值。 式中： Mk
8、第k期预测值； Mk-1第k-1期预测值 xk-1第k-1期实际观测值； 平滑系数或权数（0 m) ，在上式中取k=k+l，并在等式两边取估计值，得到 由基本引理，得 其中0=x(1-1-m) 。,取l=1，2，可分别得到一步、二步，预报： 一步预报误差： 即k时刻一步预报误差等于第k +1时刻的白噪声的数值。一般情况下，正态平稳时间序列xk，一步预报误差ek(1)服从正态分布 所以 即 置信概率为0.95的一步预报绝对误差的范围为2,例 某条河流上的一个水文站从1915年到1973年记录的每年 最大径流量见表3-4 yk栏，共59个数据。要求建立AR模 型，并预报今后三年的年最大径流量。 解：1）先计算均值 令xk = yk -8669， xk的数据表3-4中的xk栏。 2）根据xk的数据，建立二阶自回归模型AR(2)。计算模型参数估计所需的自相关函数 所以,，,估计模型参数 所以得到关于xk的线性模型将xk = yk 8669代入上式，得到关于yk的线性模型 化简得,3) 由上式AR(2)的模型方程，得到预报公式为利用 y73年=9300， y72年=10000，得到 又 又得到了74、75、76年年最大径流量的预报值。,4) 一步预报误差 因而,
