1、三 平面与圆锥面的截线,高二数学PPT之数学人教A版选修4-1课件：3.3 平面与圆锥面的截线,1.了解不平行于底面且不通过圆锥的顶点的平面截圆锥的形状是椭圆、抛物线、双曲线. 2.感受平面截圆锥的形状,并从理论上证明. 3.通过Dandelin双球探求双曲线的性质,理解这种证明问题的方法.,1,2,3,1.定理2,1,2,3,1,2,3,名师点拨2.圆锥曲线的统一性,椭圆为封闭图形,双曲线、抛物线为不封闭图形,其图形不一样,但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到,因此,圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数,即离心率e.,1,2,3,2.
2、圆锥曲线的结构特点 (1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之和为常数(长轴长2a). (2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(2a). (3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等. 【做一做1】 双曲线上任意一点到两个焦点的距离分别是d1和d2,则下列为常数的是( ) A.d1-d2 B.d1+d2 C.|d1-d2| D.d2-d1 答案:C,1,2,3,3.圆锥曲线的几何性质 (1)焦点:Dandelin球与平面的切点. (2)准线:截面与Dandelin球和圆锥交线所在平面的交线.,1,2,3,(4)圆锥曲线的几何性质,1,2,3,【做一做2-1】
3、 设截面和圆锥的轴的夹角为,圆锥的母线和轴所成角为,当截面是椭圆时,其离心率等于( )答案:B 【做一做2-2】 双曲线的焦距为4,实轴长为3,则离心率e= . 解析:设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则2c=4,2a=3,在定理2中,当时,探究截线形状 剖析:如图,当时,平面与圆锥面的两部分相交,在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球,与平面的两个切点分别为F1,F2,与圆锥两部分截的圆分别为S1,S2.,在截口上任取一点P,连接PF1,PF2.过点P和圆锥的顶点O作母线,分别与两球切于Q1,Q2点,则PF1=PQ1,PF2=PQ2,所以|PF1-PF2|=|PQ1-P
4、Q2|=Q1Q2,所以Q1Q2是两圆S1,S2所在平行平面间的母线段的长,且为定值. 所以由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲线.,题型一,题型二,题型三,【例1】 如图,讨论其中双曲线的离心率.其中是Dandelin球与圆锥交线S2所在的平面,与的交线为m.,题型一,题型二,题型三,解:点P是双曲线上任意一点,连接PF2,过点P作PAm于点A,连接AF2,过点P作PB平面于点B,连接AB,过点P作母线交S2于点Q2. PB平行于圆锥的轴,BPA=,BPQ2=.反思讨论圆锥曲线的几何性质时,要注意结合图形进行.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 在圆锥内部嵌入Dandelin双球,一个位于
5、平面的上方,一个位于平面的下方,并且与平面及圆锥均相切.若平面与双球的切点不重合,则平面与圆锥面的截线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:由于平面与双球的切点不重合,则平面与圆锥母线不平行,且只与圆锥的一半相交,则截线是椭圆. 答案:B,题型一,题型二,题型三,【例2】 已知双曲线两个顶点间的距离为2a,焦距为2c,求两条准线间的距离. 解:如图,l1,l2是双曲线的准线,F1,F2是焦点,A1,A2是顶点,O为中心.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 顶角为60的圆锥面中有一个半径为2的内切球,以该球为焦球作一截面,使截线为抛物线,求该抛物
6、线的顶点到焦点的距,题型一,题型二,题型三,解:如图是圆锥的截面,其中点P为抛物线的顶点,点Q为抛物线的焦点,点M为截面与轴的交点,连接OA,OQ. 设A,B为球与圆锥的母线的切点. 由ASB=60, ASO=30. 又OA=2,OASA,OS=4,易知OPOS,又PMSB,PMS=OSB=OSA, SM=2OS=8.,题型一,题型二,题型三,易错点:错用圆锥曲线的离心率公式而致错 【例3】 已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形,用一个与轴线成30角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线的离心率为( ),错解:因为圆锥面的截面为等腰直角三角形,所以母线与轴线的夹角为45. 又因为截面与轴线的夹角为30,所以截线的离心率为,题型一,题型二,题型三,正解:A 解析:圆锥的轴截面为等腰直角三角形,所以母线与轴线的夹角=45. 又截面与轴线的夹角=30,即,截线是双曲线,其离心率,
