1、KOOA ECBDB DFA ECBDFK第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试思路分析2016.03.17 严文兰数学工作室由于 IMO 试题比较困难，所以即使写了解答，同学们也不一定看得懂，或者理解试的解法，为什么这样想呢？以及自己做时如何分析问题呢？本文尽量给予阐明清楚。1. 如图，在圆内接六边形 ABCDEF 中，AB=BC=CD=DE，若线段 AE 内一点 K 满足BKC=KFE, CKD=KFA ，证明：KC=KF 。分析：圆中角的关系最为灵活也相对简单，由已知圆周角AFE=BKD，注意到弧 BD=弧 AE 的一半，所以 又有AFE=BOD，从而BKD=BOD ，B 、K、
2、O、D 四点共圆，注意到 OC 为此圆对称轴，所以在直径上，所以 OK 为BKD 的外角平分线，这样分别延长 BK、DK 交圆 O 于 B,D,就可以得到对称性：B、B;D、D关于 OK 对称，由此，联系所证，只要 C、F 也关于 OK 对称，即得 KC=KF，故不妨设点 C 关于 OK的对称点为点 F，显然在圆上，下面设法证明 F=F，由已知，可想到先证 BKC=KFE，首先由对称性有BKC=BKF, 下面要证的是KFE= BKF,这两个角是“内错角” ，所以除非直线 BDFE,除非弧 BF=弧 DE，由已知及对称性确实有弧 BF=弧 DE，从而得到BKC=KFE，延长 FK 交圆 O 于
3、C,当点 F变化时，弧 EC=2KFE 也跟着单调变化，所以使得BKC=KFE 的点 F唯一，又BKC= KFE，所以 F=F，所以KC=KF。2. 求最小的正实数 ，使得对任意三个复数 ，若 ，123,|1zzC1230z则 。2212313| |zzz分析：由连续性，问题等价于条件、结论都是 的情况。在高等数学中有最大模原理，解析函数在自变量在边界时达到最大模。所以，容易想到当 最大时， 至少有两个在边界，2212313| |zzz123,z即满足 ，而 =|z2| |，23123112|()|i ieze故不妨设 则 ，2|,R0,zx3zx10,2所以 ，所以22241313| |4|
4、6z xmin下面设法证明之不妨设 中 的模最大，因为 ，将每个数都乘以 代替原来的数，123,zz3|1z13z则左边更大，此时 ，因为 ，设120，12,zxyizxyiR则 ，代入化简得 左边= ，先固0f2222(xy-)(1)()xyxy定 x，得 ，所以 先负后正， 先减后增，在两端最大，228()yfxyyff当 时， ，1当 最大时， 至少一个为 1，不妨设 ，以下同前面分析，即旋转为 在 xy12|,|z 2|1z1z轴负半轴上，设 ，则左边 ，所以 。(0)x2()xmin3. 给定整数 ，设集合 ，对任意2n12(,)|0,1,2,nkXaakn 元素 ，定义1(,),s
5、stt ，max,ax)ntt，求 X 的非空真子集 的元素个数的最大值，使得对1(ini,ssst A任意 ，均有,tA,tA分析：如果取 ，显然满足任意 ，均有 但是，不满足条件X,st,stAtA 是 X 的真子集，我们考虑去掉 X 的一些元素，使得得到的集合 A 满足后面的条件。为此，考虑某个 取少一个值 k，这时 A 满足后面的条件，且 ，当ka |(1)!kn时得到此种情形的最大值 ，元素能否再增加些呢？如果对此 A 添加一个元kn|!n素，那么只有 运算才可能产生新的元素，由此运算可知1(,)ns st，所以如果对原来的 A 添加1|,1,kaanA ，则这样的 A 满足所有条件
6、，此时11(,)|0nn |!(1)!n，同理再往下添加，则不行了，如果这是最大值，那么，当!(时，就不满足条件，也就是必定会有 A 不是 X 的真子集，即 ，|)!A AX下面设法证明：当 时， ，今对 n 行归纳法。|(1)!An(1) n=1 时，显然。(2) 假设对 ，成立，那么对 ，将 A 分成 支1nkk1k(,)|i kAaai，则至少有一支，不妨设为 ，有 ，注意到jA|(1)!| !(2)!jkk每支都对运算 封闭，由归纳假设，有 是满的，即,stjA1(,)|jkkAaXaj，因为 A 是 X 的真子集，所以至少有一支是不满的，不妨设为 ，记()lj，(,)maxiliis
7、 则由 运算知 ，再将 s 与 的元素进行 运算知t1(,)klssA jst，由 的定义知 ，由于 是不11(,)|iklala i11(,)|iklalaA l满的，所以至少有一个 ，所以 ，is|!(!li所以 ，得证。1|!()kAkk4. 设整数 ，数列 满足 ，,2cdna11,(1,2)dncac证明：对每个整数 ，存在 的素因子 ，使得对 ，有 。pin |npa分析：像这种不整除的问题，首先应考虑反证法，反设对某个 ，不存在这样的 ，n即 的所有素因子都是 的素因子，我们再来看递推式 ，这种非线na11,na 1dac性递推是比较复杂的，对此递推的把握容易想到这两点：整除与增
8、长速度，考虑整除是因为联系所证的结论，递推式虽然复杂，但是考虑整除就不一定复杂了，比如当 时，|npa有 ，也有 ，结果都是同样简单的；考虑增长速度是(mod)dnacp(mod)nacp因为 d 次幂增长非常快，显然要注意到这个特点，还有一个原因是，数论很常结合不等式技巧，所以应该如何考虑，应怎样分析，对水平高的同学来说条理是非常清晰的，思维更容易直指问题的本质。而不是乱想，而后才凑巧想到某个点。接下来，考虑比较简单的增长速度（不等式） ，有 （因为 可以211dnnaca1n无限大，故 c 相对较小，舍去，而 是有可能等于 2 的） ，d22 即 121nna最后，考虑整除，注意到 的所有
9、素因子都是 的素因子，以下比较素数幂na11,naCEFQSJIO PRDCA BAB DMN是自然的了，设 ，由知，至少有一个 ，不1 11,k knnapap ii妨设 ，设 中 的 幂指数最大，为 ，则 ，要进行比较，就要11, i 1考虑唯一的已知条件 ，dnc，12()()ddddn iacaac 因为 ，所以可以考虑 ，有 ，|ip 1mop 10()(mod)dn nicap这样就化简了，所以 ，这与 的 幂指数最大为 矛盾，所以假设不成立，得1|niai1证。5.如图所示，四边形 ABCD 内接于圆 O，A，C 的内角平分线相交于点 I，B，D 的内角平分线相交于点 J，直线
10、IJ 不经过点 O，且与边 AB，CD 的延长线分别交于点 P,R,与边BC，DA 分别交于点 Q,S,线段 PR，QS 的中点分别为 M,N,证明：OMON。分析：要证垂直，联想与垂直有关的知识，熟知如果分别延长 AI,CI,BJ,DJ,分别与圆O 交于点 ACBD,则四边形 ABCD为矩形，这是因为由对称性，AC,BD都是圆的直径的缘故。所以只要证明MON 等于其中一个直角即可，可想到分别证明OMAB,ONBC 。再看中点条件，M 为 PR 的中点，而 O 为四边形 ABCD的中心，所以如果能证明点 P，R 分别在直线 AB,CD上，则 OM 就位于平行线 AB,CD的中间，从而有 OMA
11、B ，从而转化为 ABR 与 CDP 三点共线问题，如果CDP 三点共线，注意到此时会有AIC与BJD的对应点的连线交于点 P，由笛沙格定理，会有这两个三角形的对应边的交点共线，反之也然，注意到有两双对应边的交点正好是内角平分线的交点 E,F，这两个点在 AD,BC 所成角的平分线上，设 AD,BC 交于点G，AC,BD交于点 H，则 EFG 三点共线，要证 EFH 三点共线，只要再证点 H 在直线 EFG上即可，证明三点共线，还可联想到帕斯卡定理，考虑圆内接六边形 ACCBDD,即得点FGH 三点共线，所以 EFH 三点共线，从而对AIC与BJD ，由笛沙格定理，CDP 三点共线，同理 AB
12、R 也三点共线，所以 OMABCD,同理 ONBCAD,得证。6设 为整数， ，S 是一个 n 元整数集合，证明：S 至少有 个子集，,mn2 12nm每个子集的元素和均被 m 整除。 （这里约定空集的元素和为 0）分析：注意到 恰好是 元集合的所有子集的个数，如果取 S 的某个1n1元子集 A，则 A 的所有子集（当然也是 S 的子集）的元素和有 个，这样任1n 12nm取的元素和当然不大可能都被 m 整除，所以，我们应当考虑余下的 个元素，设所成的集合为 B，接下来自然考虑对前面的每个和 ，再于 B 中取若干元素的得和 ，使得凑1s 2s出 ，如果能做到，这样，就可得到 个子集元素和，都是
13、 m 的倍数，从而完12|ms2nm成证明。由于前面和的任意性，很可能是取遍了模 m 的完系，这就需要 B 满足：B 的子集元素和也取遍模 m 的完系，所以考虑的重点为：如何从 S 中取出 元子集 B，使得 B 的子集1元素和也取遍模 m 的完系？比如 就满足条件，注意，空集的元素和为 0。1,B（严格的写法是比如 ，模 m 下 与 1 效果一样）,(2) k这个问题是复杂的，如何接着考虑呢？我们可以试试能否复杂问题简单考虑，个太多不好把握，我们可以从 1 个开始，用数学归纳法的思想，从 开始，每1m B次添加一个元素，看 B 能否产生新的子集元素和，如果每次都可以，那么，添加到个元素时，就得
14、到 m 个模 m 各不相同不同的数，也就是得到模 m 的完系了。证明如下：时，B 的子集元素和为 0，有一个，设 B 的元素小于 k 个时，在模 m 下它的所有不同子集元素和为 ，任取 S 的余下元素 ，将 s 添加到 B 中，如果此时 B 的子1,ks集元素和在模 m 下能产生新的数，则完成了我们想要的步骤。有以下两种情况：(1)每次都顺利完成，得到 S 的 元子集 B，B 的子集元素和取遍模 m 的完系，如上，至少有 个 S 的子集和，每个都被 m 整除；12n(2)对某个 ，B 不能产生新的子集元素和，即对任意的 S 的余下元素 s，在模 m 下k不产生新的数，注意到 模 m 各不相同，
15、所以只能是1,ss 1,kss的一个排列，所以有 ，k 1()()(od)kks ， ，0(mod)s|ks设 ，则 ，所以 S 中余下的所有元素 ，每个都,k,|dms()nk是 的倍数，记为 ，又记 ，注意到 1,nkx 1,nkx1|iijdx，所以这种情形下，将 S 的子集元素和为 m 的倍数问题，转1|iijmmx化为 的子集元素和为 d 的倍数问题，假设对 m 行归纳法法，则对 d， 中至少有S S个子集的元素和是 d 的倍数，对应地，S 中至少有 个子集的元素和是 m 的12nkd 12nk倍数，因为 ，所以 ，所以 ，得证。(,),kk11nkdnm小结：在这个困难的问题中，我们将(1)(2)综合起来，一般来说，数学难题都不是单一思路的，要善于综合起来思考。一方面是什么，另一方面又是什么，综合起来才得到结论。
