1、机器人运动学,A矩阵和T矩阵运动姿态和方向角运动位置和坐标,机器人运动学基础,3.1.1 A矩阵和T矩阵 机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆组构成. 用A矩阵描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换. A1表示第一连杆对基坐标的位姿 A2表示第二连杆对第一连杆位姿 则第二连杆对基坐标的位姿为,3.1机器人运动学基础,如此类推，对于一个六连杆机器人，有,机器人最后一个构件（手部）有三个自由度用来确定其位置，三个自由度确定其方向。用表示机械手的位置和姿态，这样六连杆机器人在它的活动范围内可以任意定位和定向,3.1.2 运动姿态和方向角 1.运动方向 接近矢量a:夹持器进入物体的方向;Z轴 方
2、向矢量o:指尖互相指向;Y轴 法线矢量n:指尖互相指向;X轴,3.1机器人运动学基础,3.1机器人运动学基础,3.1.2 运动姿态和方向角 2.用欧拉角表示运动姿态 欧拉角:绕Z轴转,再绕新Y轴转,绕最新Z轴转.注意:坐标变换是右乘.即后面的变 换乘在右边.(绕新轴转,连乘),3.1机器人运动学基础,3.1.2 运动姿态和方向角 3.用滚仰偏转表示运动姿态 横滚:绕Z轴转, 俯仰:绕Y轴转, 偏转:绕X轴转.注意:左乘.,3.1.3 运动位置和坐标 1.用柱面坐标表示末端运动位置 从基础坐标系出发变换的顺序为：沿x轴平移r，接着绕z轴旋转最后沿z轴平移z; 相对于参考坐标系的变换，位置和姿态都
3、有变化，变换矩阵为：,3.1机器人运动学基础,3.1.3 运动位置和坐标 2.用球面坐标表示末端运动位置 沿Z平移r,绕Y轴转,绕Z轴转.,3.1机器人运动学基础,机器人正运动学,机器人正运动学方程,已知杆件几何参数和关节角矢量求机器人末端相对于参考坐标系的位置和姿态,3.2 机器人正运动学方程,连杆描述 连杆连接的描述 对连杆附加坐标系的规定 操作臂运动学 PUMA560运动学方程,机器人正逆运动学引入,3.2.1连杆描述,描述一个连杆的两个参数:1.Link length 连杆长度ai-1 关节轴i-1和关节轴i之间的公垂线的长度ai-1 2.Link twist 连杆转角 假设作一个平面
4、,并使该平面与两关节轴之间的公垂线垂直,然后把关节轴i-1和关节轴i投影到该平面上,在平面内轴i-1按照右手法则绕ai-1转向轴i,测量两轴角之间的夹角为i-1.,假设条件,把连杆看作是一个刚体,3.2.1连杆描述,下图中的连杆长度和连杆转角？,3.2.2连杆连接的描述,描述连杆连接的两个参数:1) link offset 连杆偏距相邻两个连杆之间有一个公共的关节轴,沿着两个相邻连杆公共轴线方向的距离可以用一个参数描述为连杆偏距di.当i为移动关节时,连杆偏距为一变量.2) joint angle 关节角描述两个相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角i.当i为转动关节时,关节角为一变量.,（1） 连杆中
5、的中间连杆,3.2.2连杆连接的描述,对于运动链中的末端连杆,其参数习惯设为0,即a0=an=0.0,0=n=0.0.从关节2到关节n的连杆偏距di和关节角i.是根据前面的规定进行定义.关节1(或n)如果为转动关节,则1的零位可以任意选取,并规定d1.=0.0;关节1 (或n)如果为移动关节,则d1的零位可以任意选取,并规定1.=0.0;,（2） 连杆中的首尾连杆,（3） 连杆参数,对于转动关节,i为关节变量,其他三个连杆固定不变; 对于移动关节, di为关节变量,其他三个连杆固定不变; 这种用连杆参数描述机构运动关系的规则称为Denavit-Hartenberg参数,所以对于一个6关节机器人
6、,需要用18个参数就可以完全描述这些固定的运动学参数,可用6组(ai, i , di) 表示.,3.2.3连杆附加坐标系的规定,（1）连杆中的中间连杆,为了描述每个连杆和相邻连杆之间的相对位置关系,需要在每个连杆上定义一个固连坐标系.,规定:坐标系i的Z轴称为Zi,与关节轴i重合;坐标系i的原点位于公垂线ai与关节轴i的交点处.Xi轴沿ai方向由关节i指向关节i+1 (若: ai =0,则Xi垂直于Zi和Zi+1所在的平面;按照右手定则绕Xi轴的转角定义为i ,由于Xi轴的符号有两种,则转角的符号也有两种.)Yi轴由右手定则确定,3.2.3连杆附加坐标系的规定,坐标系0 通常规定: Z0轴沿着
7、关节轴1的方向,当坐标系1的关节变量为0时,设定参考坐标系0与1重合.且a0=0, 0=0,当关节1为转动关节,d1=0;当关节1为移动关节, 1.=0.0坐标系n 通常规定: 对于转动关节 n,设定n=0.0,此时Xn和Xn-1轴的方向相同,选取坐标系n 的原点位置,使之满足dn=0; 对于移动关节 n, 设定Xn轴的方向使之满足n=0.0,当dn=0时,选取坐标系n 的原点位于Xn-1轴与关节轴n的交点位置.,（2）连杆中的首尾连杆,3.2.3连杆附加坐标系的规定,ai=沿Xi轴,从Zi移动到Zi+1的距离; i=绕Xi轴,从Zi旋转到Zi+1的角度; di=沿Zi轴,从Xi-1移动到Xi
8、的距离; i=绕Zi轴,从Xi-1旋转到Xi的角度;通常规定ai 0,其余可正可负.按照上述规定的坐标系不是唯一的, Zi的指向有两种选择;如果关节轴相交, Xi轴的指向也有两种选择.当相邻两轴平行时,坐标系原点可以任意选择,当关节为移动关节时,坐标系的选取一定具有任意性.,（3）在连杆坐标系中对连杆参数的归纳,Axis i+1,3.2.3连杆附加坐标系的规定,确定关节轴，并画出轴的延长线。 找出关节轴i和i+1的公垂线或交点，作为坐标系i的原点。 规定Zi的指向是沿着第i个关节轴。 规定Xi轴得指向是沿着轴i和i+1的公垂线的方向，如果关节轴i和i+1相交，则Xi轴垂直于关节轴i和i+1所在
9、的平面。 Yi 轴的方向由右手定则确定。 当第一个关节变量为0时，规定坐标系0和1 重合，对于坐标系N，尽量选择坐标系使得连杆参数为0.,（4）建立连杆坐标系的步骤,3.2.3连杆附加坐标系的规定,例题1,0,3.2.3连杆附加坐标系的规定,例题2,3.2.3连杆附加坐标系的规定,例题3,3.2.4操作臂运动学,目的：求出相邻连杆间的坐标变换的形式，进一步求出连杆n相对于连杆0的位置和姿态。,（1）推导过程： 1.坐标系i相对于坐标系i+1的变换是由连杆四个参数构成的函数，其中只有一个变量。 2.为求解 ，对每个连杆建立坐标系，分解成4个变换子问题，每个子变换只包含一个连杆参数。 3.定义三个
10、中间坐标系P Q R： 坐标系P 是由坐标系i-1绕X轴偏转i-1得到； 坐标系Q是由坐标系P 沿着X轴平移ai-1得到； 坐标系R是由坐标系Q绕Z轴旋转i得到； 坐标系i是由坐标系R沿着Z轴平移di得到。,P,Q,R,3.2.5 PUMA560运动学方程,P,Q,R,化简：,这里：,根据变换过程：,即：,最后，得到相邻连杆的一般变换为：,变换矩阵：,3.2.5 PUMA560运动学方程,（2）连续连杆变换,定义了连杆坐标系和相应得连杆参数，就能建立运动学方程，坐标系N相对于坐标系0的变换矩阵为：,变换矩阵 是关于n个关节变量的函数，这些变量可以通过放置在关节上的传感器测得，则机器人末端连杆再
11、基坐标系（笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。,已知各关节转角，求末端位姿,腕部机构简图,3.2.5 PUMA560运动学方程,（）i是从Xi-1到Xi绕Zi-1旋转的角度； （）di是从Xi-1到Xi沿Zi-1测量的距离； （）ai是从Zi-1到Zi沿Xi测量的距离； （）i是从Zi-1到Zi绕Xi旋转的角度。,1.确定D-H坐标系 2.确定各连杆D-H参数和关节变量,3.2.5 PUMA560运动学方程,3.求出两杆间的位姿矩阵,3.2.5 PUMA560运动学方程,不同的坐标系下D-H矩阵是不同的，关键是约定!,4. 求末杆的位姿矩阵,3.2.5 PUMA560运动学方程,3.2.
12、5 PUMA560运动学方程,3.2.5 PUMA560运动学方程,5.验证,机器人逆运动学方程,3.3 机器人逆运动学方程,实质：已知T6（即已知矢量n 、o 、a和p ）求解，从而确定与末端位置有关的所有关节的位置关的所有关节的位置-实际工程问题,已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位姿），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的条件？,3.3机器人逆运动学,可解性 多解性 求解方法 PUMA560 逆解过程,机器人逆运动学,3.3.1可解性 解的存在问题取决于操作臂的工作空间（Workspac
13、e）工作空间：操作臂末端执行器所能到达的范围。所有具有转动和移动关节的机器人系统，在一个单一串联链中共有个6自由度或小于6个自由度时是可解的。其通解是数值解，不是解析表达式，是利用数值迭代原理求解得到的，其计算量比求解析解大得多。要使机器人有解析解，设计时就要使机器人的结构尽量简单，而且尽量满足连续三个旋转关节的旋转轴交会于一点的充分条件，或许多i等于0或90的特殊条件。的特殊条件。,机器人逆运动学,3.3.2多解性对于给定的位置与姿态，它具有多组解。造成机器人运动学逆解具有多解的原因是由于解反三角函数方程产生的。对于一个真实的机器人，只有一组解与实际情况对应， 为此必须做出判断，以选择合适的
14、解。通常采用剔除多余解的方法： 为此必须做出判断，以选择合适的解。通常 (1) 根据关节运动空间来选择合适的解。 (2) 选择一个最接近的解。 (3) 根据避障要求选择合适的解。(4) 逐级剔除多余解。,机器人逆运动学,3.3.3 求解方法,操作臂全部求解方法分为：封闭解和数值解法。数值解法是利用迭代性质求解，速度慢。封闭解是我们主要的求解方法。,封闭解分为代数解和几何解,（1）代数解,机器人逆运动学,通过比较，我们得出四个方程：,求得：,机器人逆运动学,几何方法中，首先将操作臂的空间几何参数分解成为平面几何参数，然后应用平面几何方法求出关节角度,（2）几何解,3.3.4 PUMA560 机器
15、人逆运动学方程 问题：已知，求：各转角,机器人逆运动学,上式两端的元素（3，4）对应相等，得：,-s1px+c1py=d2,首先求1 ，将 等式两端左乘 ，得,再利用三角代换: 和 ，其中,机器人逆运动学,把它们代入代换前的式子得：,再求3。再令矩阵方程两端的元素（1，4）和（2，4）分别对应相等得：,机器人逆运动学,两边平方相加得：,合并同类项并整理得：,令,，再利用三角代换可得：,式中正，负号对应着3 的两种可能解。,机器人逆运动学,然后求2：,将 展开并整理得：,同样再利用三角代换容易求得2的四种可能解：,其中,其他关节变量过程类似，略。,机器人逆运动学,3.3.5关节空间和操作空间,机
16、械手的末端位姿由n个关节变量所决定，这n个关节变量统称为n维关节矢量 ，所有关节矢量 构成的空间称为关节空间。,末端手爪的位姿是在直角坐标空间中描述的，即用操作空间或作业定向空间来表示。,各驱动器的位置统称为驱动矢量 。所有驱动矢量构成的空间称为驱动空间。,机器人逆运动学,3.4 机器人的微分运动与雅可比矩阵,3.4.1微分运动和速度 3.4.2机器人雅可比矩阵 3.4.3雅可比矩阵求逆 3.4.4坐标系的微分运动,微分运动,3.4.1微分运动和速度 微分运动就是指机器人的微小运动（推导不同杆件间的速度关系），而微分关系是指微分运动与速度之间的关系 以两自由度平面关节机构为例，推导速度方程,B
17、点的速度,B点的位置方程,根据物理学中的相关公式,求微分,比较发现？,关节的微分运动,雅克比矩阵,末端的微分运动方程,雅可比矩阵,3.4.2机器人雅可比矩阵,雅可比矩阵表示各单个变量与函数间的微分关系，可以将机器人单个关节的速度转换为手部的速度揭示了操作空间与关节空间的映射关系。 雅可比矩阵是机器人构型设计的函数，同时也是机器人即时位姿的函数，即矩阵各元素的大小也随时间变化,机器人速度分析 左、右两边各除以dt得,或表示为,雅可比矩阵,雅可比矩阵的几何意义：每一列对应每个关节坐标的微分变化以二自由度平面关节型机器人的雅可比矩阵为例： J1列是在20时，即第2关节固定，仅第1关节转动情况下，指尖
18、平移速度在基坐标系上表示出的向量； J2同样,对于n自由度机器人，若机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X 表示，关节变量可用广义关节变量q 表示，q= q1, q2, qnT；当关节为转动关节时qi= i；当关节为移动关节时qi=di，则,雅可比矩阵,雅可比矩阵的求法矢量积法 对移动关节对转动关节,雅可比矩阵,为了计算机器人关节上的微分运动(或速度)以得到所需要的手的微分运动(或速度)，需要计算雅可比矩阵的逆,求符号形式的雅可比矩阵的逆或数值方法求矩阵的逆，都有计算量大费时的问题 求解逆雅可比矩阵的方法：给定的值，在求得各关节坐标的解之后，对这个解进行微分，具体方法不作讨,坐标
19、系的微分运动,机器人的每个关节坐标系的微分运动，导致机器人手部坐标系的微分运动 假设机器人焊接时，为了获得最好的焊接质量，要求机器人以恒速运动，即要求指定的手坐标系的微分运动能表示按特定姿态的恒速运动,3.4.3 坐标系的微分运动,坐标系的微分变换是微分平移和微分旋转运动的合成。如果用T表示原始坐标系，并假定由于微分变换所引起的坐标系T的变化量用dT表示，则有：,可令：,我们称 为微分算子，用它乘以一个坐标系将导致坐标系的变化。,坐标系的微分运动,微分算子,坐标系的微分运动,前面介绍的微分算子 是相对于固定参考坐标系来说的，同样的，我们可以定义另外一个微分算子，是相对于当前坐标系的，这样使得可以在该坐标系（当前）中计算同样的变换。由于是相对于当前坐标系的，必须用右乘该坐标系的。如下式所示：,得到的结果如下,坐标系的微分运动,应注意， 看上去如同 矩阵，但所有元素都是相对于当前坐标系的，这些元素可从以上矩阵相乘的结果求得，结果归纳如下：,THANK YOU,
