1、北京航空航天大学,第2讲 数理力学基础,北京航空航天大学,第2讲 数理力学基础,2.1 矩阵算法 2.2 弹性力学基础 2.3 泛函和变分法,北京航空航天大学,2.1 矩阵算法,线性方程组的表示 行向量和列向量 矩阵加、减、乘法运算 矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵 矩阵行列式 矩阵求逆 矩阵的微分和积分 正定矩阵（正定二次型）,北京航空航天大学,线性方程组的表示,求解方法：高斯消元法、迭代法,北京航空航天大学,行向量和列向量,北京航空航天大学,矩阵加、减、乘法运算,北京航空航天大学,对称方阵,矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵,北京航空航天大学,或,矩阵行列式,奇异矩阵(方阵),北京航空航天大学,如
2、果方阵A的行列式,则其逆存在，记为,A的伴随矩阵,矩阵的逆,对于：,线性方程组的求解，变为求解系数矩阵的逆矩阵,北京航空航天大学,矩阵的微分和积分,北京航空航天大学,二次型：含有n个变量的二次齐次多项式,若取,正定二次型,则,北京航空航天大学,利用矩阵及其运算，二次型可表示为,A: 对称矩阵,正定二次型：设,为实二次型，如果对于,任意的非零实向量X，都有,A: 正定矩阵,北京航空航天大学,关于正定矩阵,正定矩阵是特殊的对称实矩阵 正定矩阵的对角元aii0 正定矩阵的行列式|A|0 A为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序主子式皆大于0,北京航空航天大学,二次型的微商,对向量x各元素的偏导数,北京航
3、空航天大学,2.2 弹性力学基础,关于弹性力学 五个基本假定 外力和内力 应力、应变、位移 指标记法和求和约定 张量及Voigt标记 平面问题基本方程及边界条件 三维问题基本方程及边界条件,北京航空航天大学,关于弹性力学,弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下内力和变形分布规律的一门学科。,力学学科各分支的关系,北京航空航天大学,五个基本假定,连续性：无空隙，能用连续函数描述 均匀性：各个位置物质特性相同 各向同性：同一位置的物质各个方向上具有相同特性 线弹性：变形和外力的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状 小变形：变形远小于物体的几何尺寸，建立基本方程时可以忽略高阶小量。,北京航空航
4、天大学,外力和内力,体力分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。 面力分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。 分布力：连续分布在表面某一范围内 集中力：分布力的作用面积很小时的简化 内力外力作用下，物体内部相连各部分之间产生的相互作用力。,北京航空航天大学,位移、应力、应变,对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移物体变形后的形状 应力物体的受力状态 应变物体的变形程度,北京航空航天大学,位移,位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示。,北京航空航天大学,应 力物体内某一点的内力,F1,F2,F3,应力S在其作用截面上的法向分量为正应力
5、，切向分量称为剪应力，用表示。,北京航空航天大学,显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。,北京航空航天大学,一点的应力状态,无穷小正六面体,六面体的各棱边边平行于坐标轴,北京航空航天大学,第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。 正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用一个下标。 应力分量的方向定义 ： 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正； 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上
6、的应力分量以沿坐标轴负方向为正。,北京航空航天大学,剪应力互等 物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量来表示,或,北京航空航天大学,应变,物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。 各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用表示。 两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用表示。,北京航空航天大学,与应力的定义类似，物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表示：,或,北京航空航天大学,指标记法和求和约定,自由指标：表达式每一项中只出现一次的下标，如ij ,其中i,j为自由指标，可以自由变化。三维问题中， i,j的变化范围为1,2,3，分别和直角坐标系三个坐标轴x,y,z对应
7、。 重复指标（哑指标）：表达式的每一项中重复出现的下标，如aijxj=bi ，j为哑指标。 求和约定：哑指标意味着求和。爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、连续介质力学等学科中,对于表达式和推导的简化,有着十分重要的作用。,北京航空航天大学,按一般写法：,用指标记法，则为,（指标变化范围为1,2,3）,采用指标记法后，方程(组)的表达形式得到简练。,北京航空航天大学,张量及Voigt标记,大部分连续介质力学和有限元相关的文献采用张量符号和指标记法 张量的定义：不同坐标系下满足一定变换关系的物理量,如 u, , 张量通常采用指标记法表示 0阶张量(标量)：无自由指标的量 1阶张量(矢量)：有1
8、个自由指标的量，如ui 2阶张量：有2个自由指标的量，如ij , ij n阶张量：有n个自由指标的量,北京航空航天大学,一点的应力状态和应变状态都符合张量的定义，指标记法为ij 和ij，是二阶张量,北京航空航天大学,对张量的理解,张量不随坐标系的改变而改变 例如位移矢量ui ：无论从哪一个坐标系观察，它反映的总是A点移动到B点的客观事实，不随观察者所在的坐标系而改变。 再如应力张量ij和应变张量ij ，尽管在不同的坐标系中具有不同的分量，但是它们所描述的却是某点的同一个应力和应变状态。,北京航空航天大学,Voigt标记,含义：在有限元编程中，常常将对称的二阶张量写成列向量，将非常棘手的对称四阶
9、张量（如弹性系数矩阵Dijkl）转换成二阶张量。这种转换过程称为voigt标记。 转换规则： 应力张量（动力学量）的转换 应变张量（运动学量）的转换,北京航空航天大学,应力张量的Voigt标记,北京航空航天大学,应变张量的Voigt标记,剪切应变需要乘以2，这是源于能量表达式的需要。,北京航空航天大学,弹性系数矩阵的Voigt标记,北京航空航天大学,平面问题及其基本方程,弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。,北京航空航天大学,平面应力问题,很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于
10、板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。,由于板很薄：,北京航空航天大学,平面应变问题,很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。,北京航空航天大学,三大类基本方程,在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括 平衡方程：内力和外力的关系 几何方程：应变和位移的关系 物理方程（本构方程）：应力和应变的关系,北京航空航天大学,平衡方程,ab=dx ad=dy,北京航空航天大学,习惯上,张量指标形式：,单位体积力,北京航空航天大学,几何
11、方程,北京航空航天大学,张量指标形式：,北京航空航天大学,物理方程,平面应力问题：,平面应变问题：,张量指标形式：,北京航空航天大学,边界条件,ds,外法线n的方向余弦 l=dy/ds m=dx/ds,北京航空航天大学,位移BC,力 BC,张量指标形式：,北京航空航天大学,三维问题基本方程及边界条件,可以将平面问题的基本方程推广到三维问题。基本变量如下：,位移： 应变： 应力：,北京航空航天大学,平衡方程,柱坐标系下：,北京航空航天大学,几何方程,北京航空航天大学,物理方程,北京航空航天大学,边界条件,北京航空航天大学,三维问题基本方程的张量指标形式,平衡方程：,几何方程：,物理方程：,边界条
12、件：,北京航空航天大学,轴对称问题,轴对称物体 ：某一平面图形绕平面上某一轴旋转形成的回转体。此平面称子午面。 轴对称物体轴对称约束轴对称载荷轴对称系统 对轴对称系统的应力分析轴对称问题,北京航空航天大学,受均布内压作用的长圆筒,北京航空航天大学,研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系(r,z)，以z轴为对称轴 由于对称性: 4个应力分量，4个应变分量，2个位移分量,北京航空航天大学,轴对称问题的平衡方程,建立柱坐标系,北京航空航天大学,轴对称问题的几何方程,北京航空航天大学,轴对称问题的物理方程,北京航空航天大学,北京航空航天大学,2.3 泛函和变分法,泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是
13、通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。,变 量,函 数,函 数,泛 函,北京航空航天大学,为什么“任意两点间的最短连线是连接两端的直线”？,曲线y=y(x) 是 x 函数,曲线的长度L=L(y(x) 是 y(x) 的泛函,在xy平面内有两定点A、B，连接A、B有很多条曲线y=y(x)，x是自变量，y是独立函数。曲线的长度L是随不同的曲线而定的，L是一个泛函。,北京航空航天大学,泛函的定义,设y(x)是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一函数y(x) 恒有某个确定的数与之对应，记为(y(x)，则(y(x)是定义于集合y(x)上的一个泛函。 泛函定义域内的函数为可取函数或容许
14、函数， y(x) 称为泛函的变量函数。 泛函(y(x)与可取函数y(x)有明确的对应关系。泛函的值是由一条可取曲线的整体性质决定的。,北京航空航天大学,变分法,变分法是在一组容许函数中选定一个函数，使给定的泛函取驻值（研究求泛函极大(小)值的方法）。 对变分法有重大影响的三个历史命题 最速降线问题（1696,John Bornouli） 短程线问题（1697,John Bornouli） 等周问题（1774,欧拉）,北京航空航天大学,最速降线问题,试确定出连结不在同一铅直线上的A、B两点的一条曲线，使得当质点沿着这条曲线在重力作用下，由A运动到B所用的时间最少,北京航空航天大学,北京航空航天大
15、学,北京航空航天大学,北京航空航天大学,短程线问题,北京航空航天大学,北京航空航天大学,二类变分问题,北京航空航天大学,变分算符,变量函数的变分 对于泛函(y(x)定义域中的任一元素y(x)，当y(x)由y0(x)变为y1(x)，则称y1(x)- y0(x)为y(x)在y0(x)上的变分，记作y= y1(x)- y0(x)，仍然是一个函数 常记作 变分y和微分dy的差别 变分y整个函数的改变 微分dy因x取不同值而产生的差异,北京航空航天大学,泛函的变分 泛函的变分是函数微分概念的推广。 泛函的变分是泛函随变量函数y(x)的微小增量y而产生的增量的线性部分。,函 数:,泛 函:,北京航空航天大学,泛函的极值,函数极值:,泛函极值:,多元函数极值:,或,北京航空航天大学,对第一类变分问题,求泛函,极值,北京航空航天大学,变分运算规则,变分算符和微分算符可以互换。 变分与微分的运算基本相似。,北京航空航天大学,变分法基本预备定理,北京航空航天大学,最短线问题求解,
