1、,第七章 动量定理,理论力学,动力学,1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需要研究质点系整体的运动情况。,动力学普遍定理概述,对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。,对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方程， 联立求解它们即可。,实际上问题是,动力学,动力学普遍定理以简明的数学形式，表明两种量 一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。,本章中研究
2、质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式质心运动定理。,动力学首先讨论动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。,71 质点系的动量72 动量定理与质心运动定理73 动量守恒与质心运动守恒74 变质量质点的运动微分方程,第七章 动量定理,一、质点系的质心质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。,动力学,7-1 质点系的动量,在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛
3、的力学意义。,动力学,质心 C 点的位置：,（平行力系中心）,例1 曲柄OA以匀角速度转动，滑块B沿x轴滑动。若取OA=AB=l,OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2，且m1= m2= m，求此系统的质心运动方程。,解：设t=0时OA杆水平，则有=t。,动力学,二、质点系的动量1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是kgm/s。,动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。,例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。,2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。,例：,质点系动量的计算：,即：质点系的质量
4、与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。,投影形式：,如： 坦克的履带质量为m。设坦克前进速度为v，则履带的动量是多少？,3.刚体的动量,a.单个刚体：,p=Mvc,例：,b.刚体系统的动量：设第i个刚体 则整个系统：,动力学,例2 曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也为m。求当 = 45时系统的动量。,解法：（1）按 求解（2）按 求解,动力学,曲柄OA： 滑块B：连杆AB： （ P为速度瞬心 ）,解：（解法一）,解：（解法二）,系统任意时刻的质心坐标为,按 求解,系统的动量沿x、y轴的投影,质心速度,故,由于,系
5、统的动量为,动量的方向沿质心轨迹的切线方向。,将 m1=m2=m3=m， t= 45 代入,2力 是变矢量：（包括大小和方向的变化）元冲量：冲量：,1力 是常矢量：,动力学,三冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。,动力学,3合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和,课堂练习：行星轮系由均质的系杆OA、中心齿轮1、行星齿轮2及固定的内齿圈3组成。已知齿轮1、2的半径分别为r1和r2；质量分别为m1和m2，系杆的质量为m，以角速度绕轴O转动。求轮系的动量。,轮系的
6、动量,7-2 动量定理与质心运动定理,一质点的动量定理,质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力,动力学,质点的动量定理,二质点系的动量定理,对质点系内任一质点 i，,对整个质点系：,外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。,内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：,质点系的动量定理,即：质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。,质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。,动力学,动力学,定理说明： 只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动
7、量。,将 代入到质点系动量定理，得,若质点系质量不变，,则 或,动力学,上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。,1. 投影形式：,三质心运动定理,注意： 质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系， 无论它作什么形式的运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动， 并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上， 所有外力也集中作用在质心这个点上。,动力学,或,或者,3质心运动定理可求解两类动力学问题：已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括约束反力)。
8、已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。,只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。,动力学,动力学,例5 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束力。,解: 取整个电动机作为质点系研究，分析受力：受力图如图示运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。,动力学,根据质心运动定理，有,可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。,动力
9、学,例6 流体流过弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。,动力学,运动分析，设经过时间后，流体AB 运动到位置ab，,动力学,解：,取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。,受力分析如图示。,由质点系动量定理；得,静反力 ， 动反力,计算 时，常采用投影形式,与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力,动力学,即,例如，一喷射水流以速度为4.5m/s沿水平方向射入一光滑固定叶板，如图所示，设水流的流量为0.05m3s，则流体所受的的动压力为,例7 均质曲柄AB长r，质量为m1 ，假
10、设受力偶作用以不变的角速度转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D，如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2，质心在点C。在活塞上作用一恒力F。不计摩擦，求作用在曲柄轴A处的最大水平分力Fx。,解：选取整个机构为研究的质点系，注意到力偶不影响质心运动。列出质心运动定理在x轴上的投影式,计算质心的坐标，,应用质心运动定理，解得,显然，最大水平分力,对时间取二阶导数，即：,7-3 动量守恒与质心运动守恒,一、质点系的动量守恒 若 则 常矢量。 若 则 常量。,1.只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量；2.内力不能改变整个质点系的动量，但可以改变质点系中质点的动量，引起系统内各质
11、点动量的传递。,二. 质心运动守恒定律若 ，则 常矢量，质心作匀速直线动；若开始时系统静止，即 则 常矢量,质心位置守恒。若 则 常量，质心沿x方向速度不变； 若存在 则 常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变。,只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。,例8 半径为r、质量为M的光滑圆柱放在光滑水平面上，一质量为m的小球从圆柱顶点无初速地下滑，试求小球离开圆柱前的轨迹。,解：取圆柱和小球为研究对象，系统所受外力有圆柱和小球的重力和地面的反力。由于系统在水平方向无外力，且系统的初速度为零，故系统的质心在水平方向守恒。,在初始位置时，系统的质心在O
12、y轴上，由于质心在水平方向守恒，故运动后，系统的质心仍应在Oy轴上。故有xC = 0,设瞬时t，小球由圆柱顶点下滑到圆柱上A点，此时圆柱质心与小球的连线与Oy轴的夹角为 。则由系统质心坐标公式有,即,由于,，故,所以,小球离开圆柱前的轨迹,例9 物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为mA；小球B的质量为mB，以细杆与物块铰接，如图所示。设杆长为l，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角0；释放后，细杆近似以=0coskt规律摆动(k为已知常数)，求物块A的最大速度。,解：取物块和小球研究对象，其上的重力 以及水平面的约束反力均为铅垂方向。此系统水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守恒。,当此
13、速度vr向左时，物块应有向右的绝对速度,设为v，而小球向左的绝对速度值为,细杆角速度为 ，当sin kt =1时，其绝对值最大，此时应有cos kt=0，即 =0。,由此，当细杆铅垂时小球相对于物块有最大的水平速度，其值为,根据动量守恒条件，有,解出物块的速度为,当sinkt=-1时，也有=0。此时小球相对于物块有向右的最大速度 ，可求得物块有向左的最大速度.,解出物块的速度为,课堂练习： 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。,动力学,解：,选两物体组成的系统为研究对象。,受力分析，,由水平方向动量守恒及
14、初始静止；则,解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。,动力学,课堂练习： 浮动起重船, 船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为 P2=10kN, 长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60, 水的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角2 =30时船的位移。,受力分析如图示， ，且初始 时系统静止，所以系统质心的位置坐标 XC保持不变。,船的位移x，杆的位移,重物的位移,动力学,计算结果为负值，表明 船的位移水平向左。,7-4 变质量质点的运动微分方程,动量定理所研究的对象是总质量不随时间变化的，或质点的个
15、数不变的质点系。但有些问题，如在火箭飞行过程中，由于不断的喷出燃料燃烧后产生的气体，所以火箭的质量是不断的减小的；又如不断地喷出燃气的喷气式飞机；正在下落过程的雨滴等，其质量在运动过程都是不断变化的。,以原质点及并入的微小质量所构成的系统为研究对象，设作用于质系的外力为，应用动量定理,时，得式中 为微小质量在并入前对于质点m的相对速度。令,展开,略去高阶微量后，有,由式可看出，除作用于系统的外力 外，还有一力 作用于系统上，即使外力 ，也能改变系统的运动状态。,则上式可写为（7-19） 即为变质量质点的运动微分方程。式中m为变量， 为代数量。当 时，即为质心运动定理。,火箭推进的原理对于火箭
16、， 的方向与燃气喷 出火箭的相对速度 方向相反，称为 反推力。火箭和喷气式飞机就是依靠 反推力作为动力飞行的。,例12 火箭垂直于地面发射。已知开始发射时火箭的质量为m0，燃料燃尽时火箭的质量为mf，设燃气喷射的相对速度vr为常数，忽略重力及空气阻力。求火箭所能达到的最大速度vf 。,解：应用变质量质点运动微分方程在y轴上的投影式，有,积分,即,由以上结果可以看出：,（1）速度的增量与喷气速度及质量比 有关系。喷气速度由燃料的特性及发动机品质决定。,（2）火箭燃料与壳体的质量比 越大，所获得的速度增量也越大，,如其比为10，vf可达到5-7km/s，尚未达到第一宇宙速度，因此用火箭运送人造卫星或宇宙飞船进入轨道，需要利用多级火箭。,例13 砂子从不动的漏斗中垂直落入运动的货车车厢内，如图所示，每秒落入车厢内的砂子质量为qm。欲使车厢匀速运动，速度为v ，需加多大的外力？摩擦不计。,解：视车厢为变质量质点，应用变质量质点运动微分方程在水平方向的投影，得,由于车厢匀速运动，故式中 ，在水平方向,所以,于是有,动力学,第七章结束,
