1、1,111 动量与冲量,112 动量定理,113 质心运动定理,第十一章 动量定理,2,实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需要研究质点系整体的运动情况。,动力学普遍定理概述,对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。,对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方程， 联立求解它们即可。,从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。,轮作纯滚动，求 .,3,它们以简明的数学形式， 表明两种量 一种是
2、同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能)，一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。,本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式质心运动定理。,4,11-1 动量与冲量,1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。,动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。,例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。,一、动量,动量是瞬时矢量，方向与 v 相同。单位是kgm/s。,2.质点系的动量：质点系中所有各
3、质点的动量的矢量和。,5,质点系的质心：质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。,因为： ，,所以：,质心 C 点的位置：,质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。,则：,6,质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：,3.刚体系统的动量：设第i个刚体 则整个系统：,2.质点系的动量：,7,运动分析：杆作定轴转动,已知匀质杆 质量为 ,以 转动。求：杆的动量。,由于质心速度等于零，故p=0。,若转轴通过质心,8,画椭圆的机构由匀质的曲柄 OA，规尺 BD 以及滑块B 和 D 组成(图 a)，曲柄与规尺的中点 A 铰接。已知规尺长2l ，质量是2m
4、1；两滑块的质量都是m2；曲柄长l，质量是m1，并以角速度绕定轴 O 转动。试求当曲柄 OA 与水平成角时整个机构的动量。,例 题 1,例题 动量定理,9,解：,整个机构的动量等于曲柄OA，规尺BD，滑块B和D的动量的矢量和，即,p = pOA + pBD + pB + pD,其中曲柄OA的动量 pOA=m1vE ，大小是,pOA = m1vE = m1l/2,其方向与vE一致，即垂直于OA并顺着的转向(图 b)。,E,(b),例 题 1,例题动量定理,10,因为规尺和两个滑块的公共质心在点A，它们的动量表示成,p= pBD + pB + pD = 2(m1 + m2)vA,由于动量 pOA
5、的方向也是与 vA 的方向一致，所以整个椭圆机构的动量方向与 vA 相同，而大小等于,E,11,曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也为m。求当 = 45时系统的动量。,解: 一.运动分析：,曲柄OA：,滑块B：,二.计算各物体质心速度：,连杆AB：,12,三.计算系统的动量：,13,14,二、力的冲量,1. 常力的冲量 定义：作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。I = F t 冲量是矢量，它的方向与力的方向一致。 物理意义：力的作用效应在时间上的积累 单位：Ns = kgm/s2 = kgm/s 2. 变力的冲量
6、 ：（包括大小和方向的变化）dI = Fdt dI称为力F的元冲量,冲量在x, y, z 轴上的投影：,3合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和,15,三、质点系的内力与外力,对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零：,对整个质点系来讲内力系对任一 点（或轴）的主矩恒等 于零，即：,外力 ：,内力 ：,所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。,所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。,16,11-2 动量定理,一质点的动量定理,在某一时间间隔内，质点动量的增量等于作用于质点上的力在该时间内的冲量,质点的动量定理的微分形式,对上式两边积分：,质点动量的微分等于作用于质点上的力的元冲量,动量
7、定理的积分形式：,17,投影形式：,质点的动量守恒若 ，则 常矢量，质点作惯性运动若 ，则 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动,二质点系的动量定理,对整个质点系：,对质点系内任一质点 i，,18,质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。,质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。,2）积分形式,1）微分形式,质点系的动量定理,19, 质点系的动量守恒定律 若 则 常矢量。 若 则 常量。,只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。,20, 动画,动量定理,反 冲 运 动,参见动画：反冲运动,21,火炮（包括
8、炮车与炮筒）的质量是 m1，炮弹的质量是 m2，炮弹相对炮车的发射速度是 vr ，炮筒对水平面的仰角是 （图a）。设火炮放在光滑水平面上，且炮筒与炮车相固连，试求火炮的后坐速度和炮弹的发射速度。,(a),例 题 3,例题动量定理,22,解:,炸药（其质量略去不计）的爆炸力是内力，Fx = 0；可见，系统的动量在轴 x 上的投影守恒。,取火炮和炮弹（包括炸药）这个系统作为研究对象。,设火炮的反座速度是 vm1，炮弹的发射速度是 v，对水平面的仰角是 （图b）。,（b）,（a）,例 题 3,例题 动量定理,23,px = m2vcos m1vm1 = 0 (1),另一方面，对于炮弹应用速度合成定理
9、，可得,v = ve + vr,考虑到 ve = vm1，并将上式投影到轴 x 和 y 上，就得到,vcos = vrcos vm1 (2),vsin = vrsin (3),联立求解上列三个方程，即得,考虑到初始瞬时系统处于平衡，即有pox=0，于是有,例 题 3,例题 动量定理,24,锻锤 A 的质量 m = 3 000 kg，从高度 h = 1.45 m处自由下落到锻件 B 上。假设锻锤由接触锻件到最大变形的时间t = 0.01 s，求锻锤作用在锻件上的平均碰撞力。,例 题 4,例题 动量定理,25,解：,取锻锤作为研究对象。它从高度 h 自由下落到锻件产生最大变形的过程，可分成两个阶段
10、。,1. 碰撞前的自由下落阶段。,从而求得碰撞前锻锤速度的大小,锻锤只受重力作用，自由落体得,例 题 4,例题 动量定理,26,该阶段锻锤受重力 mg 和锻件对锻锤的碰撞力（设其平均值为 FB）的作用，写出动量定理在铅直轴 y 上的投影式，并注意锻件变形最大时锻锤速度为零。有,0 mv = mgt FB t,从而求得,代入求出的速度 v 和已知数据，即得,FB = 16.3 102 kN,2. 锻锤由开始接触锻件到最大变形阶段。,例 题 4,例题 动量定理,27,如图表示水流流经变截面弯管的示意图。设流体是不可压缩的，流动是稳定的。求流体对管壁的作用力。,例 题 5,例题 动量定理,28,从管
11、中取出所研究的两个截面aa与bb之间的流体作为质点系。,时间间隔dt内质点系动量的变化为,解：,设想经过无限小的时间间隔dt，这一部分流体流到两个截面a1a1与b1b1之间。令qv为流体在单位时间内流过截面的体积流量，为密度。,则质点系在时间dt内流过截面的质量为,例 题 5,例题 动量定理,29,将动量定理应用于所研究的质点系，质点系受力有：重力W、管壁对质点系的作用力F，以及截面受到流体的压力Fa和Fb，则有,因为管内流动是稳定的，有 于是,dt为极小，可认为在截面aa与a1a1之间各质点的速度相同，截面b1b1与bb之间各质点的速度相同，于是得,Fb,例 题 5,例题 动量定理,30,消
12、去时间dt，得,若将管壁对于流体的约束力F分为两部分：F为与外力W，Fa和Fb相平衡的管壁静约束力。F为由于流体的动量发生变化而产生的附加动约束力。即F由下式计算：,附加动约束力由下式确定：,设截面aa与bb的面积分别为Sa和Sb，由不可压缩流体的连续性定律知,例 题 5,例题 动量定理,31,因此，只要知道流速和曲管的尺寸，即可求得附加动约束力。,如图为一水平等截面直角弯管，流体对管壁的附加作用力大小等于管壁对流体作用的附加动约束力，即,由此可见，当流速很高或管子截面积很大时，附加动压力很大，在管子的弯头处应该安装支座。,v2,v1,O,x,y,在应用前面的公式时应取投影形式。,例 题 5,
13、例题 动量定理,32,图示单摆B的支点固定在一可沿光滑的水平直线轨道平移的滑块A上，设A，B的质量分别为mA，mB，运动开始时，x=x0， , ， 。试求单摆B的轨迹方程。,例 题 6,例题 动量定理,33,解：以系统为对象，其运动可用滑块A的坐标x和单摆摆动的角度两个广义坐标确定。,解出,单摆B的坐标为,则,由于沿x方向无外力作用，且初始静止，系统沿x轴的动量守恒，质心坐标xC应保持常值xC0。,例 题 6,例题 动量定理,34,消去 ，即的到单摆B的轨迹方程：,是以 x= xC0 , y=0 为中心的椭圆方程，因此悬挂在滑块上的单摆也称为椭圆摆。,例 题 6,例题 动量定理,35,轨迹演示
14、,例 题 6,例题 动量定理,参见动画：动量定理例题6,36,11-3 质心运动定理,将 代入到质点系动量定理，得,若质点系质量不变，,则 或,上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。,1. 投影形式：,37,3. 质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系， 无论它作什么形式的运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动， 并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上， 所有外力也集中作用在质心这个点上。,或,38,若开始时系统静止，即 则 常矢量,质心位置守恒
15、。,若 则 常量，质心沿x方向速度不变；,若 ，,若存在 , 则 常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变。,5质心运动定理可求解两类动力学问题：已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括约束反力)。已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。,只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。,4质心运动守恒形式：,常矢量，质心作匀速直线运动；,则,39, 动画,动量定理,参见动画：质心运动定理实例1,40, 动画,动量定理,参见动画：质心运动定理实例2,41,x,y,O,A,B,Fx,Fy,FN,曲柄滑块机构如图所示。设曲柄OA受力偶作用以匀角速度
16、转动，滑块B沿x轴滑动。若OA=AB=l，OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2 。试求支座O处的水平约束力。,例 题 7,例题 动量定理,42,选取整个机构为研究对象，其水平方向只承受O处约束力的作用。列出质心运动定理在x轴上的投影式,此系统质心坐标为,x,y,O,A,B,Fx,Fy,FN,解：,将xC对时间取二阶导数,代入上式（a），求得,（a）,例 题 7,例题 动量定理,43,整个系统在铅垂方向除有重力外，O，B两处受有y方向约束力Fy和FN。列出质心运动定理在y轴上的投影式,质心yC对时间取二阶导数，代入上式，求得,以整个系统为研究对象，只能求出O，B两处y向约束反之
17、和，而不能分别求出各自的值。,x,y,O,A,B,Fx,Fy,FN,例 题 7,例题 动量定理,44, 动画,动量定理,参见动画：动量定理动画,45,如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人质量为m2，船的质量为m1 ，船长l，水的阻力不计。求船的位移。,例 题 8,例题 动量定理,46,取人与船组成质点系。因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影等于零，因此质心在水平轴上保持不变。,人走到船尾时，船移动的距离为s，则质心的坐标为,解：,取坐标轴如图所示。在人走动前，质心得坐标为,例 题 8,例题 动量定理,47,由于质心在轴上的坐标不变，解得,例 题 8,例题 动量定理,48,11- 5,7,10,P257 11- 4,11,12. P257,作业,
